1、 北京市朝阳区 2017-2018 学年度第一学期高三年级期中统一考试数学试卷（理工类） 2017.11（考试时间 120 分钟 满分 150 分）本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合 ， ，则|1Ax2|log1BxABA. B. C. D. | |2x|0x2. 已知实数 满足条件 则 的最大值为 ,xy,26,xyxyA. 12 B. 10 C. 8 D. 63.要得到函数 的图象，只需将函数 的图象上所
2、有的点sin(2)3yxsinyxA. 先向右平移 个单位长度，再将横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变 2B. 先向右平移 个单位长度，横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变61C. 横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度 126D. 横坐标变伸长原来的 倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度34. 已知非零平面向量 ，则“ ”是“存在非零实数 ，使 ”的,ababb=aA充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5.已知 是等差数列 ( )的前 项和，且 ,以下有四个命题：nSnan564S数列 中的最大项为 数列 的公差10Sa0d 10
3、1其中正确的序号是（ ）A. B. C. D. 6. 如图，在直角梯形 中， ， , 是 的中点 ,ABCD/ADCE1DC,则2ABEA. B. C. D. 5511（7. 袋子里有编号为 的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取2,3456两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，再让甲、乙分别推断这两个球的编号. 甲说：“我无法确定.”乙说：“我也无法确定.”甲听完乙的回答以后，甲说：“我现在可以确定两个球的编号了.” 根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中A一定有 3 号球 B.一定没有 3 号球 C.可能有 5 号球 D.可能有 6 号球8. 已知函数 与函数 在区间 都
4、为减函数，()sinco)fxx()cosin)gxx(0)2，设 ，且 ， ， ，则123,0， 12si 3six的大小关系是（ ）xA. B. C. D. 123312x213x231xECDBA第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上. 9. 执行如下图所示的程序框图，则输出 的值为 .i（第 9 题图） 10. 已知 ，且 ，则 的最小值是 . 1x1yxy11. 已知函数 若 的图象与直线 有两个不同的交点，12(),log.xf()fxykx则实数 的取值范围为 .k12. 已知函数 同时满足以下条件：(
5、)fx 定义域为 ； R 值域为 ；0,1 .()fx试写出一个函数解析式 . ()fx开始i=1，S=2结束i=i+1S14?输出 i是否S=S+2i13. 某罐头生产厂计划制造一种圆柱形的密封铁皮罐头盒，其表面积为定值 S. 若罐头盒的底面半径为 ，则罐头盒的体积 与 的函数关系式为 ；当 时，rVrr罐头盒的体积最大. 14. 将集合 表示为它的 5 个三元子集（三元集：含三个元素的集合）的=M1,23并集，并且这些三元子集的元素之和都相等，则每个三元集的元素之和为 ；请写出满足上述条件的集合 的 5 个三元子集 . （只写出一组）三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出
6、文字说明，演算步骤或证明过程.15. (本小题满分 13 分)已知数列 的前 项和为 ( )，满足 .nanS21nSa（）求数列 的通项公式；（）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .nb12=lognnanbnT16. (本小题满分 13 分)已知函数 .(2sinco()3fxx（）求函数 的最小正周期；)（）当 时，求函数 的取值范围.0,2x()fx17. (本小题满分 13 分)在 中， ， .ABC 4327cb（）试求 的值；tan（）若 ，试求 的面积. 518. (本小题满分 14 分)已知函数 ， .2()exfxaaR（）求函数 的单调区间；)（）设 ，其中 为函数 的
7、导函数 .判断 在定义域内是否为单(gxf()fx()fx()gx调函数，并说明理由.19. (本小题满分 14 分)已知函数 .12(lnexf（）求曲线 在点 处的切线方程；)y,()f（）求证： ；lnex（）判断曲线 是否位于 轴下方，并说明理由.()yfx20. (本小题满分 13 分)数列 是正整数 的任一排列，且同时满足以下两个条件：12,na 1,2n ；当 时， ( ).|ia,1i记这样的数列个数为 .()f（I）写出 的值；(2),34f（II）证明 不能被 4 整除. 018北京市朝阳区 2017-2018 学年度第一学期高三年级期中统一考试数学答案（理工类） 2017
8、.11一、 选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C B C A B D D C二、 填空题： 9. 5 10. 3 11. 2,)1ln2(,)1ln2,012. 或 或 （答案不唯一）()|sin|fxcos1x2,()01.xf或13. ； 312(0)2SVSrr14. 24; , , , , （答案不唯一）85， ， 74， ， 5613， ， 0， ， 491， ，三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. (本小题满分 13 分)解：（）当 时， .1na当 时， ,21nS，即1na=2n所以数列 是首项为 1，公比
9、为 2 的等比数列.n故 , . 8 分1=2N（）由已知得 .1122log=lnnnba因为 ， 1()2)1nbn所以 是首项为 0，公差为 的等差数列.故 的前 项和 . 13 分n()2nT16. (本小题满分 13 分)解：因为 ，2sinco()3fxx所以 ()sin)3x2sincox132(1s)x. sin()x（）函数 的最小正周期为 . 8 分)f 2T（）因为 ，所以 .0,2x,3x所以 .sin(),1所以 . 13 分0,2fx17. (本小题满分 13 分) 解：（）因为 ， ，所以 .4A327cbsinsi327()4CB所以 .sinsi()4C所以
10、.3372cosin)4C所以 .sinsin所以 .4C所以 . 7 分3ta（）因为 ， ， ，由余弦定理 得54A2cb22cosabA.223325()77bb所以 ， .c所以 的面积 . 13 分ABC121sin32SbcA18. (本小题满分 14 分)解：（）函数 的定义域为 . .(fxxR()2)(exfxa 当 时，令 ，解得： 或 ， 为减函数；2a)0af令 ，解得： ， 为增函数.()fx2ax()f 当 时， 恒成立，函数 为减函数；()ef()fx 当 时，令 ，解得： 或 ，函数 为减函数；2a0xxa令 ，解得： ，函数 为增函数.()fx2a()f综上，
11、当 时， 的单调递减区间为 ；单调递增区间为 ；2a()f (,)2(,2)a当 时， 的单调递减区间为 ；x当 时， 的单调递减区间为 ；单调递增区间为 . ()f (,)a(,) 8 分（） 在定义域内不为单调函数，以下说明：()gx.2(4)32exfax记 ，则函数 为开口向上的二次函数.()hx ()h方程 的判别式 恒成立.022840a所以， 有正有负. 从而 有正有负.()x()gx故 在定义域内不为单调函数. 14 分g19. (本小题满分 14 分)解：函数的定义域为 ，(0,)21()exf（） ，又 ，1()ef曲线 在 处的切线方程为()yfx.11ee即 . 4 分
12、2()+0xy（） “要证明 ”等价于“ ”.ln,()ex1lnex设函数 .()gx令 ，解得 .=1+l0 1ex(0,)1e(,)()gx0()gxA1eA因此，函数 的最小值为 .故 .()gx1()elnx即 . 9 分1lne（）曲线 位于 轴下方. 理由如下：()yfx由（）可知 ，所以 .le11()()eexxf设 ，则 .1()exk()xk令 得 ；令 得 .001所以 在 上为增函数， 上为减函数.()kx,1+，所以当 时， 恒成立,当且仅当 时， .()=kxx(1)0k又因为 ， 所以 恒成立. 1()0ef()0fx故曲线 位于 轴下方. 14 分yx20.
13、(本小题满分 13 分)（）解： . 3 分(21,(32,(4)fff（）证明：把满足条件的数列称为 项的首项最小数列.n对于 个数的首项最小数列，由于 ，故 或 3.n1a2（1）若 ，则 构成 项的首项最小数列，其个数为2a23,n；()f（2）若 ，则必有 ，故 构成 项的首项最小23,4a453,3na数列，其个数为 ；()fn（3）若 则 或 . 设 是这数列中第一个出现的偶数，则前 项应该是2,a3=351k k， 是 或 ，即 与 是相邻整数.1,k 1k2a1k由条件，这数列在 后的各项要么都小于它，要么都大于它，因为 2 在 之后，a 1ka故 后的各项都小于它.1ka这种情况的数列只有一个，即先排递增的奇数，后排递减的偶数.综上，有递推关系： ， .()1)(3)1fnfn5由此递推关系和（I）可得， 各数被 4 除的余数依次为：2,2081，1，2，0，2，1，2，1，3，2，0，0，3，0，1，1，2，0，它们构成 14 为周期的数列，又 ，184所以 被 4 除的余数与 被 4 除的余数相同，都是 1，(8)f (2)f故 不能被 4 整除. 13 分201
