1、对数函数的图象及性质【知识梳理】1对数函数的定义函数 ( ，且 )叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是logayx01ax0,2对数函数的图象与性质 1a01a图象定义域： 0,值域： R过点 ，即当 时，1,1xy性质在 上是增函数0,在 上是减函数0,3对数函数与指数函数的关系指数函数 和对数函数 ( ，且 )互为反函数xyalogayx1a【常考题型】题型一、对数函数的概念【例 1】 判断下列函数是否是对数函数？并说明理由 ( ，且 )；2logayx01a ；1 ；8l ( ，且 )；ogxya01x .5l解 中真数不是自变量 ，不是对数函数；中对数式后减 ，不是对数函数；1
2、中 前的系数是 ，而不是 ，8logx21不是对数函数；中底数是自变量 ，而非常数 ，a不是对数函数为对数函数【类题通法】判断一个函数是否为对数函数的方法判断一个函数是对数函数必须是形如 ( 且 )的形式，即必须满足以下logayx01条件：系数为 .1底数为大于 且不等于 的常数01对数的真数仅有自变量 .x【对点训练】函数 是对数函数，则实数 _.21fxa1logaa解析： ，解得 或 .0又 ，且 ， .10答案：题型二、对数函数的图象【例 2】 (1)函数 ( ，且 )的图象恒过点_log12ayx01a(2)如图所示的曲线是对数函数 ， ， ， 的图象，lalogbyxlcyxlo
3、gdyx则 ， ， ， 与 的大小关系为_abcd1解析 (1)因为函数 ( ，且 )的图象恒过点 ，则令 得logayx01a1,01x，此时 ，0xl12ay所以函数 ( ，且 )的图象恒过点 ,2(2)由图可知函数 ， 的底数 ， ，函数 ，logaxlbyx1ablogcyx的底数 , .logdyx01cd过点 作平行于 轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为 ，,x c， ， ，显然 .aba答案 (1) (2)0,21badc【类题通法】1对数函数图象过定点问题求函数 ( ，且 )的图象过的定点时，只需令 求出 ，logaymfx01a1fx即得定点为 ,x2对数函
4、数图象的判断根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线 与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向1y右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小【对点训练】已知 ，且 ，则函数 与 的图象只能是( )0a1xyalogax解析：选 B 法一：若 ，则函数 的图象下降且过点 ，而函数01axya0,1的图象上升且过点 ，以上图象均不符合logayx,若 ，则函数 的图象上升且过点 ，而函数 的图象下降且过1xy0,1logayx点 ，只有 B 中图象符合,0法二：首先指数函数 的图象只可能在上半平面，函数 的图象只可能xa la在左半平面，从而排除 A，C；再
5、看单调性， 与 的单调性正好相反，排除xyalogaxD.只有 B 中图象符合.题型三、与对数函数有关的定义域问题【例 3】 求下列函数的定义域(1) ；(2) ；5log1yx1log5xy(3) ；(4) ln43xy0.5log43yx解 (1)要使函数式有意义，需 ，解得 ，所以函数 的定义115log1yx域是 1x(2)要使函数式有意义，需 ，解得 ，且 ，所以函数 的定01xx01lxy义域是 10x且(3)要使函数式有意义，需 ，解得 ，且 ，所以函数 的403x4x3ln43xy定义域是 4x且(4)要使函数式有意义，需 ，解得 ，所以函数0.54log3x314x的定义域是
6、 0.5log43yx14【类题通法】求对数函数定义域应注意的问题定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于 ；若自变量在底数上，应保证0底数大于 且不等于 .01【对点训练】求下列函数的定义域：(1) ；2logyx(2) ；3(3) ；2l164xy(4) ogx解：(1)要使函数式有意义，需 ，解得 ，且 .20logx0x1函数 的定义域是 21logyx01x且(2)要使函数式有意义，需 ，即 ，解得 .3lg30x4x所求函数的定义域是 4x(3)要使函数式有意义，需 ，解得 .160x2x所
7、求函数的定义域是 2(4)要使函数式有意义，需 ，解得 ，且 .310x3x2所求函数的定义域是 2x且【练习反馈】1函数 的定义域是( )1fxlgxA B,1,C D解析：选 C 由题意知，解得 且 .10x1x2当 时，函数 和 的图象只能是( )alogay1yax解析：选 B 因为 ，所以 为增函数，且函数图象过定点 ，故排除1alogayx1,0C，D.又 ，所以直线 应过原点，且经过第二象限和第四象限故选 B.103已知对数函数过点 ，则 的解析式为_2,4f解析：设 ，则由 得logafxlog24a， ，42a4 .42logfx答案： 4x4函数 ( ， )的图象必经过点_2fal1a01a解析：当 时， ，所以图象必经过点 0flog2a2,答案： ,5已知 .3logfx(1)作出这个函数的图象；(2)若 ，利用图象求 的取值范围2fafa解：(1)作出函数 的图象如图所示3logyx(2)令 ，即 ，2fxf3logx3l2解得 .由图象知：当 时，0a恒有 2ff所求 的取值范围为 .2
