1、12017 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第卷（共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1） 【2017 年山东，理 1，5 分】设函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，则24xyA)1ln(xyB（ ）AB（A） （ B） （C） （D ）,2(1, 2,2,1)【答案】D【解析】由 得 ，由 得 ， ，故选40x2x0x1=|1|BxxxD（2） 【2017 年山东，理 2，5 分】已知 ， 是虚数单位，若 ， ，则 （ ）Rai 3iza4za（A）1 或 （ B） 或 （C） （D）73
2、【答案】A【解析】由 得 ，所以 ，故选 A3i,4zaz231（3） 【2017 年山东，理 3，5 分】已知命题 ： ， ；命题 ：若 ，则 ，下列命题p0xln()0qab2为真命题的是（ ）（A） （B ） （C ） （D）pqqppq【答案】B【解析】由 时 有意义，知 是真命题，由 可知 是假命题，0x1,ln()xp2221,;,(1)即 ， 均是真命题，故选 Bpq（4） 【2017 年山东，理 4，5 分】已知 、 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）xy305xy2zxy（A）0 （ B）2 （C）5 （D）6【答案】C【解析】由 画出可行域及直线 如图所示，平移 发现，3
3、0+5xy20xy20xy当其经过直线 与 的交点 时， 最大为xy3(,4)z，故选 C324z（5） 【2017 年山东，理 5，5 分】为了研究某班学生的脚长 （单位：厘米）和身高 （单位：xy厘米）的关系，从该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 与 之间有线性相关关系，x设其回归直线方程为 ，已知 ， ， ，该班某学生的脚长为 24，据此ybxa1025ix106iy4b估计其身高为（ ）（A）160 （B） 163 （C ）166 （D ）170【答案】C【解析】 ，故选 C2.5,160,42.570,427016xyay（6） 【2017 年山东，理 6，5
4、分】执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的 值为 7，x第二次输入的 值为 9，则第一次、第二次输出的 值分别为（ ）a（A）0，0 （B）1，1 （C）0，1 （D）1，0【答案】D2【解析】第一次 ；第二次 ，故选 D227,37,1xba229,39,0xba（7） 【2017 年山东，理 7，5 分】若 ，且 ，则下列不等式成立的是（ ）0b（A） （B） （C） （D）21log()ab21log()aa2log()ab2log()a【答案】B【解析】 ，故选 B221,0,1,log()log1,abbab21log()ababab（8） 【2017 年山东，理 8，5 分】从
5、分别标有 1，2，9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1张，则抽到在 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ）（A） （ B） （C ） （D）514579【答案】C【解析】 ，故选 C25498（9） 【2017 年山东，理 9，5 分】在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 为锐角三角ABabcABC形，且满足 ，则下列等式成立的是（ ）sin(1cos)2incossinBC（A） （B） （C） （D ）2abba2AB2【答案】A【解析】 所以si()sisisiC，2incocn2BA故选 A（10） 【2017 年山东，理 10，5 分】已知当 时，函
6、数 的图象与 的图象有且只有0,1x2(1)ymxyxm一个交点，则正实数 的取值范围是（ ）m（A） （B ） （C） （D）0,123,3,0,3,0,23,【答案】B【解析】当 时， ， 单调递减，且 ， 单调递增，且12(1)yx22(1)(),1yxyx，此时有且仅有一个交点；当 时， ， 在 上单调,yxmm02()m1,递增，所以要有且仅有一个交点，需 ，故选 B2()3第 II 卷（共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分（11） 【2017 年山东，理 11，5 分】已知 的展开式中含有 的系数是 54，则 (13)nx2xn【答案】4【解析】 ，令 得
7、： ，解得 1C3rrrnnxx22C54n4n（12） 【2017 年山东，理 12，5 分】已知 、 是互相垂直的单位向量，若 与 的夹角为 ，1e 123e12e60则实数 的值是 【答案】 3【解析】 ，2 2121211233eeee 21213ee， ， 121，解得： 223cos60 33（13） 【2017 年山东，理 13，5 分】由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图14如 图，则该几何体的体积为 【答案】 2【解析】该几何体的体积为 21V124（14） 【2017 年山东，理 14，5 分】在平面直角坐标系 中，双曲线 （ ， ）的右支与xOy21xyab0a
8、b焦点为 的抛物线 （ ）交于 、 两点，若 ，则该双曲线的渐近线方程F2xpy0AB4AFBO为 【答案】 y【解析】 ，因为 ，|=422ABABppFByyp222210xyaypbaabp所以 渐近线方程为 2ABbab 2yx（15） 【2017 年山东，理 15，5 分】若函数 （ 是自然对数的底数）在 的定义域上单调()xef.718 ()fx递增，则称函数 具有 M 性质。下列函数中所有具有 M 性质的函数的序号为 ()fx ()xf3xf3fx2()fx【答案】 【解析】 在 上单调递增，故 具有 性质；2xxxeefR2xf 在 上单调递减，故 不具有 性质；3xxxf 3
9、xf ，令 ，则 ， 当 时，e3xge2xxgee2x，当 时， ， 在 上单调递减，在 上单调递0g203f,增，故 不具有 性质；3fx ，令 ，则 ，2xe2xge22 10xxxgee 在 上单调递增，故 具有 性质xfeRf三、解答题：本大题共 6 题，共 75 分（16） 【2017 年山东，理 16，12 分】设函数 ，其中 ，已知 ()sin)sin()62fxx03()06f（1）求 ；（2）将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向左平移()fx个单位，得到函数 的图象，求 在 上的最小值4()gx()gx3,4解：（1）因为 ，所
10、以()sinsin62fx1sincos2fxx3sincos2x，由题设知 ，所以 ， 133co)2x3()x()06f6kZ故 ， ，又 ，所以 6kZ04（2）由（1）得 ，所以 ()3sin(2)fxx()3sin()3sin()412gxx因为 ，所以 ，当 ，即 时， 取得最小值 ,42,1124g32（17） 【2017 年山东，理 17，12 分】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 （及其ABCD内部）以 边所在直线为旋转轴旋转 得到的， 是 的中点AB20GDF（1）设 是 上的一点，且 ，求 的大小；PGEAPBECP（2）当 ， 时，求二面角 的大小32D解：（1）
11、因为 ， ， ， 平面 ， ，所以 平面ABPABE，又 平面 ，所以 ，又 ，因此 BA12030C（2）解法一：取 的中点 ，连接 ， ， 因为 ，所以四边形ECHEGH12E为EHC菱形，所以 取 中点 ，连接 ， ， 23GCAMCE， ， 为所求二面角的平面角 ，M1AM132在 中， ，由余弦定理 ，B10E22cos120E所以 ，因此 为等边三角形，故所求的角为 CM6解法二：以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在的直线为 ， ， 轴，建立如BPAxyz图所示的空间直角坐标系由题意得 ， ， ，(0,3)(,0)(,3)G(,3)C故 ， ， ，设 是平面 的一个(2,03)A(
12、1,3)AG2C1mzAE法向量由 可得 取 ，得平面 的一个法向量mE12,0xzy1AE(3,2)m设 是平面 的一个法向量由 可得 取 ，2(,)nxyzACG0nGC230,xyz2z可得平面 的一个法向量 所以 因此所求的角为 (3,2)n1cos,|mn60（18） 【2017 年山东，理 18，12 分】在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有 6 名男志愿者A1，A 2，A 3，A 4，A 5，
13、A 6 和 4 名女志愿者 B1，B 2，B 3， B4，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另5 人接受乙种心理暗示（1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1 但不包含 B1 的概率；（2）用 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 的分布列与数学期望 X XEX解：（1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 但不包含 的事件为 M，则 1348510()CP（2）由题意知 X 可取的值为： 0，1，2，3，4则5610(),42CP46510,2因此 X 的分布列为3264510(),CP2364510(),CPX6510,XX 0 1 2 3 4P 4222125X 的数学期望是 0()
14、1()2()3()4()EXPXPXP= 151502344（19） 【2017 年山东，理 19，12 分】已知 是各项均为正数的等比数列，且 ， nx 123x2x（1）求数列 的通项公式；nx（2）如图，在平面直角坐标系 中，依次连接点 ， ， 得到折线Oy1,Px2,1,nP，求由该折线与直线 ， ， 所围成的区域的面积 121nP 0nT解：（1）设数列 的公比为 ，由已知 由题意得 ，所以xq123qx，2350q因为 ，所以 ，因此数列 的通项公式为12,xnx1.n（2）过 向 轴作垂线，垂足分别为 ，123,Pn 123,Q由（1）得 记梯形 的面积为 11.nxnnPnb由
15、题意 ，12()2()nb所以 + + 123Tnb101357 32(21)(1)nn又 + -得01257n2()()nn= ， 111(.)n13()n()1nnT（20） 【2017 年山东，理 20，13 分】已知函数 ， ，其中2()cosfxx)cosi2xgex是自然对数的底数2.78e（1）求曲线 在点 处的切线方程；()fx,f（2）令 （ ） ，讨论 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值()hgaR()hx解：（1）由题意 ，又 ，所以 ，因此曲线 在点 处的2f2sinfx2fyfx,f切线方程为 ，即 2y2yx（2）由题意得 ，cosincoshxexa因为 2
16、sin2sinxeax 2sin2sinxeax，令 ，则 ，所以 在 上单调递增ixeam10mxmR所以当 时， 单调递减，当 时，0x01) 当 时， ，当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调e0hx0hxx递增，所以当 时 取得极小值，极小值是 ； h021ha2) 当 时， ，由 ，得 ， ，0aln2sixaexln2=当 时， ，当 时， ， 单调递增；1l0,lnaln,0xaexhx当 时， ， 单调递减；ln,xln,0xah当 时， ， 单调递增所以当 时 取得极大值0lex la极大值为 ，2l silcosln2h a 当 时 取到极小值，极小值是 ；x01h当
17、时， ，当 时， ，函数 在 上单调递增，无极值；1aln0,xxhx,当 时， 所以当 时， ， 单调递增；,lnae0,6当 时， ， 单调递减；当 时， ， 、0,lnxaln0xae,hx ln,xaln0xae单调递增；所以当 时 取得极大值，极大值是 ；h021h当 时 取得极小值极小值是 lh 2lnllsilcosla 综上所述：当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，函数 有极小值，x,0, x极小值是 ；当 时，函数 在 和 和 上单调递增，021a01ahxlna,l0,在 上单调递减，函数 有极大值，也有极小值，极大值是ln,ah，极小值是 ；当 时，函数2llnsi
18、lcosln2h 21ha在 上单调递增，无极值；当 时，函数 在 和 上单调递增，x,x,ln,在 上单调递减，函数 有极大值，也有极小值，极大值是 ；0,l x 0极小值是 2llsilcslaaa （21） 【2017 年山东，理 21，14 分】在平面直角坐标系 中，椭圆 （xOy2:1xyEb）的离心率为 ，焦距为 2 0ab2（1）求椭圆 的方程；E（2）如图，动直线 ： 交椭圆 于 A、B 两点，C 是椭圆 上的一点，直l13ykxEE线 OC 的斜率为 ， 且 ，M 是线段 OC 延长线上一点，且2 124k，M 的半径为 ，OS、OT 是 M 的两条切线，切点分别为 S、T，
19、求 的3CAB O最大值，并求取得最大值时直线 的斜率l解：（1）由题意知 ， ，所以 ，因此椭圆 的方程为 2ceac2,1abE21xy（2）设 ，联立方程 得 ，由题意知 ，12,AxyB21,3,xyk2114430kxk0且 ，所以 1122213,kxx 221121 8kABkx由题意知 ，所以 ，由此直线 的方程为 联立方程124k214kOC14yxk21,4xyk得 ，因此 221218,xykk 2218xyk由题意可知 ，而 ，1sinSOTrOCr212211483rk2134k令 ，则 ，因此 ，21tk,01t2 2294ttt7当且仅当 ，即 时等号成立，此时 ，所以 ，因此 ，12tt 12k1sin2SOT26SOT所以 最大值为 SOT3综上所述： 的最大值为 ，取得最大值时直线 的斜率为 l12k
