1、小学奥数竞赛专题之最优化问题专题介绍最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优化问题成为现代数学的一个重要课题，涉及统筹、线性规划一排序不等式等内容。最优化问题不仅具有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强，因此对于开拓解题思路，增强数学能力很有益处。但解决这类问题需要的基础知识相当广泛，很难做到一一列举。因此，主要是以例题的方式让大家体会解决这些问题的方法和经验。经典例题例 1:货轮上卸下若干只箱子，总重量为 10 吨，每只箱子的重量不超过 1 吨，为了保证能把这些箱子一次运走，问至少需要多少辆载重 3 吨
2、的汽车？分析因为每一只箱子的重量不超过 1 吨，所以每一辆汽车可运走的箱子重量不会少于 2 吨，否则可以再放一只箱子。所以，5 辆汽车本是足够的，但是 4 辆汽车并不一定能把箱子全部运走。例如，设有 13 只箱子，所以每辆汽车只能运走 3 只箱子，13 只箱子用 4 辆汽车一次运不走。因此，为了保证能一次把箱子全部运走，至少需要 5 辆汽车。例 2:用 10 尺长的竹竿来截取 3 尺、4 尺长的甲、乙两种短竹竿各 100 根，至少要用去原材料几根？怎样截法最合算？分析一个 10 尺长的竹竿应有三种截法：（1）3 尺两根和 4 尺一根，最省；（2）3 尺三根，余一尺；（3）4 尺两根，余 2 尺
3、。为了省材料，尽量使用方法（1），这样 50 根原材料，可截得 100 根 3 尺的竹竿和 50根 4 尺的竹竿，还差 50 根 4 尺的，最好选择方法（3），这样所需原材料最少，只需 25 根即可，这样，至少需用去原材料 75 根。例 3:一个锐角三角形的三条边的长度分别是两位数，而且是三个连续偶数，它们个位数字的和是 7 的倍数，这个三角形的周长最长应是多少厘米？分析因为三角形三边是三个连续偶数，所以它们的个位数字只能是 0，2，4，6，8，并且它们的和也是偶数，又因为它们的个位数字的和是 7 的倍数，所以只能是 14，三角形三条边最大可能是 86，88，90，那么周长最长为 86+88+
4、90=264 厘米。例 4:把 25 拆成若干个正整数的和，使它们的积最大。分析先从较小数形开始实验，发现其规律：把 6 拆成 3+3，其积为 33=9 最大；把 7 拆成 3+2+2，其积为 322=12 最大；把 8 拆成 3+3+2，其积为 332=18 最大；把 9 拆成 3+3+3，其积为 333=27 最大；这就是说，要想分拆后的数的乘积最大，应尽可能多的出现 3，而当某一自然数可表示为若干个 3 与 1 的和时，要取出一个 3 与 1 重合在一起再分拆成两个 2 之和，因此 25 可以拆成 3+3+3+3+3+3+3+2+2，其积 3722=8748 为最大。例 5:A、B 两人
5、要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走 20 千米，已知每人最多可携带一个人 24 天的食物和水，如果不准将部分食物存放于途中，问其中一个人最远可以深入沙漠多少千米（要求最后两人返回出发点）？如果可以将部分食物存放于途中以备返回时取用呢？分析设 A 走 X 天后返回，A 留下自己返回时所需的食物，剩下的转给 B，此时 B 共有（48-3X）天的食物，因为 B 最多携带 24 天的食物，所以 X=8，剩下的 24 天食物，B 只能再向前走 8 天，留下 16 天的食物供返回时用，所以 B 可以向沙漠深处走 16 天，因为每天走 20 千米，所以其中一人最多可以深入沙漠 320 千米。如果改变条件，
6、则问题关键为 A 返回时留给 B24 天的食物，由于 24 天的食物可以使 B单独深入沙漠 12 天的路程，而另外 24 天的食物要供 A、B 两人往返一段路，这段路为 244=6 天的路程，所以 B 可以深入沙漠 18 天的路程，也就是说，其中一个人最远可以深入沙漠 360 千米。例 6:甲、乙两个服装厂每个工人和设备都能全力生产同一规格的西服，甲厂每月用的时间生产上衣，的时间生产裤子，全月恰好生产 900 套西服；乙厂每月用的时间生产上衣，的时间生产裤子，全月恰好生产 1200 套西服，现在两厂联合生产，尽量发挥各自特长多生产西服，那么现在每月比过去多生产西服多少套？分析根据已知条件，甲厂
7、生产一条裤子与一件上衣的时间之比为 2:3；因此在单位时间内甲厂生产的上衣与裤子的数量之比为 2:3；同理可知，在单位时间内乙厂生产上衣与裤子的数量之比是 3:4；，由于，所以甲厂善于生产裤子，乙厂善于生产上衣。两厂联合生产，尽量发挥各自特长，安排乙厂全力生产上衣，由于乙厂生产月生产 1200 件上衣，那么乙厂全月可生产上衣 1200=2100 件，同时，安排甲厂全力生产裤子，则甲厂全月可生产裤子 900=2250 条。为了配套生产，甲厂先全力生产 2100 条裤子，这需要 21002250=月，然后甲厂再用月单独生产西服 900=60 套，于是，现在联合生产每月比过去多生产西服（2100+6
8、0）-（900+1200）=60 套例 7 今有围棋子 1400 颗，甲、乙两人做取围棋子的游戏，甲先取，乙后取，两人轮流各取一次，规定每次只能取 7P（P 为 1 或不超过 20 的任一质数）颗棋子，谁最后取完为胜者，问甲、乙两人谁有必胜的策略？分析因为 1400=7200，所以原题可以转化为：有围棋子 200 颗，甲、乙两人轮流每次取 P 颗，谁最后取完谁获胜。解乙有必胜的策略。由于 200=450，P 或者是 2 或者可以表示为 4k+1 或 4k+3 的形式（k 为零或正整数）。乙采取的策略为：若甲取 2，4k+1，4k+3 颗，则乙取 2，3，1 颗，使得余下的棋子仍是4 的倍数。如
9、此最后出现剩下数为不超过 20 的 4 的倍数，此时甲总不能取完，而乙可全部取完而获胜。说明（1）此题中，乙是“后发制人”，故先取者不一定存在必胜的策略，关键是看他们所面临的“情形”；（2）我们可以这样来分析这个问题的解法，将所有的情形-剩余棋子的颗数分成两类，第一类是 4 的倍数，第二类是其它。若某人在取棋时遇到的是第二类情形，那么他可以取 1 或 2 或 3，使得剩下的是第一类情形，若取棋时面临第一类情形，则取棋后留给另一个人的一定是第二类情形。所以，谁先面临第二类情形谁就能获胜，在绝大部分双人比赛问题中，都可采用这种方法。例 8 有一个 80 人的旅游团，其中男 50 人，女 30 人，
10、他们住的旅馆有 11 人、7 人和5 人的三种房间，男、女分别住不同的房间，他们至少要住多少个房间？分析为了使得所住房间数最少，安排时应尽量先安排 11 人房间，这样 50 人男的应安排 3 个 11 人间，2 个 5 人间和 1 个 7 人间；30 个女人应安排 1 个 11 人间，2 个 7 人间和 1 个 5 人间，共有 10 个房间。练习1、十个自然数之和等于 1001，则这十个自然数的最大公约数可能取的最大值是多少？（不包括 0）2、在两条直角边的和一定的情况下，何种直角三角形面积最大，若两直角边的和为 8，则三角形的最大面积为多少？3、5 个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他
11、们打水所需要的时间分别是 1 分钟、2 分钟、3 分钟、4 分钟和 5 分钟，如果只有一个水龙头适当安排他们的打水顺序，就能够使每个人排队和打水时间的总和最小，那么这个最小值是多少分钟？4、某水池可以用甲、乙两水管注水，单放甲管需 12 小时注满，单放乙管需 24 小时注满。若要求 10 小时注满水池，并且甲、乙两管合放的时间尽可能地少，则甲乙两管全放最少需要多少小时？5、有 1995 名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任务后应该在该公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？6、甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过 10 的自然数，规则是禁止写
12、黑板上已写过的数的约数，不能完成下一步的为失败者。问：是先写者还是后写者必胜？如何取胜？习题参考答案及思路分析1、1001=71113，可以 713 为公约数,这样这十个正整数可以是,912，它们的最大公约数为 91。2、对于直角三角形而言，在直角边的和一定的情况下，等腰直角三角形的面积最大。若两直角边的和为 8，则三角形的最大面积为44=8。3、为了使每个人排队和打水时间的总和最小，有两种方法：（1）排队的人尽量少；（2）每次排队的时间尽量少。因此应先让打水快的人打水，才能保证开始排队人多的时候，每个人等待的时间要少，故共需 51+42+33+24+5=35（分钟）。4、由于甲、乙单独开放都
13、不可能在 10 小时注满水池，因此必须有时间甲、乙全放。为了使它们合放的时间最少，应尽量开放甲管（速度快），这样甲开 10 小时注满水池的，余下只能由乙注满，需。因此甲乙两管全放最少需要 4 小时。5、此问题我们可以从最简单问题入手，寻找规律，从而解决复杂问题，最后集合地点应在中间地点。6、先写者存在获胜的策略。甲第一步写 6，乙仅可写 4，5，7，8，9，10 中的一个，把它们分成数对（4，5），（8，10），（7，9）。如果乙写数对中的某个数，甲就写数对中的另一个数，则甲必胜。最优化问题不仅具有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强，因此对于开拓解题思路，增强数学能力很有益处。专题介绍最优
14、化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优化问题成为现代数学的一个重要课题，涉及统筹、线性规划一排序不等式等内容。最优化问题不仅具有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强，因此对于开拓解题思路，增强数学能力很有益处。但解决这类问题需要的基础知识相当广泛，很难做到一一列举。因此，主要是以例题的方式让大家体会解决这些问题的方法和经验。经典例题例 1 :货轮上卸下若干只箱子，总重量为 10 吨，每只箱子的重量不超过 1 吨，为了保证能把这些箱子一次运走，问至少需要多少辆载重 3 吨的汽车 ?分析 因为每一只箱子的重量不
15、超过 1 吨，所以每一辆汽车可运走的箱子重量不会少于 2吨，否则可以再放一只箱子。所以，5 辆汽车本是足够的，但是 4 辆汽车并不一定能把箱子全部运走。例如，设有 13 只箱子，所以每辆汽车只能运走 3 只箱子，13 只箱子用 4辆汽车一次运不走。因此，为了保证能一次把箱子全部运走，至少需要 5 辆汽车。例 2: 用 10 尺长的竹竿来截取 3 尺、4 尺长的甲、乙两种短竹竿各 100 根，至少要用去原材料几根? 怎样截法最合算 ?分析 一个 10 尺长的竹竿应有三种截法：(1) 3 尺两根和 4 尺一根，最省;(2) 3 尺三根，余一尺;(3) 4 尺两根，余 2 尺。为了省材料，尽量使用方
16、法(1)，这样 50 根原材料，可截得 100 根 3 尺的竹竿和 50 根 4 尺的竹竿，还差 50 根 4 尺的，最好选择方法(3)，这样所需原材料最少，只需 25 根即可，这样，至少需用去原材料 75 根。例 3: 一个锐角三角形的三条边的长度分别是两位数，而且是三个连续偶数，它们个位数字的和是 7 的倍数，这个三角形的周长最长应是多少厘米 ?分析 因为三角形三边是三个连续偶数，所以它们的个位数字只能是 0，2 ，4，6，8，并且它们的和也是偶数，又因为它们的个位数字的和是 7 的倍数，所以只能是 14，三角形三条边最大可能是 86，88 ，90，那么周长最长为 86+88+90=264 厘米。例 4: 把 25 拆成若干个正整数的和，使它们的积最大。分析 先从较小数形开始实验，发现其规律：把 6 拆成 3+3，其积为 33=9 最大;把 7 拆成 3+2+2，其积为 322=12 最大;把 8 拆成 3+3+2，其积为 332=18 最大;把 9 拆成 3+3+3，其积为 333=27 最大;这就是说，要想分拆后的数的乘积最大，应尽可能多的出现 3，而当某一自然数可表示为若干个 3 与 1 的和时，要取出一个 3 与 1 重合在一起再分拆成两个 2 之和，因此 25 可以拆成 3+3+3+3+3+3+3+2+2，其积 3722=8748 为最大。
