1、数列专项-3类型 构造数列法：形如 （其中 均为常数且 ）型的递推式： qpann1,p0p（1）若 时，数列 为等差数列; n（2）若 时，数列 为等比数列;0（3）若 且 时，数列 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等pqna比数列来求.方法有如下两种：法一： 设 ,展开移项整理得 ,与题设1()nna1(1)nnap比较系数（待定系数法）得1npq,即1,(0)()1nnqqapa1()nnqqapa构成以 为首项，以 为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公1nqap1式求出 的通项整理可得n.na法二： 由 得 两式相减并整理得 即qpann11(2)npq1,nap构成以
2、为首项，以 为公比的等比数列.求出 的通项再转化1na21 为类型（累加法）便可求出 .n例 10.在数列 中， ，且 ，求数列 的通项公式。n31nana例 11.在数列 中， ，且 ，求数列 的通项公式。1a2形如 型的递推式：1()nnapf当 为一次函数类型（即等差数列）时：()f法一： 设 ，通过待定系数法确定 的值，转1()nnABaABAB、化成以 为首项，以 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项1apna公式求出 的通项整理可得n .n法二： 当 的公差为 时，由递推式得： ，()fnd1()nnapf两式相减得： ，令 得：1nap1(nd1nnba转化为类型求出 ，再用
3、类型（累加法）便可求出bdb.例 12.在数列 中， ，且 ，求数列 的通项公式。n21a2431ann当 为指数函数类型（即等比数列）时：()f法一： 设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以1()()nnafpaf为首项，以 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求1()f ()naf出 的通项整理可得n .n法二： 当 的公比为 时，由递推式得： ，()fq1()nnpf，两边同时乘以 得 ，由两式相1napaq减得 ，即 ，在转化为类型便可求出11()nnqa1np .na法三： 递推公式为 （其中 p，q 均为常数）或 （其中nnp1 1nnaprqp，q, r 均为常数）时，
4、要先在原递推公式两边同时除以 ，得： ，1nann11引入辅助数列 （其中 ） ，得： 再应用类型的方法解决。nbnqaqbpnn1例 13.在数列 中， ，且 ，求数列 的通项公式。a2123a当 为任意数列时，可用通法：()fn在 两边同时除以 可得到 ，令 ，则1()nnapf1np11()nnafpnabp，在转化为类型（累加法） ，求出 之后得 .11nnfb nbn例 14.在数列 中， ，且 ，求数列 的通项公式。a2ann31 na类型 对数变换法：形如 型的递推式：1(0,)qnnapa在原递推式 两边取对数得 ，令 得：1q 1lglgnnaqplgnba，化归为 型，求出
5、 之后得 （注意：底数不一1lgnbq pn1b10.定要取 10，可根据题意选择） 。例 15. 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。an513nna71na例 16. 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。52n1类型 倒数变换法：形如 （ 为常数且 ）的递推式：两边同除于 ，转化为11nnapa0p1na形式，化归为 型求出 的表达式，再求 ；1nqann11nan还有形如 的递推式，也可采用取倒数方法转化成 形式，化归nnmapq 1nnmqap为 型求出 的表达式，再求 .a1nn例 17. 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项a31)2(11aann n公式。例 18.
6、已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。n11nan类型 形如 型的递推式：nnqpa12法一：用待定系数法，化为特殊数列 的形式求解。方法为：设1na，比较系数得 ，可解得 ，于是)(112nnkhka qhkp,hk、是公比为 的等比数列，这样就化归为 型。 nn1法二：可用特征方程的方法求解：我们称方程：x 2-Ax-B=0 为数列的特征方程 （i）当方程有两个相异的实根（或虚根）p、q 时，有： ，其中nnnqcpa21c1 与 c2 由已知的 a1、a 2 确定。 （ii）当方程有唯一的实根 p 时，有 其中 c1 与 c2 由已知的 a1、a2nnpca)(21确定。 例 19.
7、 已知 ，求 的通项公式。nna1221,3a例 20.已知 ，求 的通项公式。na类型 IX 不动点法为了求出递推数列 的通项，我们先给出如下两个定义：dtcbtnn1定义 1：若数列 满足 ，则称 为数列 的特征函数.nt)(1f)(xfnt定义 2:方程 =x 称为函数 的不动点方程，其根称为函数 的不动点.)(xfx )(xf下面分两种情况给出递推数列 通项的求解通法.dtcbatnn1(1)当 c=0,时,由 ,dtcbatnn1 btatnn1记 , ，则有 （k0）,kdctktnn1数列 的特征函数为 =kx+c,nt)(xf由 kx+c=x x= ,则kc1ctktnn1 )
8、1(1kctkctnn数列 是公比为 k 的等比数列,tn .11)(nckc11)(nkctkt(2)当 c0 时,数列 的特征函数为： =nt )(xfdcba由 xdcba 0)(2dc设方程 的两根为 x1,x2,则有:)(2ba,011xcx 0)(2badcx (1)12)(1xadcxb(2)22又设 (其中,nN *,k 为待定常数).2121xtkxtnn由 2121xtkxtnn2121xtkxdtcbatnnn(3)2121tkdxtcbat nnn 将(1)、 （2）式代入(3)式得: 212211 xtkaxtcxt nnn 212211)(ttann21cxak数列
9、 是公比为 (易证 )的等比数列.21xtn21cxa021 =21tn2121nt.1221122121nnncxattxt例 21. 已知数列a n中，a 1=3， ，求a n的通项。1241na例 22. 已知数列a n中，a 1=2， ，求a n的通项。31n总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 .na答案详解例 10. )(13Nnan例 11. 92n例 12. )(3Nnann例 13. 2-41例 14. )(43Nnann例 15. 7151nn例 16. )(23415651 Nan
10、n例 17. )(Nn例 18. 231an例 19. )(Nn例 20. 1na例 21. )(321Nnn例 22. )(an数列专项 3-巩固习题一、选择填空1.（2010 全国卷 2）(6)如果等差数列 na中， 3+ 4+ 5a=12，那么1a+ 2+ 7a=（A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 352.（2010 安徽）(5)设数列 na的前 n 项和 2nS，则 8a的值为（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）643. (2011 年高考四川)数列 n的首项为 3， nb 为等差数列且1(*)nnbaN.若则 32b， 10，则 8a( ） A）0 （B）3
11、（C）8 （D）114.(2011 年高考全国卷设 nS为等差数列 n的前 项和，若 1，公差 2d，则 k A）8 （B）7 （C）6 （D）5242kkS5.（ 2009 广 东 卷 理 ） 已知等比数列 na满足 0,2,n ，且5(3)na，则当 1n时， 21231logllogna A. 1 B. () C. D. 2(1)6.（2009 陕西卷）设等差数列 na的前 n 项和为 ns,若 632s,则 n 7. (2011 广东卷)等差数 列 前 9 项的和等于前 4 项的和.若 140ka，则 k 8. 1,31aan 则其通项为9（2009 宁夏海南卷理）等差数列 na前 n
12、 项和为 nS。已知 1ma+ - 2m=0，21mS=38,则 m=_10.重庆卷理）设 12a， 1na， 21nba， *N，则数列 nb的通项公式 nb= 二 、解答题二、解答题11等差数列 na是递增数列，前 n 项和为 nS，且 931,a成等比数列，25S求数列 的通项公式.12 已知数列 na的前 项和 nS满足 1,)(2nan求数列n的通项公式。13 已知数列 n满足 113nna， ，求数列 na的通项公式。14 已知数列 na满足 112()5nna， ，求数列 n的通项公式。15 已知数列 n满足 1136nna， ，求数列 na的通项公式。16 知数列 na满足 1
13、 1228()89n， ，求数列 n的通项公式。17 已知数列 na满足 1 1(42)6nnnaa， ，求数列 na的通项公式。18 已知数列 na满足 117223na， ，求数列 na的通项公式。答案详解1.【答案】C【解析】本题考查了数列的基础知识。 34512a， 4a127174()28aa2.【答案】 A【解析】 87695S.【方法技巧】直接根据 1(2)nnaS即可得出结论.3.答案：B解析：由已知知 128,8,nnb由叠加法2137 81()()()64204603aaaa.4【答案】D【解析】 2211()()kkSkdakd1()ad()425故选 D。5【解析】由
14、253n得 na2， 0，则 n2， 3212logl12 )1(logn ，选 C. 6 解析:由 6as可得 的公差 d=2,首项 =2,故易得 na2n.答案:2n7【答案】10【解析】由题得 106031)(2489kddk8 解：取倒数： 11nnnaan1是等差数列， 3)(1n 3)(21na9 解析由 1ma+ - 2m=0 得到 122210, 13810mmaSa又。答案 1010 解析 由条件得 11221nnnnaabb且 14所以数列 nb是首项为 4，公比为 2 的等比数列，则 142nb11 解：设数列 na公差为 )0(d 931,成等比数列， 9123a，即 8()(12d 0， 25aS 211)4(25d由得： 31， d nn5)(5点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。12 解：由 1211aSa当 n时，有 ,)1(2)(21nnnnaS1(),21nn， .1221()nna
