1、计算（三）等差数列求和知识精讲一、 定义：一个数列的前 项的和为这个数列的和。n二、 表达方式：常用 来表示 。nS三：求和公式：和 (首项 末项) 项数 ， 。21()2nnsa对于这个公式的得到可以从两个方面入手：(思路 1)1239800351共 50个 1（ ） （ ） （ ） （ ） 05(思路 2)这道题目，还可以这样理解： 23498101098732210和 =+和倍 和即，和 。 ()2 5 0四、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。譬如： ，4812364392018
2、（ ）题中的等差数列有 9 项，中间一项即第 5 项的值是 20，而和恰等于；209 ，653153163231089 （ ）题中的等差数列有 33 项，中间一项即第 17 项的值是 33，而和恰等于。3例题精讲：例 1：求和：（1）1+2+3+4+5+6 = （2）1+4+7+11+13= （3）1+4+7+11+1385= 分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。例如（3）式项数=（85-1）3+1=29 和=（1+85）292=1247答案：（1）21 （2）36 （3）1247例 2：求下列各等差数列的和。（1）1+2+3+4+199（2）
3、2+4+6+78（3）3+7+11+15+207分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。例如（1）式=（1+199）1992=19900答案：（1）19900 （2）1160 （3）5355例 3：一个等差数列 2，4，6，8 ，10 ，12，14，这个数列的和是多少？分析：根据中项定理，这个数列一共有 7 项，各项的和等于中间项乘以项数，即为： 75答案：56例 4：求 1+5+9+13+17+401 该数列的和是多少。分析：这个数列的首项是 1，末项是 401，项数是（401-1）4+1=101，所以根据求和公式，可有：和=（1+401）101
4、2=20301答案：20301例 5：有一串自然数 2、5、8、11、，问这一串自然数中前 61 个数的和是多少？分析：即求首项是 2，公差是 3，项数是 61 的等差数列的和，根据末项公式：末项=2+（61-1）3=182根据求和公式：和=（2+182）612=5612答案：5612例 6：把自然数依次排成“三角形阵” ，如图。第一排 1 个数；第二排 3 个数；第三排 5个数；求：（1）第十二排第一个数是几？最后一个数是几？（2）207 排在第几排第几个数？（3）第 13 排各数的和是多少？分析：整体看就是自然数列，每排的个数的规律是 1,3,5，7.即为奇数数列 若排数为n（n2de 自
5、然数)，则这排之前的数共有（n-1） （n-1)个。（1）第十二排共有 23 个数。前面共有（1+21）112=121 个数，所以第十二排的第一个数为 122，最后一个数为 122+（23-1）1=144（2）前十四排共有 196 个数，前十五排共有 225 个数，所以 207 在第十五排，第十五排的第一个数是 197，所以 207 是第（207-197=10）个数（3）前十二排共有 144 个数，所以第十三排的第一个数是 145，而第十三排共有25 个数，所以最后一个数是 145+（25-1）1=169，所以和=（145+169）252=3925答案：（1）122；144 （2）第十五排第
6、10 个数 （3）3925例 7：15 个连续奇数的和是 1995，其中最大的奇数是多少？分析：由中项定理，中间的数即第 8 个数为： ，1953所以这个数列最大的奇数即第 15 个数是： 。13258147（ ）答案：147。例 8：把 210 拆成 7 个自然数的和，使这 7 个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是 5，那么，第 1 个数与第 6 个数分别是多少？ 分析：由题可知：由 210 拆成的 7 个数必构成等差数列，则中间一个数为 2107=30，所以，这 7 个数分别是 15、20、25、30、35、40、45。即第 1 个数是 15，第 6 个数是 40。答案：第 1 个数
7、：15；第 6 个数：40。例 9：已知等差数列 15，19，23 ，443 ，求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差是多少？分析：公差=19-15=4项数=（443-15）4+1=108倒数第二项=443-4=439奇数项组成的数列为：15，23，31439，公差为 8，和为（15+439）542=12258偶数项组成的数列为：19，27，35443，公差为 8，和为（19+443）542=12474差为 12474-12258=216答案：216例 10：在 这一百个自然数中，所有能被 9 整除的数的和是多少？10分析：每 9 个连续数中必有一个数是 9 的倍数，在 中，我们很容易知道能被
8、 9 整除10的最小的数是 ，最大的数是 ，这些数构成公差为 9 的等差数列，这个数列一共有： 项，所以，所求数的和是：182791254 （ ）也可以从找规律角度分析答案： 594例 11：一串数按下面的规律排列：1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6问：从左面第一个数起，前 105 个数的和是多少？分析：这些数字直接看没有什么规律，但是如果 3 个一组，会发现这样一个数列：6,9,12,15.即求首项是 6，公差是 3，项数是 1053=35 的和末项=6+3（35-1）=108和=（6+108）352=1995答案：1995例 12：在下面 个方框中各填入一个数，使这 个数从左到
9、右构成等差数列，其中 、121210已经填好，这 个数的和为 。16 6 0 分析：由题意知：这个数列是一个等差数列，又由题目给出的两个数 和 知：公差为 ，1062那么第一个方格填 ，最后一个方格是 ，由等差数列求和公式知和为：264。(426)180答案：180。本讲小结：1. 一个数列的前 项的和为这个数列的和，我们称为 。n2. 求和公式：和 (首项 末项) 项数 ， 。21()2nnsa3.对于任意一个奇数项的等差数列，各项和等于中间项乘以项数。练习：1. 求和：（1）1+3+5+7+9= （2）1+2+3+421=（3）1+3+5+7+939= 分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公
10、差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。答案：（1）25 （2）231 （3）4002. 求下列各等差数列的和。（1）1+2+3+100（2）3+6+9+39分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。答案：（1）5050 （2）2733. 一个等差数列 4,8,12,16,20,24,28,32，36 这个数列的和是多少?分析：根据中项定理，这个数列一共有 9 项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：209=180答案：180 4. 所有两位单数的和是多少？分析：即求首项是 11，末项是 99 的奇数数列的和为多少。和=（11+99）452=
11、2475答案：24755. 数列 1、5、9、13、，这串数列中，前 91 个数和是多少？分析：首项是 1，公差是 4，项数是 91，根据重要公式，可得：末项=1+（91-1）4=361和=（1+361）912=16471答案：164716. 如图，把边长为 1 的小正方形叠成“金字塔形”图，其中黑白相间染色。如果最底层有 15 个正方形，问：“金字塔”中有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正方形？分析：由题意可知，从上到下每层的正方形个数组成等差数列，其中 ， ， ，所以 ，1a 2d15na1528n（所以，白色方格数是： 3836黑色方格数是： 。127128 （答案：287. 。2
12、05620780920（分析：根据中项定理知： ,所以原5267892012087式。2087答案：7。8. 把 248 分成 8 个连续偶数的和，其中最大的那个数是多少？分析：公差为 2 的递增等差数列。平均数：2488=31，第 4 个数：31-1=30；首项：30-6=24；末项：24+（8-1）2=38。即：最大的数为 38。答案：389. 求从 1 到 2000 的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。分析：解法 1：可以看出，2，4，6，2000 是一个公差为 2 的等差数列，1，3，5，1999 也是一个公差为 2 的等差数列，且项数均为 1000，所以：原式=（2+2000
13、)10002-（1+1999）10002=1000解法 2：注意到这两个等差数列的项数相等，公差相等，且对应项差 1，所以 1000项就差了 1000 个 1，即原式=10001=1000答案：100010. 在 这一百个自然数中，所有不能被 9 整除的数的和是多少？10分析：先计算 的自然数和，再减去能被 9 整除的自然数和，就是所有不能被 9 整除的自然数和了 ，1201025 （ ），所有不能被 9 整除的自然数和：918792594 （ ）如果直接计算不能被 9 整除的自然数和，是很麻烦的，所以先计算所50456有 的自然数和，再排除掉能被 9 整除的自然数和，这样计算过程变得简便多了。答案：59411.一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图） ，聪明的小朋友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？分析：观察发现，这堆钢管的排列就是一个等差数列：首项是 3，公差是 1 ，末项是 10，项数是 8根据求和公式，和=（3+10）82=52（根）所以这堆钢管共有 52 根。答案：52 根。12. 求 100 以内除以 3 余 2 的所有数的和。解析：100 以内除以 3 余 2 的数为 2、5、8、11、98 公差为 3 的等差数列，首先求出一共有多少项， ，再利用公式求和 。(98) 1(298) 21650 答案：1650。
