1、小小亲清辅导班一、数列1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序” ，而不强调有“规律” 因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列在数列中同一个数可以重复出现项 a 与项数 n 是两个根本不同的概念n数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2.通项公式：如果数列 的第 n项与序号之间可以用一个式子表示 ,那么这个公式a叫做这个数列的通项公式，即 )(f. 3.递推公式：如果已知数列 的第一项（或前几项
2、） ，且任何一项 na与它的前一项n1na（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即 )(1nfa或 ),(21nf，那么这个式子叫做数列 的递推公式. 如数列 中， ,，其中nan2是数列 的递推公式.4.数列的前 项和与通项的公式 nnS21； )2(1nSan.5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.递增数列:对于任何 Nn,均有 na1.递减数列:对于任何 ,均有 .摆动数列:例如: .1常数数列:例如:6,6,6,6,.有界数列:存在正数 M使 na,.无界数列:对于任何
3、正数 ,总有项 使得 Man.1、已知 ，则在数列 的最大项为_（答： ） ；*2()156naN1252、数列 的通项为 ，其中 均为正数，则 与 的大小关系为1bnab,n1a_（答： ） ；n13、已知数列 中， ，且 是递增数列，求实数 的取值范围（答：a2nna） ；4、一给定函数 的图象在下列图中，并且对任意 ，由关系式)(xfy )1,0(a得到的数列 满足 ，则该函数的图象是 （） （答：A ）)(1nnfn )(*1Nn小小亲清辅导班二、 等差数列1、 等差数列的定义：如果数列 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，an那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的
4、公差。即.(或 ).)2,*(1Nndan且 )*(1Nndn2、 （1）等差数列的判断方法：定义法： 为等差数列。)(常 数dnan 中项法： 为等差数列。a212通项公式法： （a,b 为常数） 为等差数列。bnn前 n 项和公式法： （A,B 为常数） 为等差数列。BAs2a如设 是等差数列，求证：以 bn= 为通项公式的数列naan21*N为等差数列。nb（2）等差数列的通项： 或 。公式变形为: . 1()nad()nmadban其中 a=d, b= d.1如 1、等差数列 中， ， ，则通项 （答： ）；n103205n2102、首项为-24 的等差数列，从第 10 项起开始为正数
5、，则公差的取值范围是_（答： ）8d（3）等差数列的前 和： ， 。公式变形为：n1()2nnaS1()2nSad，其中 A=d，B= .注意：已知 n,d, , n, s中的三者可以求BnAs21另两者，即所谓的“知三求二”。如 数列 中， ， ，前 n 项和 ，na*1(2,)nnN32na152nS则 ， （答： ， ）；（2）已知数列 的前 n 项和1a30，求数列 的前 项和 （答： ）.2nS|nanT2*1(6,)7nN小小亲清辅导班（4）等差中项：若 成等差数列，则 A 叫做 与 的等差中项，且 。,aAbab2abA提醒：（1）等差数列的通项公式及前 和公式中，涉及到 5 个
6、元素： 、 、 、n1dn及 ，其中 、 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其naS1d余 2 个，即知 3 求 2。 （2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为， （公差为 ） ；偶数个数成等差，可设为，,aad,（公差为 2 ）,ad3.等差数列的性质：（1）当公差 时，等差数列的通项公式 是关于 的011()nadnan一次函数，且斜率为公差 ；前 和 是关于 的dn21()S二次函数且常数项为 0. 等差数列 a 中， 是 n 的一次函数，且点（ n， ）均在直n S线 y = x + (a )上2d1（2）若公差 ，则为递增等差数列，
7、若公差 ，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。0（3）对称性：若 是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之an和.当 时,则有 ，特别地，当 时，则有mnpqqpnma2mnp.2a如 1、等差数列 中， ，则 _（答：27） ；na1238,1nnnSS2、在等差数列 中， ，且 ， 是其前 项和，则n101,a10|anA、 都小于 0， 都大于 0 B 、 都小于 0， 都110,S 2,S 219,S 21,S大于 0 C 、 都小于 0， 都大于 0 D、 都小于 0，25, 67, 2,都大于 0 （答： B）21,(4) 项数成等差,则相应的项也成等差数列.
8、即 成等差.若),.(, *2Nmkak、 是等差数列，则 、 ( 、 是非零常数) 、nabnkanpbp小小亲清辅导班、 （公差为 ） ，也成等差数列，而*(,)pnqaN232,nnnSSd2成等比数列；若 是等比数列，且 ，则 是等差数列.a0algna如 等差数列的前 n 项和为 25，前 2n 项和为 100，则它的前 3n 和为 。 （答：225）（5）在等差数列 中，当项数为偶数 时， ； ；n2)(1sds奇偶.ans1奇偶项数为奇数 时， ； ； 。2anns)12(as1奇偶 n1奇偶如 1、在等差数列中，S 1122，则 _（答：2） ；62、项数为奇数的等差数列 中，
9、奇数项和为 80，偶数项和为 75，求此数列的na中间项与项数（答：5；31）.（6）单调性：设 d 为等差数列 的公差，则nd0 是递增数列；d0 且满足 ,则 最小.11nn“首正”的递减等差数列中，前 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前 项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正） ；法二：因等差数列前 项是关0011nna或 n于 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性 。上述两*N种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想） ，由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如 1、等差数列 中， ， ，问此数列前多少项
10、和最大？并求此最大na125917S值。 （答：前 13 项和最大，最大值为 169） ；2、若 是等差数列，首项 ，n10,a2304a，则使前 n 项和 成立的最大正整数 n 是 （答：4006）034anS(10)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究 .nmab小小亲清辅导班三、等比数列1、等比数列的有关概念：如果数列 从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常an数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比。即 )2,(*1nqNan（或
11、 )(*1Nanq2、等比数列的判断方法：定义法 ，其中 或1(naq为 常 数 ） 0,nqa1na。()如 1、一个等比数列 共有 项，奇数项之积为 100，偶数项之积为 120，则n2为_ （答： ） ；na562、数列 中， =4 +1 ( )且 =1，若 ，求证：数列nanS1a1annab21是等比数列。nb3、等比数列的通项： 或 。1nqnm如 设等比数列 中， ， ，前 项和 126，求 和公na16n218nannS比 . （答： ， 或 2）q64、等比数列的前 和：当 时， ；当 时， 。n1q1nSaq1()nnaqS1na如 等比数列中， 2， S99=77，求 （
12、答：44）963提醒：等比数列前 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前 项和时，首先要判断公比 是否为 1，再由 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比 是否为 1 时，qq q要对 分 和 两种情形讨论求解。5、等比中项：如果 a、G 、b 三个数成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项，即 G=.提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个ab小小亲清辅导班。如已知两个正数 的等差中项为 A，等比中项为 B，则 A 与 B 的大ab,()ab小关系为_（答：AB）提醒：（1）等比数列的通项公式及前 项和公式中，涉及到 5 个元素： 、 、 、n1aqn
13、及 ，其中 、 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其naS1aq余 2 个，即知 3 求 2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为， （公比为 ） ；但偶数个数成等比时，不能设为,q，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为 。33,aq 2q如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和为 12，求此四个数。 （答：15，,9，3,1 或 0,4，8,16）6、等比数列的性质：（1）对称性：若 是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之an积.即
14、当 时，则有 ，特别地，当 时，则有mpqqpnma.2mnp. 如 1、在 等比数列 中，2.na na， 公比 q 是整数，则 =_（答：512） ；38471,51102、各项均为正数的等比数列 中，若 ，则 na569a3132310logllogaa（答：10） 。(2) 若 a 是公比为 q 的等比数列，则 | a |、a 、ka 、 也是等比数n n2nna列，其公比分别为| q |、q 、q、 。若 成等比数列，则 、2q1nb、 nb成等比数列； 若 是等比数列，且公比 ，则数列 nabna232,nnnSS，也是等比数列。当 ，且 为偶数时，数列 ，是常数1q232,nnn
15、S数列 0，它不是等比数列. 若 是等比数列，且各项均为正数，则 成等差数列。an alog若项数为 3n 的等比数列(q1)前 n 项和与前 n 项积分别为 S 与 T ，次 n 项和与次 n1小小亲清辅导班项积分别为 S 与 T ，最后 n 项和与 n 项积分别为 S 与 T ，则 S ，S ，S 成等比数列，2 3123T ，T ，T 亦成等比数列13如 1、已知 且 ，设数列 满足 ，且0a1nx1loglogananxx(*)N，则 . （答： ） ；1210xx 10220 102、在等比数列 中， 为其前 n 项和，若 ，则nnS 4,33010SS的值为_（答：40）0S(3)
16、 单调性：若 ，或 则 为递增数列；若 ,或10,aq10,aqna1aq则 为递减数列；若 ，则 为摆动数列；若 ，则 为1,aqn n常数列.(4) 当 时， ，这里 ，但 ，1baqqaSnnn 10a,0ab这是等比数列前 项和公式的一个特征，据此很容易根据 ，判断数列 是否为等比数nSn列。如若 是等比数列，且 ，则 （答：1）na3nSr(5) .如设等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，mmnmSqnaqnS若 成等差数列，则 的值为_（答：2）12,nn(6) 在等比数列 中，当项数为偶数 时， ；项数为奇数 时，naS偶 奇 21.1Saq奇 偶(7)如果数列 既成等差数列又成
17、等比数列，那么数列 是非零常数数列，故常数n na数列 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。n如设数列 的前 项和为 （ ） ， 关于数列 有下列三个命题：若nanSNna，则 既是等差数列又是等比数列； 若 ，)(1Nan RbaS、2则 是等差数列；若 ，则 是等比数列。这些命题中，真命题的序nnS1na号是 （答：）等差数列中，S m+n=Sm+Sn+mnd；等比数列中，S m+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；小小亲清辅导班四、难点突破1并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一已知一个数列的前几项，这个数列的通项公式更不是唯一的2等差(比)
18、数列的定义中有两个要点：一是“从第 2 项起” ，二是“每一项与它前一项的差(比)等于同一个常数” 这里的“从第 2 项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在，而“同一个常数”则是保证至少含有 3 项所以，一个数列是等差(比)数列的必要非充分条件是这个数列至少含有 3 项3数列的表示方法应注意的两个问题： a 与 a 是不同的，前者表示数列na ， a ， a ，而后者仅表示这个数列的第 n 项； 数列 a ，a ，a ，12n 12n与集合 a ，a ，a ， ，不同，差别有两点：数列是一列有序排布的数，而集合12n是一个有确定范围的整体；数列的项有明确的顺序性，而集合的元素间没有顺序性4
19、注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即：对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为 S，则通常设，aq ， aq ， 21a，aq，aq ， ；2对连续偶数个项同号的等比数列，若已知其积为 S，则通常设，aq ， aq ， 3aq，aq ，35一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为 0，因此，在研究等比数列时，要注意 a 0，因为当 a = 0 时，虽有 a = a a 成立，但a 不是等比数列，nn2n11nn即“b = a c”是 a、b、 c 成等比数列的必要非充分条件；对比等差数列 a ， “2b = 2 na + c”是 a、b、 c 成等差数列的充要条件，这一点同学们要分清6由等比数列定义知，等比数列各项均不为 0，因此，判断一数列是否成等比数列，首先要注意特殊情况“0” 等比数列的前 n 项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分 q = 1和 q1 进行分类讨论，在具体运用公式时，常常因考虑不周而出错
