高三复习第二讲函数.doc

1、1第二讲 函数一：函数部分的知识点梳理1、 设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 A 中的任意一个数 ，在集合f xB 中都有惟一确定的数 和它对应，那么就称 为集合 A 到集合 B 的一个函数，记作：xf B:.xfy,2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.3、 函数的三种表示方法：解析法、 图象法、列表法 .4、注意函数单调性的证明方法：(1)定义法：设 那么 上是增函数；2121,xbax、 ,)(0)(21 baxfxff 在上是减函数.步骤：取值作差变形定号判断,)(0)(

2、fff 在格式：解：设 且 ，则： =x,2121x21xff(2)导数法：设函数 在某个区间内可导，若 ，则 为增函数；)(fy0)()(f若 ，则 为减函数.0)(xfx5、 一般地，如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 ，那么就称函数 为偶f xxffxf函数.偶函数图象关于 轴对称.y6、 一般地，如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 ，那么就称函数 为xf ff f奇函数.奇函数图象关于原点对称.7、 一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根。其中 .axnanNn,18、 当 为奇数时， ；当 为偶数时， .a9、 我们规定： ； ；mna1,0*mN0nan10、 运算性质

3、： ；Qsrsrsr, ； .arsr ,0rbabr,011、记住图象： 12、记住图象：1,ayx 1,0logaxya 011y=axoy x 011y=logaxoy x213、性质： 14、性质：15、指数与对数互化式： ；对数恒等式： .基本性质： ，logxaaNlogaN01loga.1loga16、运算性质：当 时： ；0,1,0MMaaallogl ； .NNaaalogllog naall19、换底公式： .重要公式：bcall0,1,0bcloglnmaab倒数关系： .balog1l,1,a20、几种幂函数的图象：21、方程 有实根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有

4、零点.0xfxfyxfy22、 零点存在性定理：如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数fyba, 0bfa在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 的根.xf, bac,0cfcx23、掌握二分法.1a10a图象32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-1 1 2 3 4 5 6 7 832.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-1 1 2 3 4 5 6 7 8(1)定义域：（0，+）（2）值域：R（3）过定点（1，0） ，即 x=1 时，y=0（4）在 （0，+）上是增函数（4）在（0，+）上是减函数性质(5) ；log

5、,xa(5) ；0log,1xa1a10a图象 654321-1-4 -2 2 4 60 654321-1-4 -2 2 4 60(1)定义域：R（2）值域：（0，+）（3）过定点（0，1） ，即 x=0 时，y=1（4）在 R 上是增函数 （4）在 R 上是减函数性质(5) ;,1xa(5);0,1x324、几类不同增长的函数模型25、函数模型的应用举例：解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函数拟合，最后检验.附：（1） ,AB Axy fBBxyxfy yxy映 射 定 义 ： 设 ， 是 两 个 非 空 的 集 合 ， 如 果 按 某 一 个 确 定 的 对 应 关 系 ， 使 对

6、 于 集 合 中 的 任 意 一 个 元 素 ， 在 集 合 中 都 有 唯 一 确 定 的 元 素 与 之 对 应 ， 那 么 就 称 对 应 ： 为 从 集 合 到 集 合 的 一 个 映 射传 统 定 义 ： 如 果 在 某 变 化 中 有 两 个 变 量 并 且 对 于 在 某 个 范 围 内 的 每 一 个 确 定 的 值 ，定 义 按 照 某 个 对 应 关 系 都 有 唯 一 确 定 的 值 和 它 对 应 。 那 么 就 是 的 函 数 。 记 作函 数 及 其 表 示函 数 ()., ,()()(), ,1212()(), ,fxabaxbfxfxfxababff ab近 代

7、 定 义 ： 函 数 是 从 一 个 数 集 到 另 一 个 数 集 的 映 射 。定 义 域函 数 的 三 要 素 值 域 对 应 法 则解 析 法函 数 的 表 示 方 法 列 表 法图 象 法单 调 性函 数 的 基 本 性 质 传 统 定 义 ： 在 区 间 上 ， 若 如 ， 则 在 上 递 增 是 递 增 区 间 ； 如 ， 则 在 上 递 减 是 的 递 减 区 间 。导 数 定 义 ： 在 区 间 () 1 ()2()00, 0() ()0() ,yfxI MxIfxMxIfxMyff abfxfabab 最 大 值 ： 设 函 数 的 定 义 域 为 ， 如 果 存 在 实

8、数 满 足 ： （ ） 对 于 任 意 的 ， 都 有 ； （ ） 存 在 ， 使 得 。 则 称 是 函 数 的 最 大 值最 值 最 上 ， 若 ， 则 在 上 递 增 ,是 递 增 区 间 ； 如 则 在 上 递 减 是 的 递 减 区 间 。 () ()() ()(1)(), ()2(f I NIfNIfNfxfxfxDfx 小 值 ： 设 函 数 的 定 义 域 为 ， 如 果 存 在 实 数 满 足 ： （ ） 对 于 任 意 的 ， 都 有 ； （ ） 存 在 ， 使 得 。 则 称 是 函 数 的 最 小 值定 义 域 ， 则 叫 做 奇 函 数 ， 其 图 象 关 于 原 点

9、 对 称 。奇 偶 性 定 义 域 ， 则 叫 做 偶 函 数 ， 其 图() ()()0)()()1 , ()12yfxfxTfxTfxTTfxyxayfxaa 象 关 于 轴 对 称 。 奇 偶 函 数 的 定 义 域 关 于 原 点 对 称周 期 性 ： 在 函 数 的 定 义 域 上 恒 有 的 常 数 则 叫 做 周 期 函 数 ， 为 周 期 ； 的 最 小 正 值 叫 做 的 最 小 正 周 期 ， 简 称 周 期（ ） 描 点 连 线 法 ： 列 表 、 描 点 、 连 线向 左 平 移 个 单 位 ：向 右 平 移 个平 移 变 换函 数 图 象 的 画 法 （ ） 变 换

10、法 , ()1 1011/ ()01)bbbfxyyxxwwwxwyfxyAA单 位 ：向 上 平 移 个 单 位 ：向 下 平 移 个 单 位 ：横 坐 标 变 换 ： 把 各 点 的 横 坐 标 缩 短 （ 当 时 ） 或 伸 长 （ 当 时 ） 到 原 来 的 倍 （ 纵 坐 标 不 变 ） ， 即伸 缩 变 换 纵 坐 标 变 换 ： 把 各 点 的 纵 坐 标 伸 长 （ 或 缩 短 （ 到/()122100(,) 2(2)0 001()12(0 022010 Ayyfxxxxy yfxyyyfxyxxy fyy 原 来 的 倍 （ 横 坐 标 不 变 ） ， 即关 于 点 对 称

11、：关 于 直 线 对 称 ：对 称 变 换 关 于 直 线 对 称 ： )1()xfx 关 于 直 线 对 称 ：4,()0()(), ()()0,(), (,)()0,()0()yfxfxxyfxfab fafbyfx cabfccfxf 零 点 ： 对 于 函 数 （ ） 我 们 把 使 的 实 数 叫 做 函 数 的 零 点 。定 理 ： 如 果 函 数 在 区 间 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ， 并 且 有零 点 与 根 的 关 系 那 么 ， 函 数 在 区 间 内 有 零 点 。 即 存 在 使 得 这 个 也 是 方 程 的 根 。 （ 反 之 不 成

12、 立 ）关 系 ： 方 程函 数 与 方 程函 数 的 应 用 () ()(1),()()0,(2)(,);(3)()()0,()(), (,)0()()0,yfxyfxxabfafbcfcfcfaf bcxabfcfba有 实 数 根 函 数 有 零 点 函 数 的 图 象 与 轴 有 交 点确 定 区 间 验 证 给 定 精 确 度 ；求 区 间 的 中 点计 算 ；二 分 法 求 方 程 的 近 似 解 若 则 就 是 函 数 的 零 点 ； 若 则 令 （ 此 时 零 点 ） ； 若 则 令 （ 此 时 零 点 (,)(4) -, ();24cb ab ） ；判 断 是 否 达 到 精

13、 确 度 ： 即 若 则 得 到 零 点 的 近 似 值 或 否 则 重 复 。几 类 不 同 的 增 长 函 数 模 型函 数 模 型 及 其 应 用 用 已 知 函 数 模 型 解 决 问 题建 立 实 际 问 题 的 函 数 模 型附：（2）（一） 、函数的定义域的常用求法：1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被开方数大于等于零；3、对数的真数大于零；4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于 1；5、三角函数正切函数 中 ；余tanyx()2kZ切函数 中；6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值cotyx范围。（二） 、函数的解析式的常用求法：1、定义

14、法；2、换元法；3、待定系数法；4、函数方程法；5、参数法；6、配方法（三） 、函数的值域的常用求法：1、换元法；2、配方法；3、判别式法；4、几何法；5、不等式法；6、单调性法；7、直接法（四） 、函数的最值的常用求法：1、配方法；2、换元法；3、不等式法；4、几何法；5、单调性法（五） 、函数单调性的常用结论：1、若 均为某区间上的增（减）函数，则 在这个区间上也为增（减）函数(),fxg()fxg2、若 为增（减）函数，则 为减（增）函数()fx3、若 与 的单调性相同，则 是增函数；若 与 的单调性不同，则()fx()yfg()fx是减函数。yg4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函

15、数在对称区间上的单调性相反。55、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。（六） 、函数奇偶性的常用结论：1、如果一个奇函数在 处有定义，则 ，如果一个函数 既是奇函数又是偶0x(0)f()yfx函数，则 （反之不成立）()f2、两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。3、一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。4、两个函数 和 复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数()yfu()gx就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。5、若函数 的定义域关于原点对称，则 可以表示为()fx()fx，该式的特点

16、是：右端为一个奇函数和一个偶函数11()()22f fx的和。（七） 、函数的周期性：周期性：若函数 对定义域内任意的 满足 ，则称 T 是函数的一个周期。若 T 是周)(xf x)(xfTf期，则 也是函数的周期。注意周期性还有其它的表达形式。如：0kZT且， ； ， ；)()(axff2)()(xfaxfa2， ； ， ；ff )(1ffT等等。baTxfaf ),()(还要注意若一个函数有对称轴和对称中心，有两条对称轴或有两个对称中心则都是周期函数二、经典题例：例 1、 （1）函数 y 的定义域为_ （2）函数 y lg(2 x1)的定义域是 x2 3x 4x 13x 2_（3）函数 f

17、(x)Error!则 f(f(f( )5)_ . （4）规定记号“ ”表示一种运算，即32 . 若 ，则函数 的值域是_ababR， 、 1kfxk针对训练：1、函数 对任何 恒有 ，已知 ，则 ()fx1212()()ff(8)3f(2)f2、设函数 f（ x）的定义域为0，1 ，求下列函数的定义域：（1） H（ x）= f（ x2+1） ；（2） G（ x）= f（ x+m）+ f（ x m） （ m0）.例 2、定义在区间(1,1)上的函数 f(x)满足 2f(x)f (x)lg(x1)，则 f(x)的解析式为_6针对训练：已知函数 的图象关于直线 对称，且当 时，有 则当)(xfy1x

18、),0(x,1)(xf时， 的解析式为（ ）A B C D)2,(x 212例 3、已知函数 f(x)是 R 上的偶函数，且在 (0，)上有 f(x )0，若 f(1)0，那么关于 x 的不等式xf(x)1 时，f (x)0)上最大值是 3,最小值是 2,则实数 a 的取值范围是（ ）A0bc B a c b Cba c Dc ab18已知 f(x)是定义在 R 上的偶函 数 ， 并 满 足 f(x+2)= ，当 2x3，f (x)=x，则 f(5.5)=（ ） 1fA5.5 B5.5 C2.5 D2.519已知函数 ，则 2()1xf1(1)2(3)()23fffff20 设 f(x)=2x

19、+3，g(x+2)=f(x-1)，则 g(x)= 21定义域为 上的函数 f(x)是奇函数，则 a= 23,4a22设 ，则 2()()fxxgx()gfx823设偶函数 f(x)在 上为减函数，则不等式 f(x) f(2x+1) 的解集是 . ),024已知 f(x)与 g(x)的定义域是x|xR，且 x1 ，若 f(x)是偶函数，g(x)是奇函 数，且 f(x)+ g(x)=，则 f(x)= ，g(x)= .125若函数 f(x)=4x3ax+3 的单调递减区间是 ，则实数 a 的值为 .)21,(26已知定义域为（，0）（0，+）的函数 f(x)是偶函数，并且在（ ，0）上是增函数，若f

20、( 3)=0，则不等式 0 的解集是 )(xf27作出函数 的图象，并利用图象回答下列问题：23y(1)函数在 R 上的单调区间； (2)函数在0,4上的值域28定义在 R 上的函数 f(x)满足：如果对任意 x1， x2R，都有 f( ) f(x1)+f(x2) ，则称函12x数 f(x)是 R 上的凹函数.已知函数 f(x) ax2+x(aR 且 a0)，求证：当 a0 时，函数 f(x)是凹函数；29.若函数 是 R 上的偶函数，在 上是减函数，且 ，求使 的取值范围。f 0,)(ff的)(30.函数 在区间 A 上是增函数，求 A。)1(xy31.设 （其中 为常数， ） ，若 求 。

21、7)35cbaf cba,Rx,17)(f)(f32.如果 在（0，2）上是增函数，且 是偶函数，试比较 、 、 的大小。(x )2(fy 2533.已知函数 是 R 上的偶函数，且在 上是减函数，比较 与 的大小。)(f )0,()1(2af43(f34.若奇函数 ，满足 ， ，求 。x1)2f )(2xff35.如果奇函数 在区间 上是增函数且最大值为 5，那么 在区间 上是（ ）)(f7,3 3,7A 增函数且最小值是-5 B 增函数且最大值是-5 C 减函数且最大值是-5 D 减函数且最小值是-536.定义在 R 上的函数 即是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期，若将方程 在区

22、)(xf 0)(xf间 上根的个数记作 n，则 n 可能是（ ） A 0 B1 C3 D5,T37. 已知函数 是 R 上的增函数， ，那么 必为（ ）)(xf )()(xfxF)(xFA 增函数且是奇函数 B 增函数且是偶函数 C 减函数且是奇函数 D 减函数且是偶函数38.函数 是定义在 上的奇函数，且 。1)(2xbaf ),(52)1(f（1）求实数 ，并确定函数 的解析式；（2）证明 在 上是增函数；,xf x,39已知 Z）是奇函数，又 f(1)=2，f(2)3, 求 a,b,c 的值.cbaxf,()(2740.设定义在 R 上的偶函数 f(x)又是周期为 4 的周期函数，且当 x2，0时 f(x)为增函数，若 f(2)0，求证：当 x4 ，6时， | f(x)|为减函数.