1、高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 1 -2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国)理科数学(试题及答案解析)一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分)1已知集合 , ,则 中元素的个数为()2(,)1Axy(,)BxyABA3 B2 C1 D0【答案】B【解析】 表示圆 上所有点的集合, 表示直线 上所有点的集合,2 yx故 表示两直线与圆的交点,由图可知交点的个数为2,即 元素的个数为2,故选B.2设复数z满足 ,则 ()(1i)2zzA B C D22【答案】C【解析】由题, ,则 ,故选C.2i1ii21z 21z3某城市为了解游客人数的变化规律,提高
2、旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 2 -2014年 2015年 2016年根据该折线图,下列结论错误的是()A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D各年1月至6月的月接待游客量相对于 7月至12月,波动性更小,变化比较平稳【答案】A【解析】由题图可知,2014年8月到9月的月接待游客量在减少,则A选项错误,故选A.4 的展开式中 的系数为()5()2xy3xyA B C40 D80【答案】C【解析】由二项式定理可得
3、,原式展开中含 的项为3xy,则 的系数为 40,故选C.233255C40xy3xy5已知双曲线 ( , )的一条渐近线方程为 ,且与椭圆21ab: ab52x有公共焦点则 的方程为()213xyCA B C D2802145xy2154xy2143xy【答案】B【解析】双曲线的一条渐近线方程为 ,则 2yx2ba又椭圆 与双曲线有公共焦点,易知 ,则 213xy3c229abc由解得 ,则双曲线 的方程为 ,故选B.,5abC2145xy高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 3 -6设函数 ,则下列结论错误的是()()cos)3fxA 的一个周期为 B 的图像关于直线 对
4、称f2()yfx83xC 的一个零点为 D 在 单调递减()x6x,2【答案】D【解析】函数 的图象可由 向左平移 个单位得到,cos3fcosyx3如图可知, 在 上先递减后递增,D 选项错误,故选D.fx,2 -6AxyO7执行右图的程序框图,为使输出 的值小于91,则输入的正整数 的最小值为()SNA5B4C3D2【答案】D【解析】程序运行过程如下表所示:SM初始状态 0 100 1第1次循环结束 100 2第2次循环结束 90 1 3此时 首次满足条件,程序需在 时跳出循环,901St即 为满足条件的最小值,故选D.N8已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,
5、则该圆柱的体积为()A B C D34 4【答案】B【解析】由题可知球心在圆柱体中心,圆柱体上下底面圆半径 ,213r则圆柱体体积 ,故选B.234Vrh高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 4 -9等差数列 的首项为1,公差不为0若 , , 成等比数列,则 前6项的和na2a36na为()A B C3 D8243【答案】A【解析】 为等差数列,且 成等比数列,设公差为.na236,a则 ,即2361115dad又 ,代入上式可得1 20又 ,则0d ,故选A.6156242Sa10已知椭圆 ( )的左、右顶点分别为 , ,且以线段 为直2:xyCb0a1A21A2径的圆与直
6、线 相切,则 的离心率为()CA B C D633 3【答案】A【解析】以 为直径为圆与直线 相切,圆心到直线距离等于半径,12 20bxayabd又 ,则上式可化简为0,23 ,可得 ,即22bac23aca ,故选A63e11已知函数 有唯一零点,则 ()21()(e)xfxaaA B C D11 312【答案】C【解析】由条件, ,得:21()(e)xfxa2(2)1211()4(exxxfx ,即 为 的对称轴,()ff()f由题意, 有唯一零点,高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 5 - 的零点只能为 ,()fx1x即 ,21(e)0a解得 a12在矩形 中, ,
7、 ,动点 在以点 为圆心且与 相切的圆上若ABCD12ADPCBD,则 的最大值为()PA3 B C D25【答案】A【解析】由题意,画出右图设 与 切于点 ,连接 BCAE以 为原点, 为轴正半轴,D为轴正半轴建立直角坐标系,则 点坐标为 (2,1) , | 25B 切 于点 CAE D 是 中斜边 上的高Rt B12|2| 5|BCCDSE即 的半径为 A5 在 上P 点的轨迹方程为 224()(1)5xy设 点坐标 ,可以设出 点坐标满足0(,)yP的参数方程如下: 025cos1inxy而 , , 0(,)APx(0,1)B(2,0)AD , 015cos205siny两式相加得: 2
8、2sin1s55()(in()si3(其中 , )5cos ()AODxyBPgCE高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 6 -当且仅当 , 时, 取得最大值 32kZ二、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分)13若x,y满足约束条件 则 的最小值为_0,2,xy 34zxy【答案】 1【解析】由题,画出可行域如图:目标函数为 ,则直线 纵截距越大,值越小34zxy4zyx由图可知:在 处取最小值,故 1,Amin314 AB(1,)(2,0)0xy20xy x 14设等比数列 满足 , ,则 _na12a13a4【答案】 8【解析】 为等比数列,设公比为n,即 ,1
9、23a123qa显然 , ,q10得 ,即 ,代入 式可得 , q 1a334128a15设函数 则满足 的x的取值范围是_,0()xf ()2fx【答案】1,4【解析】 , ,即,02 xf 12fxf12fxfx由图象变换可画出 与 的图象如下:yfyf高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 7 -A12(,)41()2yfx1()yfx 由图可知,满足 的解为 .12fxfx,416,为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形 的直角边 所在直线与ABC,都垂直,斜边 以直线 为旋转轴旋转,有下列结论:ABC当直线 与成 角时, 与成 角;6030当直线 与成 角时, 与
10、成 角;6直线 与所成角的最小值为 ;45直线 与所成角的最大值为 其中正确的是_(填写所有正确结论的编号)【答案】【解析】由题意知, 三条直线两两相互垂直,画出图形如图abAC、 、不妨设图中所示正方体边长为1,故 , ,|2B斜边 以直线 为旋转轴旋转,则 点保持不变,A点的运动轨迹是以 为圆心,1为半径的圆以 为坐标原点,以 为轴正方向, 为轴正方向,CCDCB为轴正方向建立空间直角坐标系A则 , ,(1,0)D(,)直线的方向单位向量 , (0,1)a|a点起始坐标为 ,B,直线的方向单位向量 , ,b|b设 点在运动过程中的坐标 ,(cos,in0)B其中为 与 的夹角, CD2那么
11、 在运动过程中的向量 ,AB,si,1)A|2设 与所成夹角为 ,0,2则 (cos,in1)(2s |sin|0,aAB故 ,所以正确,错误,42设 与所成夹角为 ,AB0,2高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 8 -.cos(s,in1)(,02|cos|ABbb当 与夹角为 时,即 ,AB60312sin2coss ,i1 |s| 2co|cs| 0, ,此时 与夹角为 =3AB60正确,错误三、解答题:(共70分第17-20题为必考题,每个试题考生都必须作答第22,23题为选考题,考生根据要求作答)(一)必考题:共60分17(12分)的内角A,B,C的对边分别为a,
12、b,c,已知 , , sin3cos0A27a2(1)求c;(2)设 为 边上一点,且 ,求 的面积DADCBD【解析】(1)由 得 ,sin3cos0A2sin03即 ,又 ,kZ, ,得 .33由余弦定理 .又 代入并整理得22cosabA127,cos2abA,故 .15c4c(2) ,,7,ACB由余弦定理 .227osab ,即 为直角三角形,D则 ,得 .c高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 9 -由勾股定理 .223ADC又 ,则 ,236B.1sin3ABDS18(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸
13、奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间 ,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为205,200瓶,为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温 105, , 2, 530, 35, 40,天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率(1)求六月份这种酸奶一天的需求量 (单位:瓶)的分布列;X(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 (单位:元)当六月份这种酸奶一天的Y进货量(
14、单位:瓶)为多少时, 的数学期望达到最大值?【解析】易知需求量可取 20,3516PX305.27453则分布列为: X050P2当 时: ,此时 ,当 时取到.2n 64Ynmax4Y20n当 时:03102058685n此时 ,当 时取到.max2Y3n当 时,305n 1220303055nn25此时 .Y当 时,易知一定小于的情况.0n综上所述:当 时,取到最大值为 . 30n520高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 10 -19(12分)如图,四面体 中, 是正三角形, 是直角三角形ABCD ACD, ABD=(1)证明:平面 平面 ;(2)过 的平面交 于点 ,
15、若平面E把四面体 分成体积相等的两部EC分求二面角 的余弦值A-【解析】取 中点为 ,连接 , ;COBD为等边三角形AB .DABCABD ,即 为等腰直角三角形,ADC为直角又 为底边 中点O 令 ,则aa易得: ,2D32B2O由勾股定理的逆定理可得DO即 BDACOB平DABC平又由面面垂直的判定定理可得由题意可知 VDACEB即 , 到平面 的距离相等即 为 中点EB以 为原点, 为轴正方向, 为轴正方向,OO为轴正方向,设 ,建立空间直角坐标a系,则 , , , ,0,02A,02D3,0Ba3,4aE易得: , ,3,4aE,2OA设平面 的法向量为 ,平面 的法向量为 ,1nAECnABEDBCEODABCEyxOz