1、- 1 -用因式分解法解一元二次方程【主体知识归纳】1因式分解法 若一元二次方程的一边是 0，而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，x290，这个方程可变形为( x3)( x3)0，要( x3)( x3)等于 0，必须并且只需( x3)等于 0 或(x3)等于 0，因此，解方程( x3)( x3)0 就相当于解方程 x30 或 x30 了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法2 因 式 分 解 法 其 解 法 的 关 键 是 将 一 元 二 次 方 程 分 解 降 次 为 一 元 一 次 方 程 其 理 论 根 据 是 ： 若AB 0 A 0 或 B
2、0【基础知识讲解】1只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是 0 的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法2在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程但对某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简便，有的用因式分解法简便因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时，一般不用配方法而在以后的学习中，会常常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法【例题精讲】例 1：用因式分解法解下列方程：(1)y27 y60； (2) t(
3、2t1)3(2 t1)； (3)(2 x1)( x1)1解：(1)方程可变形为( y1)( y6)0， y10 或 y60， y11， y26(2)方程可变形为 t(2t1)3(2 t1)0，(2 t1)( t3)0，2 t10 或t30， t1 ， t23(3)方程可变形为 2x23 x0 x(2x3)0， x0 或 2x30 x10， x2 说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了(2)应用因式分解法解形如
4、( x a)(x b) c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如( x e)(x f)0 的形式，这时才有 x1 e， x2 f，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：- 2 -原方程变形为：2 x11 或 x11 x11， x22(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2 t1)，请同学们思考？例 2：用适当方法解下列方程：(1) (1 x)2 ；(2) x26 x190；(3)3 x24 x 1；(4) y2152 y；(5)5 x(x3)( x3)37(x1)0；(6)4(3x1) 225( x2) 2剖析：方程(1)用直接开平方法，方程(2)用
5、配方法，方程(3)用公式法，方程(4)化成一般式后用因式分解法，而方程(5)、(6)不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了解：(1)(1 x)2 ，( x1) 23， x1 ， x11 ， x21 9333(2)移项，得 x26 x19，配方，得 x26 x(3) 219(3) 2，( x3) 228， x32 ，7 x132 ， x232 77(3)移项，得 3x24 x10， a3， b4， c1， x ，37232)()( x1 ， x2 77(4)移项，得 y22 y150，把方程左边因式分解，得( y5)( y3)0； y50 或 y30， y15， y23(5)将方程左边因式分
6、解，得( x3)5 x( x1)0，( x3)(4 x1)0， x30 或 4x10， x13， x2 (6)移项，得 4(3x1) 225( x2) 20，2(3 x1) 25( x2) 20，2(3 x1)5( x2)2(3 x1)5( x2)0，(11x8)( x12)0，11 x80 或 x120， x1 ， x2128说明：(1)对于无理系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过要注意二次根式的化简- 3 -(2)直接因式分解就能转化成两个一次因式乘积等于零的形式，对于这种形式的方程就不必要整理成一般式了例 3:解关于 x 的方程：( a2 b2)x24 abx a2 b2解：(1)
7、当 a2 b20，即 a b时，方程为4 abx0当 a b0 时， x 为任意实数当 a b0 时， x0(2)当 a2 b20，即 a b0 且 a b0 时，方程为一元二次方程分解因式，得( a b)x( a b) ( a b)x( a b)0， a b0 且 a b0， x1 ， x2 说明：解字母系数的方程，要注意二次项系数等于零和不等于零的不同情况分别求解本题实际上是分三种情况，即 a b0； a b0； a b例 4:已知 x2 xy2 y20，且 x0， y0，求代数式 的值225yx剖析：要求代数式的值，只要求出 x、 y 的值即可，但从已知条件中显然不能求出，要求代数式的分
8、子、分母是关于 x、 y 的二次齐次式，所以知道 x 与 y 的比值也可由已知 x2 xy2 y20 因式分解即可得 x 与 y 的比值解：由 x2 xy2 y20，得( x2 y)(x y)0， x2 y0 或 x y0， x2 y 或 x y当 x2 y 时， 1355)(52222 当 x y 时， y4)y()(yx 2222 说明：因式分解法体现了“降次” “化归”的数学思想方法，它不仅可用来解一元二次方程，而且在解一元高次方程、二元二次方程组及有关代数式的计算、证明中也有着广泛的 应用【同步达纲练习】1选择题(1)方程( x16)( x8)0 的根是( )A x116， x28 B
9、 x116， x28C x116， x28 D x116， x28- 4 -(2)下列方程 4x23 x10，5 x27 x20，13 x215 x20 中，有一个公共解是( )A x B x2 C x1D x1(3)方程 5x(x3)3( x3)解为( )A x1 ， x23 B x 53C x1 ， x23 D x1 ， x235(4)方程( y5)( y2)1 的根为( )A y15， y22 B y5 C y2 D以上答案都不对(5)方程( x1) 24( x2) 20 的根为( )A x11， x25 B x11， x25 C x11， x25D x11， x25(6)一元二次方程
10、x25 x0 的较大的一个根设为 m， x23 x20 较小的根设为 n，则 m n 的值为( )A1 B2 C4 D4(7)已知三角形两边长为 4 和 7，第三边的长是方程 x216 x550 的一个根，则第三边长是( )A5 B5 或 11 C6 D11(8)方程 x23| x1|1 的不同解的个数是( )A0 B1 C2 D32填空题(1)方程 t(t3)28 的解为_(2)方程(2 x1) 23(2 x1)0 的解为_(3)方程(2 y1) 23(2 y1)20 的解为_(4)关于 x 的方程 x2( m n)x mn0 的解为_(5)方程 x(x ) x 的解为_53用因式分解法解下
11、列方程：(1)x212 x0； (2)4x210； (3)x27 x；(4)x24 x210； (5)(x1)( x3)12； (6)3x22 x10；- 5 -(7)10x2 x30； (8)(x1) 24( x1)2104用适当方法解下列方程：(1)x24 x30； (2)(x2) 2256； (3)x23 x10；(4)x22 x30； (5)(2t3) 23(2 t3)；(6)(3 y)2 y29；(7)(1 )x2(1 )x0；(8) x2(5 1) x 0；51(9)2x28 x7(精确到 001)；(10)( x5) 22( x5)805解关于 x 的方程：(1)x24 ax3
12、a212 a；(2) x25 x k22 kx5 k6；(3)x22 mx8 m20； (4) x2(2 m1) x m2 m0- 6 -6已知 x23 xy4 y20( y0)，试求 的值yx7已知( x2 y2)(x21 y2)120求 x2 y2的值8请你用三种方法解方程： x(x12)8649已知 x23 x5 的值为 9，试求 3x29 x2 的值10一跳水运动员从 10 米高台上跳水，他跳下的高度 h(单位：米)与所用的时间 t(单位：秒)的关系式 h5( t2)( t1)求运动员起跳到入水所用的时间11为解方程( x21) 25( x21)40，我们可以将 x21 视为一个整体，
13、然后设 x21 y，则y2( x21) 2，原方程化为 y25 y40，解此方程，得 y11， y24当 y1 时， x211， x22， x 2当 y4 时， x214， x25， x 5原方程的解为 x1 ， x2 ， x3 ， x4 5以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想(1)运用上述方法解方程： x43 x240(2)既然可以将 x21 看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗- 7 -参考答案【同步达纲练习】1(1)B (2)C (3)D (4)D (5)B (6)A (7)A (8)D2(1) t17， t24(2) x1 ， x22(3) y11， y2
14、 (4)x1 m， x2 n(5)x1 ， x21353(1) x10， x212；(2) x1 ， x2 ；(3) x10， x27；(4) x17， x23；(5) x15， x23；(6)x11， x2 ；(7)x1 ， x2 ；(8) x18， x2254(1) x11， x23；(2) x118， x214；(3) x1 ， x2 ；(4) x13， x21；5353(5)t10， t2 ；(6) y10， y23；(7) x10， x22 3；(8)x1 ， x2 ；(9) x17.24， x23.24；(10) x11， x2755(1) x24 ax4 a2 a22 a1，(x
15、2 a)2( a1) 2， x2 a( a1)， x13 a1， x2 a1(2)x2(52 k)x k25 k60，x2(52 k)x( k1)( k6)0， x( k1) x( k6)0， x1 k1， x2( k6)(3)x22 mx m29 m2，( x m)2(3 m)2 x14 m， x22 m(4)x2(2 m1) x m(m1)0，(x m) x( m1)0， x1 m， x2 m16( x4 y)(x y)0，x4 y 或 x y当 x4 y 时， ；354y当 x y 时， 0 7( x2 y2)(x2 y21)120，(x2 y2)2( x2 y2)120，(x2 y24)( x2 y23)0， x2 y24 或 x2 y23(舍去)8 x136， x2249 x23 x59， x23 x4，- 8 -3 x29 x23( x23 x)23421010105( t2)( t1)， t1( t0 舍去)11(1) x12， x22(2)(x22)( x25)0，(x )(x )(x )(x )05
