1、揭阳一中 96 届高二上学期期末考试理科数学试卷第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若命题 p是真命题，命题 q是假命题，则下列命题一定是真命题的是（ ）A q B p C qp)( D qp)(2.椭圆 142yx的离心率为（ ）A 25 B 23 C 5 D 33.“ 0yx”是“ yx”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D 既不充分也不必要条件4.命题“对任意 Rx，都有 2lnx”的否定为（ ）A对任意 ，都有 2 B不存在 Rx，都有 2lnx C.存在 x
2、，使得 lx D存在 ，使得5.在 BC中，已知 60,2,40Ccb，则此三角形的解的情况是（ ）A有一解 B有两解 C.无解 D有解但解的个数不确定6.已知数列 na满足 )(log1l133 Nnan ，且 9642a，则)(log97531的值是（ ）A B 5 C. D 57.设变量 yx,满足约束条件 ,306,2yx则 yxz2的最小值为（ ）A 7 B C. 1 D8.如果圆 8)()(22ayx上总存在两个点到原点的距离为 2，则实数 a的取值范围是（ ）A )3,1(,( B )3,( C. 1, D )3,1,(9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 3
3、1 B 32 C. 231 D 2310.已知 bmxyNyxM),(,),( .若对于所有的 Rm，均有N，则 b的取值范围是（ ）A )32,( B )26,( C. 26, D,11.已知各项为正的等比数列 na中， 4与 1的等比中项为 2，则 17a的最小值为（ ）A 16 B 8 C. 2 D12.已知离心率 25e的双曲线 )0,(1:2bayxC右焦点为 F， O为坐标原点，以 OF为直径的圆与双曲线 的一条渐近线相交于 AO， 两点，若 的面积为 4，则a的值为（ ）A 2 B 3 C. 4 D 5第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸
4、上）13.以 xy为渐近线且经过点 )0,2(的双曲线方程为 14.不等式 1423x的解集为 15.已知数列 na的前 项和为 nS， 23n，若数列 nb满足nnnb221，则数列 nb的前 项和为 nT 16.方程 )0(916yx的曲线即为函数 )(xfy的图象，对于函数 )(xfy，下列命题中正确的是 （请写出所有正确命题的序号）函数 )(xfy在 R上是单调递减函数；函数 )(xfy的值域是 R；函数 的图象不经过第一象限；函数 的图象关于直线 xy对称；函数 3)(4xfF至少存在一个零点.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
5、 17. （本小题满分 10 分）已知命题 p：关于 x的不等式 042ax对一切 Rx恒成立；命题 q：函数axf)25()是减函数，若 qp为真命题， qp为假命题，求实数 a的取值范围.18. （本小题满分 10 分）在 ABC中，角 ,的对边分别为 cba,，向量 )sin,(CAbam，向量)sin,(cn，且 nm .（1）求角 的大小；（2）设 BC的中点为 D，且 3A，求 ca2的最大值.19. （本小题满分 12 分）如图，抛物线关于 x轴对称，它的顶点在坐标原点，点 ),(),(),121yxBAP均在抛物线上.（1）求抛物线方程；（2）若 AB的中点坐标为 )1,(，求
6、直线 AB方程.20. （本小题满分 12 分）已知首项为 3的等比数列 na不是递减数列，其前 n项和为 )(NSn，且453,SaS成等差数列.（1）求数列 n的通项公式；（2）设 )(1NSTnn，求数列 nT的最大项的的值与最小项的值.21. （本小题满分 12 分）某森林出现火灾，火势正以每分钟 210m的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后 5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火250m，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟 125元，另附加每次救火所损耗的车辆、器械和装备等费用平均每人 10元，而烧毁一平方米森林损失费为 60元.
7、（1）设派 x名消防队员前去救火，用 t分钟将火扑灭，试建立 t与 x的函数关系式；（2）问应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？（总损失=灭火材料、劳务津贴等费用+车辆、器械和装备费用+森林损失费）22. （本小题满分 14 分）已知椭圆 )0(1:2bayxC的长轴长为 4，离心率为 2.（1）求椭圆 C的方程；（2） P为椭圆 12yx上任意一点，过点 P的直线 mkxy交椭圆 C于 BA,两点，射线 O交椭圆 于点 Q（ O为坐标原点）.是否存在常数 ，使得 OQS恒成立？若存在，求出 的值，否则，请说明理由；求 AB面积的最大值，并写出取最大值时 k与 m的等量关系式.揭阳
8、一中 96 届高二上学期期末考试理科数学试卷答案一、选择题1-5:BBADC 6-10: BAAAC 11、12：BC二、填空题13. 142yx14. 372x或 15. )3(25nn 16.三、解答题17.解：由关于 x的不等式 042ax对一切 Rx恒成立可得 01642a，2:ap.由函数 xaxf)25()是减函数可得 125a，则 2. :aq.若命题“ p且 q”为假命题， “ p或 q”为真命题，则 p， 中一个为真，一个为假，若 真 假，则 2,a，此时 不存在；若 p假 q真，则 2,a或 ，故答案为： 2,(.18.解：（1）因为 nm ，所以 0)sin()sin)(
9、 CAcBAba .由正弦定理可得 0)(cba，即 aba22.由余弦定理可知 12cosB.因为 ），（ 0，所以 3.（2）设 AD，则在 A中，由 3B，可知 ），（ 320.由正弦定理及 ，有 sin)2sin(iAD，所以 Bco3)i(2,sin ，所以 siAcDa,42，从而 )6n(46os3ic ，由 ），（ 0，可知 ），（ 5，所以当 26，即 3时， ca2取得最大值 34.19.解：（1）由题意可设抛物线方程为 )0(pxy. ),(P在抛物线上， p2，即 .抛物线方程为： xy42.（2） ),(,21yxBA在抛物线上， 212,4xy，两式作差得： )(4
10、211x， 2121y，又 AB的中点坐标为 )1,(， 21y，则 2421xyk，直线 AB方程为 )1(2xy，即 01y.20.解：（1）设等比数列 na的公比为 q，因为 453,aSaS成等差数列，所以 5435SSa，即 354，于是 132q.又 n不是递减数列且 21，所以 21q，故等比数列 na的通项公式为 nnna2)()(31.（2）由（1）得 .,21,)(1为 偶 数为 奇 数Snnn当 n为奇数时， n随 的增大而减小，所以 231Sn，故653210SSn；当 为偶数时， 随 的增大而增大，所以 1432nS，故1734102SSn综上，对于 N，总有 65n
11、S.所以数列 nT最大项的值为 65，最小项的值为 127.21.解：（1） 2100xt.（2）设总损失为 y，则 =灭火材料、劳务津贴+车辆、器械和装备费+森林损失费， )5(65txty203101 x2-)(34x64505.当且仅当 2650)(10x，即 7时， y有最小值 36450.22.解：（1）椭圆的长轴长为 4，离心率为 2， 2,ea,得2,2bca，椭圆 C的方程为 14yx.（2）设 ),(0P，设 OPnQ，由题意知 ),(0nyxQ， 120yx，又 12)(40yx，即 120（ ， n，即 P，故 ABOABQSS)(，存在常数 12满足题意.设 ),(),(21yxBA，将 mkx代入椭圆 C的方程，得0442km，由 )(82，得 22k则有 22121,xkx，点 O到直线 AB的距离为 2kmd， 22114kmx， 的面积 22222 1)(1)4(1421 kkkdS ，再将 mkxy代入椭圆 2yx中，得 024)2(mkx，由 0，可得 21k，令 tk21，由，知 0t， ttS2)2(，故 S，当且仅当 t，即 221km取得最大值 ，由（1）知， ABQ面积为 )1(， ABQ面积的最大值为 2，此时 221km.
