1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。1.若集合 ，则|(4)10,|(4)10MxNxMNA.1,4B.,C. D.【答案】D【解析】 ，1,40)1(4x4,10)(4xNNM2.若复数 （ 是虚数单位） ，则(32)ziizA.iB.23iC.32iD.32i【答案】A【解析】 ，)(iiz323. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 2A.1yx1B.yx1C.2xyD.xye【答案】D【解析】A 和 C 选项为偶函数， B 选项为奇函
2、数， D 选项为非奇非偶函数4. 袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球，从袋中任取 2个球，所取的 2 个球中恰好有 1 个白球，1 个红球的概率为5.10B.21C.2D.1【答案】B【解析】 12510CP5. 平行于直线 且与圆 相切的直线的方程是2+1=0xy25xyA.55或 B.250250xyxy或C.2020xyxy或 D.或【答案】A【解析】设所求直线为 ，因为圆心坐标为（0，0 ） ，则由直线与圆相切可得 c，解得 ，所求直线方程为512cd5005yxyx或6. 若变量 满足约束条件 ，则 的最小值为,4581302xy32zxyA.
3、4B.5C.631D.5【答案】B【解析】如图所示，阴影部分为可行域，虚线表示目标函数 ，则当目标函数过点（1 ， ） ，32zxy85取最小值为 357. 已知双曲线 的离心率 ，且其右焦点为 ，则双曲线 的方程为2:1xyCab54e2(5,0)FC2A.143xy2B.96xy2C.169xy2D.134xy【答案】C【解析】由双曲线右焦点为 ，则 c=5，)0,5(2F45ace，所以双曲线方程为92acb 1962yx8. 若空间中 个不同的点两两距离都相等，则正整数 的取值nnA.3至 多 等 于 B.4至 多 等 于 C.5等 于 D.5大 于【答案】B【解析】当 时，正三角形的
4、三个顶点符合条件；当 时，正四面体的四个顶点符n 4n合条件故可排除 A，C，D 四个选项，故答案选 B二、填空题：本大题 共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分.（一）必做题（9-13 题）9. 在 的展开式中， 的系数为 .4x（ -1） x【答案】6【解析】 ，则当 时， 的系数为2441rrrr CCx6124C10. 在等差数列 中，若 ，则 .na345675aa28a【答案】10【解析】由等差数列性质得， ，解得 ，所以576543 5a102582a11. 设 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ， ， ，则 b= . 3a1sin2B6
5、C【答案】1【解析】 ，又 ，故 ，所以 65,21sin或6C3A由正弦定理得， ，所以BbAasini 112. 某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言。 （用数字作答）【答案】156013. 已知随机变量 X 服从二项分布 ， ， ，则 .(,)Bnp()30EX()20Dp【答案】 31【解析】 ， ，解得0npE)1(D31（二）选做题（14-15 题，考生只能从中选做一题） ，14. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线 的极坐标方程为 ，点 的极坐l2sin()24A标为 ，则点 到直线 的距离为 .72,)4AAl【答案】
6、5【解析】 2)cossin2()4sin(2 1cossin即直线 的直角坐标方程为 ，点 A 的直角坐标为（2 ，-2 ）l 01yxy， 即A 到直线的距离为 251d15. (几何证明选讲选做题)如图 1，已知 是圆 的直径， , 是圆 的切线，切ABO4ABECO点为 ， ，过圆心 作 的平行线，分别交 和 于点 和点 ，则 = .C1BOCECDP【答案】8【解析】图 1如图所示，连结 O，C 两点，则 ,CDAO90AD,90ABB，CB则 ，所以 ,所以 8三、解答题（本大题共 6 小题，满分 80 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16.（本小题满分 12 分）在平
7、面直角坐标系 中，已知向量 m=（ ，- ） ，n=（ ， ） ，x （0 ，xOy2sico）.2（1 ）若 mn，求 的值；tax（2 ）若 m 与 n 的夹角为，求 的值.x【解析】（1） ， ，且 ，=(22,22) =(,)=2222=0解得， tan=1（2） 与 的 夹 角 为 3 =|cos3=12=22(sincos)=sin(4)=124=6+2 ()(0，2) =51217.（本小题满分 12 分）某工厂 36 名工人的年龄数据如下表：工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄1 402 443 404 415 336 407 458 429 4310 361
8、1 4412 3813 3914 3315 4516 3917 3818 3619 2720 4321 4122 3723 3424 4225 3726 4427 4228 3429 3930 4331 3832 4233 5334 3735 4936 39（1 ）用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里采用随机抽样法抽到的年龄数据为 44，列出样本的年龄数据；（2 ）计算（1 ）中样本的均值 和方差 ；x2s（3 ） 36 名工人中年龄在 与 之间有着多少人？所占的百分比是多少（精确xs-+到 0.01%）？【解析】（1 ） 由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为
9、2，6 ， 10，14，18 ，22，26，30 ，34 的年龄数据为样本。则样本的年龄数据为：44，40，36 ，43，36，37，44，43，37（2 ） 由（1）中的样本年龄数据可得， 4037437643049 x则有 24037420437206432036402412s= 90（3 ） 由题意知年龄在 之间，即年龄在 之间，9140， 437，由（1）中容量为 9 的样本中年龄在 之间的有 5 人，37，所以在 36 人中年龄在 之间的有 （人） ，43， 2096则所占百分比为 5.%106218.（本小题满分 14 分）如图 2，三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所
10、在的平面垂直，PD=PC=4 ，AB6，BC=3，点 E 是 CD 边的中点，点 F，G 分别在线段 AB，BC 上，且 AF2FB，CG2GB，（1）证明：PEFG；（2）求二面角 P-AD-C 的正切值；（3）求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值.【解析】（1）证明： PCD为 等 腰 三 角 形为 边的中点，所以，EDCPE， ，且AB平 面平 面 DCAB平 面平 面PC平 面 PEABCD平 面，FG平 面FGPE（2） 由长方形 知， ，且ABCP平 面平 面 DCAB平 面平 面DA平 面平 面，PC平 面ADCADPAD平 面，平 面， 且，由 即 为 二 面 角由长方形
11、 得 ， 为 边的BC6EC中点，则 321E73442PDPD，37tanEC即二面角 的正切值为AP（3） 如图，连结 A,C GBCF2，ABA/为直线 PA 与直线 FG 所成角.P由长方形 中 得D36，5362C由（2）知 ， PA4PDBC，5432A由题意知 42592cosACPPAC所以，直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值为19.（本小题满分 14 分）设 ，函数 .1a2()1)xfxea=+-（1 ）求 的单调区间；（2 ）证明： 在 上仅有一个零点；()fx),-（3 ）若曲线 在点 P 处的切线与 轴平行，且在点 的切线与直线 OPy=x(,)Mma平行（O
12、是坐标原点） ，证明： .321mae-【解析】（1 ） 22()1)=(1)0()RxxfxeaeRffx时 ， 恒 成 立的 单 调 递 增 区 间 为（2 ）由（1 ）可知 在 R 上为单调递增函数()fx()=+1)(0),)aaxfefx当 时 ， 在 上 仅 有 一 个 零 点（3 ）令点 P 为 0(y0202()P=1-,p(-)-2OP1M(m,n)OPxopyf xfxeaekaf e曲 线 在 点 处 的 切 线 与 轴 平 行直 线 斜 率 为在 点 处 的 切 线 与 直 线 平 行 33 21,()aaee要 证 明 即 证32()1()0,() +1mmgege需
13、 证 明需 证 明设令 在 -)上 单 调 递 减 ， 在 (0， )上 单 调 递 增命题得证.20.（本小题满分 14 分）已知过原点的动直线 与圆 相交于不同的两点 A，B.l21:650Cxy+-=（1 ）求圆 的圆心坐标；1（2 ）求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程；（3 ）是否存在实数 ，使得直线 与曲线 C 只有一个交点？若存在，k:(4)Lykx=-求出 的取值范围；若不存在，说明理由.k【解析】（1 ）由题意知：圆 方程为：1C2(3)4xy圆 的圆心坐标为（3,0）1（2 ）由图可知，令 2 211111(,)|,|(3)MxyOxyCMxy22211211|3(
14、3)9()4OCMxyy直线 L 与圆 交于 A、B 两点直线 L 与圆 的距离：1C02d2121120(3)493()53395C()(,34xyxxxyx轨 迹 的 方 程 为 ：（3 ） 直线 L： 2()1yky与 曲 线 仅 有 个 交 点联立方程： 2()5(,3394xxy，得： ，222(1)(8)160kxkk(,1在 区 间 有 且 仅 有 个 解=3-64+=3当 （ ） 0时 ，此时， ，仅有一个交点，符合题意。25(,x222)1)(8)16kxkxk当 时 ， 令 g则有： (30A解得： 25,7k 的取值范围为： 或25,7k43k21.（本小题满分 14 分）数列 满足： .na *12124,nnaN -+=（1 ）求 的值；3（2 ）求数列 的前 项和 ；nnT
