1、1988 年全国高中数学联赛试题第一试(10 月 16 日上午 800930)一选择题(本大题共 5 小题，每小题有一个正确答案，选对得 7 分，选错、不选或多选均得 0 分) ：1设有三个函数，第一个是 y=(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于 x+y=0 对称，那么，第三个函数是( )Ay= ( x) By=(x) Cy= 1 (x) Dy= 1 (x ) 2已知原点在椭圆 k2x2+y2 4kx+2ky+k21= 0 的内部，那么参数 k 的取值范围是( )A|k|1 B|k|1 C1 ；3命题乙：a、b、c 相交于一点则A甲是乙的充分条件但不必要 B
2、甲是乙的必要条件但不充分C甲是乙的充分必要条件 DA、B、C 都不对 5在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用 I 表示所有直线的集合，M 表示恰好通过 1 个整点的集合，N 表示不通过任何整点的直线的集合，P 表示通过无穷多个整点的直线的集合那么表达式 MNP=I； N M P 中，正确的表达式的个数是A1 B2 C3 D4 二填空题(本大题共 4 小题，每小题 10 分) ：1设 xy，且两数列 x，a 1， a2，a 3，y 和 b1，x，b 2，b 3，y，b 4 均为等差数列，那么 = b4 b3a2 a12( +2)2n+1 的展开式中，x 的整数次幂的各项系数之和为
3、x3在ABC 中，已知A=，CD、BE 分别是 AB、AC 上的高，则 = DEBC4甲乙两队各出 7 名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由 1 号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方 2 号队员比赛，直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程那么所有可能出现的比赛过程的种数为 三(15 分) 长为 ，宽为 1 的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体2积四(15 分) 复平面上动点 Z1 的轨迹方程为|Z 1Z 0|=|Z1|，Z 0 为定点，Z 00，另一个动点 Z 满足 Z1Z=1，求点 Z 的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置五(1
4、5 分) 已知 a、b 为正实数，且 + =1，试证：对每一个 nN *，1a1b(a+b)na nb n2 2n2 n+11988 年全国高中数学联赛二试题一已知数列a n，其中 a1=1，a 2=2，an+2=5an+1 3an(anan+1为 偶 数 )，an+1 an(anan+1为 奇 数 ) )试证：对一切 nN*，a n0 二如图，在ABC 中，P、Q、R 将其周长三等分，且 P、Q 在 AB 边上，求证： SPQRSABC29三在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线 l1，l 2，l n，的直线族，它满足条件： 点(1，1)l n，( n=1，2，3，) ； kn+1=anb
5、 n，其中 kn+1 是 ln+1 的斜率，a n 和 bn 分别是 ln 在 x 轴和 y 轴上的截距，(n=1，2，3，)； k nkn+10， (n=1，2，3，)并证明你的结论NACBPQ RH1988 年全国高中数学联赛解答一试题一选择题(本大题共 5 小题，每小题有一个正确答案，选对得 7 分，选错、不选或多选均得 0 分) ：1设有三个函数，第一个是 y=(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于 x+y=0 对称，那么，第三个函数是( )Ay= ( x) By=(x) Cy= 1 (x) Dy= 1 (x ) 解：第二个函数是 y=1 (x)第三个
6、函数是x= 1 (y)，即 y=(x)选 B2已知原点在椭圆 k2x2+y2 4kx+2ky+k21= 0 的内部，那么参数 k 的取值范围是( )A|k|1 B|k|1 C1 ；3命题乙：a、b、c 相交于一点则A甲是乙的充分条件但不必要 B甲是乙的必要条件但不充分C甲是乙的充分必要条件 DA、B、C 都不对 解：a，b，c 或平行，或交于一点但当 abc 时，= 当它们交于一点时， SPQRSABC29证明：作ABC 及PQR 的高 CN、RH设ABC 的周长为 1则 PQ= 13则 = = ，但 AB ，SPQRSABCPQRHABCNPQABARAC 12 PQAB23APABPQ ，
7、AC ，从而 12 1316 13 16 12 ARAC13 SPQRSABC29三在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线 l1，l 2，l n，的直线族，它满足条件： 点(1，1)l n，( n=1，2，3，) ； kn+1=anb n，其中 kn+1 是 ln+1 的斜率，a n 和 bn 分别是 ln 在 x 轴和 y 轴上的截距，(n=1，2，3，)； k nkn+10， (n=1，2，3，)并证明你的结论证明：设 an=bn0，即 kn1 =1，或 an=bn=0，即 kn=1，就有 kn+1=0，此时 an+1 不存在，故kn1现设 kn0，1，则 y=kn(x1)+1 ，得 b
8、n=1k n，a n=1 ， k n+1=kn 此时 knkn+1=kn211kn 1kn k n1 或 kn1 或 k11 时，由于 0k2=k1 0，若 k21，则又有 k1k2k30，依此类推，知当 km11k1 1k1时，有 k1k2k3kmkm+10，且 0k =k 0，此时 k k 1，1k1 1k2 1kmkm+1=km km =km1 km1 k1 1km 1k1 1km 1 1k1 2k1 mk1由于 k1 随 m 的增大而线性增大，故必存在一个 m 值，m=m 0，使 k1 1，从而必存在一个mkm m0k1m 值，m=m 1(m1m 0)，使 k 1，而1k =k 0，此
9、时 k k 0m1 1 m1 m1 m1 m1+1即此时不存在这样的直线族综上可知这样的直线族不存在厦门市参加 2010 年福建省高中数学竞赛暨 2010 年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知贵校教务处转数学教研组：根据闽科协发【2010】39 号文件关于举办 2010 年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知 ，以及省数学会关于 2010 年福建省高中数学竞赛暨 2010 年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知 ，根据我市情况，有关竞赛工作通知如下： 一、赛制、竞赛时间和命题范围竞赛分预赛和复赛两个阶段。1预赛：（1）时间：2010 年 9 月 11 日（星期六）9：0011：30，在本市考点进行
10、。（2）试题来源：预赛试题由福建省数学学会组织命题，同时也作为2010 年福建省高中数学竞赛的试题，试题类型以全国联赛类型为主，适当补充少量全国联赛加试部分的内容。（3）试卷结构：填空题 10 题，每题 6 分，满分 60 分；解答题 5 题，每题 20 分，满分 100 分。全卷满分 160 分。考试时间 150 分钟。2复赛（1）时间与地点：2010 年 10 月 17 日（星期日）8：0012：10，集中在福州一中旧校区进行考试。其中联赛时间为 8：009：20，加试时间为 9：4012：10。（2）试题来源与命题要求：复赛试题是由中国数学会统一命题的全国联赛试题和加试试题。命题范围以现
11、行高中数学教学大纲为准，加试试题的命题范围以数学竞赛大纲为准。根据现行“高中数学竞赛大纲”的要求，全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超过教育部2000 年全日制普通高级中学数学教学大纲中所规定的教学要求和内容，但方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合、灵活运用知识的能力。全国高中数学联赛加试（二试）与中国数学奥林匹克（冬令营） 、国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些教学大纲之外的内容。（3）试卷结构：全国高中数学联赛（一试）试卷结构为：填空题 8 题，每题 8 分，满分 64 分；解答题 3 题，分别为16 分、20 分、20 分，
12、满分 56 分。全卷满分 120 分。考试时间 80 分钟；全国高中数学联赛加试（二试）试卷结构为：4 道解答题，涉及平面几何、代数、数论、组合四个方面。每题 50 分。满分 200 分。考试时间 150 分钟。二、参赛对象本学年度的在校高中学生均可报名，自愿参加，不影响学校的正常教学秩序。三、报名、报名费和准考证采用网上报名。在各校教务处的指导下，由高二年数学备课组长具体负责，组织学生报名参加竞赛。报名表请参照样表、统一用 Excel 文档并按要求认真填写 ，根据省数学会要求，报名时需将所有参加考试的考生的花名册上交，为最后评奖、颁发获奖学生证书以及制作指导教师证书的依据，务必请各校认真填写
13、报名表，指导教师以报名表上登记的为准（每名学生只能上报 1 名指导教师） ，赛后不得更改。报名费（按省数学会通知）统一收取每生 18 元。各参赛学校请将报名表的电子文本用 E.mail 发送至电子油箱 ；报名费请直接汇入建设银行活期存折，存折户名：陈智猛，ATM 卡号：4367421930036257416。报名截止时间是 6 月 25 日，逾期不予受理。请保留汇款的凭单备查，将本校报名人数以及汇款的金额数用手机短信形式发送至 13806039993，短信联系进行报名的确认。9 月初召开考务会同时领取准考证，准考证请各校自行填写，由备课组长保管，考前 30 分钟再发给考生。四、考号安排学 校
14、考号安排厦门一中 1000110600双十中学 1060111200厦门六中 1120111800外国语学校 1180112400科技中学 1240113000厦门二中 1300113200湖滨中学 1320113400学 校 考号安排松柏中学 1340113600厦门三中 1360113800华侨中学 1380114000禾山中学 1400114200大同中学 1420114400康桥中学 1440114600集美中学 2000120400英才学校 2040120600灌口中学 2060128000乐安中学 2080121000厦门十中 2100121400杏南中学 2140121600海沧
15、中学 2160121800海沧实验中学 2180122000同安一中 3000130600启悟中学 3060130800第二外国语学校 3080131000东山中学 3100131200五显中学 3120131400国祺中学 3140131600翔安一中 4000140400新店中学 4040140600内厝中学 4060140800诗扳中学 4080141000- 9 -五、考务：有关考场的设置、监考等考务工作另行安排布置。六、奖项：按参赛人数的 5%从高分到低分确定复赛入围者；预赛成绩为本区第一名经省数学会审核无误后也可以直接参加复赛。另外，符合下列条件之一者可直接进入复赛：（1）2008
16、 年、2009 年全国高中数学联赛（福建赛区）一、二等奖获得者；（2）2010 年东南地区数学奥林匹克竞赛一、二等奖获得者；（3）2010 年福建省高一数学竞赛（省）前十五名获得者；（4）2010 年中国女子数学奥林匹克竞赛一、二等奖获得者。复赛试卷经省数学会评定后，评出（省级）全国一、二、三等奖的获奖名单报省科协、省教育厅审定，获得（省级）全国一、二、三等奖的选手及指导教师由省科协和省教育厅联合颁发获奖证书。注意：一等奖、二等奖和三等奖均按联赛与加试的总分评定。省数学会评出2009 年福建省高中数学竞赛一、二、三等奖后，我市在省奖之外再评出市一等奖、二等奖、三等奖，以及表扬奖若干名。为了鼓励
17、各校参加高中数学联赛的积极性，研究决定：按报名人数给学校不低于 10%的市级（以上）获奖名额，鼓励学生。厦门市教育科学研究院 基础教育研究室厦门市教育学会 数学教学专业委员会2010 年 5 月 13 日附：2010 年全国高中数学联赛福建赛区（厦门）竞赛报名表考号 学生姓名 性别 年级 所在学校 指导教师考生总数 （人） 应交金额 （元）（注：报名表的指导教师栏请认真填写，赛后不得更改）1992 年全国高中数学联赛试卷第一试一选择题(每小题 5 分，共 30 分)1. 对于每个自然数 n，抛物线 y(n2 n)x2(2n1) x1 与 x 轴交于 An， Bn两点，以| AnBn|表示该两点
18、的距离，则|A1B1| A2B2| A1992B1992|的值是( )11O11 x y- 10 -(A)192 (B) 93 (C)1 (D) 9232. 已知如图的曲线是以原点为圆心，1 为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是( )(A)(x2y)(y 2x)=0 (B)(x2y)(y 21x)=0(C)(x )(y 1)=0 (D)(x )(y )=03. 设四面体四个面的面积分别为 S1， S2， S3， S4，它们的最大值为 S，记 =)(41i/S，则 一定满足( )(A)24 (B)3 4 (C)2.54.5 (D)3.5 5.54. 在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分
19、别记为 a， b， c(b1)，且 ABCsin,都是方程 xblog=logb(4x4)的根，则ABC( )(A)是等腰三角形，但不是直角三角形 (B)是直角三角形，但不是等腰三角形(C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形，也不是直角三角形5. 设复数 z1， z2在复平面上对应的点分别为 A， B，且| z1|=4，4 z122z1z2 z22=0， O 为坐标原点，则 OAB 的面积为( )(A)8 3 (B)4 (C)6 3 (D)12 36. 设 f(x)是定义在实数集 R 上的函数，且满足下列关系 f(10 x)f(10x)， f(20x)f(20 x)，则 f(x)是(A)偶
20、函数，又是周期函数 (B)偶函数，但不是周期函数(C)奇函数，又是周期函数 (D)奇函数，但不是周期函数二填空题(每小题 5 分共 30 分)1. 设 x， y， z 是实数，3 x，4 y，5 z 成等比数列，且 zyx1,成等差数列，则 xz的值是_2. 在区间0， 中，三角方程 cos7xcos5x 的解的个数是_3. 从正方体的棱和各个面上的对角线中选出 k 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则 k 的最大值是_4. 设 z1， z2都是复数，且| z1|=3，| z2|=5|z1 z2|=7，则 arg( 12z)3的值是_5. 设数列 a1， a2， an， 满足 a1a2 1， a3 2，且对任何自然数 n， 都有 anan1 an2 1，又anan1 an2 an3 an an1 an2 an3 ，则 a1 a2 a100的值是_ _6. 函数 f(x)= 64x 4x的最大值是_三、(20 分)求证：17180k四、(20 分)设 l， m 是两条异面直线，在 l 上有 A， B， C 三点，且 AB=BC，过 A， B， C 分别作 m 的垂线 AD， BE， CF，垂足依
