1、第 1 页 共 7 页函数的基本性质1奇偶性（1）定义：如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(x)=f (x)，则称 f(x)为奇函数；如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(x)=f (x)，则称 f(x)为偶函数。如果函数 f(x)不具有上述性质，则 f(x)不具有奇偶性 .如果函数同时具有上述两条性质，则 f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体 1性质；由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义 2域内的任意一个 x，则 x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）
2、 。（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 1确定 f(x)与 f(x)的关系； 2作出相应结论： 3若 f( x) = f(x) 或 f(x) f (x) = 0，则 f(x)是偶函数；若 f( x) = f(x) 或 f(x) f (x) = 0，则 f(x)是奇函数。（3）简单性质：图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称；设 ， 的定义域分别是 ，那么在它们的公共定义域上：()fxg12,D第 2 页 共 7 页奇+奇=奇，奇 奇=偶，偶+偶=偶，偶 偶
3、=偶2单调性（1）定义：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I， 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x 2，当 x1f(x2)） ，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数（减函数） ；注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 1必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，x 2；当 x1x2 时，总有 f(x1)f(x2) 2（2）如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。（3）设复合函数 y= fg(x)，其中 u=g
4、(x) , A 是 y= fg(x)定义域的某个区间，B是映射 g : xu=g( x) 的象集：若 u=g(x) 在 A 上是增（或减）函数，y= f(u)在 B 上也是增（或减）函数，则函数 y= fg(x)在 A 上是增函数；若 u=g(x)在 A 上是增（或减）函数，而 y= f(u)在 B 上是减（或增）函数，则函数 y= fg(x)在 A 上是减函数。（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤：任取 x1， x2D，且 x1x2； 1作差 f(x1)f(x 2)； 2变形（通常是因式分解和配方） ； 3定号（即判断差 f(x1)f
5、(x 2)的正负） ； 4下结论（即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性） 。 5第 3 页 共 7 页（5）简单性质奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反；在公共定义域内：增函数 增函数 是增函数；减函数 减函数 是减函数；增函数)(xf)(xg)(xf)(xg减函数 是增函数；减函数 增函数 是减函数。f f3最值（1）定义：最大值：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于任意的 x I，都有 f(x)M；存在 x0I，使得 f(x0) = M。那么，称 M 是函数y=f(x)的最大值。最小值：一般地，设函数 y=f(x
6、)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于任意的 x I，都有 f(x)M；存在 x0I，使得 f(x0) = M。那么，称 M 是函数y=f(x)的最大值。注意：函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在 x0I，使得 f(x0) = M； 1函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的 xI， 2都有 f(x)M（f(x)M） 。（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； 1利用图象求函数的最大（小）值； 2利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 3如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c
7、上单调递减则函数第 4 页 共 7 页y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b)；如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c 上单调递增则函数y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b)；4周期性（1）定义：如果存在一个非零常数 T，使得对于函数定义域内的任意 x，都有 f(x+T)= f(x)，则称 f(x)为周期函数；（2）性质：f(x+T)= f(x)常常写作 若 f(x)的周期中，存在一个最,2()(xfxf小的正数，则称它为 f(x)的最小正周期； 若周期函数 f(x)的周期为 T，则 f(x )（0）是周期函数，且周期为 。|T第 5 页 共 7 页函数的基本性质
8、一、典型选择题1在区间 上为增函数的是（ ） A B C D（考点：基本初等函数单调性）2函数 是单调函数时， 的取值范围 （ ） A B C D （考点：二次函数单调性）3如果偶函数在 具有最大值，那么该函数在 有 （ ）A最大值 B最小值 C 没有最大值 D 没有最小值（考点：函数最值）4函数 ， 是（ ）A偶函数 B奇函数 C不具有奇偶函数 D与 有关（考点：函数奇偶性）5函数 在 和 都是增函数，若 ，且 那么（ ）A B C D无法确定 （考点：抽象函数单调性）6函数 在区间 是增函数，则 的递增区间是 （ ）A B C D（考点：复合函数单调性）第 6 页 共 7 页7函数 在实数
9、集上是增函数，则（ ）A B C D （考点：函数单调性）8定义在 R 上的偶函数 ，满足 ，且在区间 上为递增，则（ ）A B C D（考点：函数奇偶、单调性综合）9已知 在实数集上是减函数，若 ，则下列正确的是（ ）A BC D.（考点：抽象函数单调性）二、典型填空题1函数 在 R 上为奇函数，且 ，则当 ， .（考点：利用函数奇偶性求解析式）2函数 ，单调递减区间为 ，最大值和最小值的情况为 .（考点：函数单调性，最值）三、典型解答题1（12 分）已知 ，求函数 得单调递减区间.（考点：复合函数单调区间求法）第 7 页 共 7 页2（12 分）已知 ， ，求 .（考点：函数奇偶性，数学整体代换的思想）一、BAABDBAAD 二、1 ； 2 和 ， ； 三、3 解： 函数 ， ，故函数的单调递减区间为 .4解： 已知 中 为奇函数，即 = 中 ，也即 ， ，得 ， .
