1、2017年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）（5 月 14 日下午 14:3016:30）三题目 一 二13 14 15 16总成绩得分评卷人复核人考生注意：1.本试卷共有三大题（16 个小题） ，全卷满分 140 分2.用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答。3.计算器，通讯工具不准待入考场。4.解题书写不要超过封线一，单项选择题（本大题共 6个小题，每小题 5分，共 30分）1. 已知函数 处有极值，则实数 a 的值是（ ）1ln2xaxf在A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 2.已知 的两个根，则 （ 03ta,02x是 方 程， 的 值 是cos）A. B. C. D. 313235253
2、.在 的展开式。所有形如 的项的系数之和是（ ）8zyxNbazyx.2A. 112 B. 448 C. 1792 D. 143364.已知 的左，右焦点，该椭圆上存在两点 A,B,使得01221 bayxF为 椭 圆，,则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）BA213A. （0. ） B.（0. ） C.（ ，1） D.（ ，1）3235.已知ABC 中， 的最大值时（ ）BCAACB 则，A. B. C.2 D.253 56.已知数列 满足： ，用 表示不超过实数 x 的最大整数，naNnn12x则 的个位数是（ ） 2017aA.2 B.4 C.6 D.8 二，填空题（本大题共 6个小题，每
3、条题 5分，共 30分）7. 已知函数 =_.20167,52kxff则8. 设 ，其中 是虚数单位，若 成iaziazizRa 43,21 复 数 i 321,zz等比数 列，则实数 a 的值是_.9.若 是双曲线 上的点，则 的最小值是_.yxP, 1482yxyx10. 如图，设正方体 的棱长为 1， 为过直线 的平面，1DCBA1BD则 截该正方体的截面面积的取值范围是_.11.已知实数 满足： 的最大值是_.321,x 23212321 ,xx则12.设集合 则339,0987654 zyxMzyAM 丨且丨，集合 A 中元素的个数是_三，解答题（本大题共 4个小题，每小题 20分，
4、共 80分）13.已知数列 满足：na*1185,Nnan（1）若 a=3,求证：数列 成等比数列，并求出数列 的通项公式；42n na（2）若对任意的正整数 n,都有 ，求实数 a 的取值范围。3a14.1993 年，美国数学家 F.Smarandache 提出许多数论问题，引起国内外相关学者的关注，其中之一便是著名的 Smarandache 函数。正整数 n 的 Smarandache 函数定义为，比如：!,min*mnNS丨丨 3632SS，（1）求数 S（16）和 S（2016）的值；（2）若 S（n）=7,求正整数 n 的最大值；（3）证明：存在无穷多个合数 n，使得 ,其中 的最大
5、质因数.pn为15. 如图， 轴上，且关于 y 轴对称，过点 垂直于 x 轴的直线与抛物线xA在与 点点 A交于xy2B,C,点 D 为线段 AB 上的动点，点 E 在线段 AC 上，满足 BDCE（1）求证：直线 DE 与此抛物线有且只有一个公共点；（2）设直线 DE 与此抛物线的公共点 F，记BCF 与ADE 的面积分别为 ,求 的值.1S， 2116.设 为实数，若对任意的实数 恒成立，其， 22, zyxMzxyzyx 有中 2222222 yxzyxM求 的最大值和 的最小值2017 年全国高中数学联赛（四川初赛）试题草考答案及评分标准一，选择题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分
6、，共 30 分）1.A 2.B 3.C 4.C 5.B 6.A 二，填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）7.1008 8.0 9.2 10. 11.2 12.243 26，三，解答题（本大题共 4 个小题，每小题 20 分，共 80 分）13. 证明：（1）因为 423185421 nnnn aa所以，数列 成等比数列 5 分na于是 1324,34211 nn a解 得即数列 的通项公式 1n10 分na（2）法 1：因为 对任意的正整数 n 都成立，故3n 31a由（1）知 24,42111 nnn aa解 得当 31 B|k|1 C1 ；3命题乙：a、b、c 相交
7、于一点则A甲是乙的充分条件但不必要 B甲是乙的必要条件但不充分C甲是乙的充分必要条件 DA、B、C 都不对 5在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用 I 表示所有直线的集合，M 表示恰好通过 1 个整点的集合，N 表示不通过任何整点的直线的集合，P 表示通过无穷多个整点的直线的集合那么表达式 MNP=I； N M P 中，正确的表达式的个数是A1 B2 C3 D4 二填空题(本大题共 4 小题，每小题 10 分) ：1设 xy，且两数列 x，a 1， a2，a 3，y 和 b1，x，b 2，b 3，y，b 4 均为等差数列，那么 = b4 b3a2 a12( +2)2n+1 的展开
8、式中，x 的整数次幂的各项系数之和为 x3在ABC 中，已知A=，CD、BE 分别是 AB、AC 上的高，则 = DEBC4甲乙两队各出 7 名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由 1 号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方 2 号队员比赛，直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程那么所有可能出现的比赛过程的种数为 三(15 分) 长为 ，宽为 1 的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体2积四(15 分) 复平面上动点 Z1 的轨迹方程为|Z 1Z 0|=|Z1|，Z 0 为定点，Z 00，另一个动点 Z 满足 Z1Z=1，求点 Z 的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置五(15 分) 已知 a、b 为正实数，且 + =1，试证：对每一个 nN *，1a1b(a+b)na nb n2 2n2 n+1
