1、1中考数学专题训练 二次函数压轴题一、抛物线关于三角形面积问题例题 二次函数 的图象，其顶点坐标为 M(1， ).kmxy2)( 4（1）求出图象与 轴的交点 A，B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点 P，使 ,若MABABS45存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在 轴下方的部分沿 轴翻折，图象的其余部分不变，得到一个新的图象，请你结合xx这个新的图象回答：当直线 与此图象有两个公共点时， 的取值范围.)1(by b练习：1. 如图平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（2，2） ，点 B 的坐标为（6，6） ，抛物线经过A、O、B 三点，
2、线段 AB 交 y 轴与点 E（1）求点 E 的坐标；（2）求抛物线的函数解析式；（3）点 F 为线段 OB 上的一个动点（不与 O、B 重合） ，直线 EF 与抛物线交与 M、N 两点（点 N 在 y 轴右侧），连结 ON、BN，当点 F 在线段 OB 上运动时，求 BON 的面积的最大值，并求出此时点 N 的坐标；2. 如图，已知抛物线 交 x 轴的正半轴于点 A，交 y 轴于点 B421xy（1）求 A、B 两点的坐标，并求直线 AB 的解析式；（2）设 （ ）是直线 上的一点，Q 是 OP 的中点（O 是原点） ，以 PQ 为对角线作正方形),(xP0y2ENMDCBAOyxPEQF若
3、正方形 PEQF 与直线 AB 有公共点，求 x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，记正方形 PEQF 与 OAB 公共部分的面积为 S，求 S 关于 x 的函数解析式，并探究 S的最大值二、抛物线中线段长度最小问题例题 如图，对称轴为直线 x1 的抛物线 yax 2bxc(a0)与 x 轴相交于 A、B 两点，其中点 A 的坐标为（3，0） （1）求点 B 的坐标； （2）已知 a=1，C 为抛物线与 y 轴的交点若点 P 在抛物线上，且 SPOC4S BOC，求点 P 的坐标；设点 Q 是线段 AC 上的动点，作 QDx 轴，QD 交抛物线于点 D，求线段 QD 长度的最大值中国#*教育
4、出&版网练习：1. 如图， RtABO 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A、B 两点的坐标分别为（ ，0） 、 （0，4） ，抛物线 经过 B 点，且顶点在直线 上323ybc52x（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若DCE 是由ABO 沿 x 轴向右平移得到的，当四边形 ABCD 是菱形时，试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若 M 点是 CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点 M 作 MN 平行于 y 轴交 CD 于点 N设点 M的横坐标为 t，MN 的长度为 l求 l 与 t 之间的函数关系式，并求 l
5、 取最大值时，点 M 的坐标OBPEQFxy3三、抛物线与线段和最小的问题例题 如图，已知抛物线 与 x 轴交于点 B、C，与 y 轴交于点 E，且点 B 在点 C 的120yxa左侧 （1）若抛物线过点 M（2， 2） ，求实数 a 的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；求出BCE 的面积；在抛物线的对称轴上找一点 H，使 CH+EH 的值最小，直接写出点 H 的坐标练习：1. 如图，已知二次函数 的图象与坐标轴交于点 A（-1， 0）和点 B（0，-5 ） 24yaxc（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点 P， 使 得 ABP 的 周 长 最 小 请 求
6、 出 点 P 的 坐 标 （3）在（2）的条件下，在 x 轴上找一点 M，使得APM 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点 M的坐标2. 如图，抛物线 y = ax2 + bx + 4 与 x 轴的两个交点分别为 A（4，0） 、B（2，0） ，与 y 轴交于点 C，顶点为DE（ 1，2）为线段 BC 的中点， BC 的垂直平分线与 x 轴、y 轴分别交于 F、G（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D 的坐标；（2）在直线 EF 上求一点 H，使CDH 的周长最小，并求出 H 的坐标；（3）若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动，当 K 运动到什么位置时， EFK 的面积最大？并求出最
7、大面积xOAByCEDGAxyO BF4四、抛物线与等腰三角形例题：已知抛物线 yax 2bxc 经过 A(1，0) 、B(3， 0)、C (0，3)三点，直线 l 是抛物线的对称轴(1)求抛物线的函数关系式； (2)设点 P 是直线 l 上的一个动点，当 PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标；(3)在直线 l 上是否存在点 M，使MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由练习：1. .如图，抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交 C 点，点 A 的坐标为（2，0） ，点 C 的坐标为（0，3）它的对称轴是直线 12（1）求抛物线的解析
8、式；（2）M 是线段 AB 上的任意一点，当MBC 为等腰三角形时，求 M 点的坐标2. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（m，m ） ，点 B 的坐标为（n，n） ，抛物线经过 A、O 、B 三点，连接 OA、OB、AB，线段 AB 交 y 轴于点 C已知实数 m、n（mn）分别是方程 x22x3=0 的两根（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 为线段 OB 上的一个动点（不与点 O、B 重合） ，直线 PC 与抛物线交于 D、E 两点（点 D 在 y 轴右侧） ，连接 OD、BD当OPC 为等腰三角形时，求点 P 的坐标；求BOD 面积的最大值，并写出此时点 D 的坐标53.
9、如图，已知抛物线于 x 轴交于 A（1，0）、B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为 D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点 P，使得PDC 是等腰三角形，若存在，求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由：（3）若点 M 是抛物线上一点，以 B、C、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点 M 的坐标。五、抛物线与直角三角形例题 如图，抛物线 经过点 A（3，0） ，B（1.0） ，C （0，3） 2yaxbc（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 为第三象限内抛物线上的一点，设PAC 的面积为 S，求 S 的最大值并求
10、出此时点 P 的坐标；（3）设抛物线的顶点为 D， DEx 轴于点 E，在 y 轴上是否存在点 M，使得ADM 是直角三角形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由练习：1. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A、B 为 x 轴上两点，C 、D 为 y 轴上的两点，经过点 A、C、B的抛物线的一部分 C1 与经过点 A、D、B 的抛物线的一部分 C2 组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”已知点 C 的坐标为（0， ） ，点 M 是抛物线 C2： 的顶点30ymx（1）求 A、B 两点的坐标；（2） “蛋线”在第四象限上是否存在一点 P，使得 PBC 的面积最大？
11、若存在，求出PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当BDM 为直角三角形时，求 m 的值62. 如图，在平面直角坐标系中， ABC 是直角三角形， ACB=90 ，AC=BC ，OA=1 ，OC=4 ，抛物线y=x2+bx+c 经过 A，B 两点，抛物线的顶点为 D（1）求 b，c 的值；（2）点 E 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点（点 A、B 除外） ，过点 E 作 x 轴的垂线交抛物线于点 F，当线段 EF 的长度最大时，求点 E 的坐标；（3）在（2）的条件下：求以点 E、B、F、D 为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点 P，使EFP 是以 EF 为直角边
12、的直角三角形？若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，说明理由六、抛物线与四边形例题 1. 如图，抛物线经过 A（1，0） ，B（5，0） ，C （0， ）三点52（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PAPC 的值最小，求点 P 的坐标；（3）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C ，M，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由练习：1. 如图，在平面直角坐标系中，直线 3xy与 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C. 抛物线cbxy2经过 A、C 两点，且与 x 轴交于另一点 B(点 B 在点
13、A 右侧).（1）求抛物线的解析式及点 B 坐标；yxOA BC7（2）若点 M 是线段 BC 上一动点，过点 M 的直线 EF 平行 y 轴交 x轴于点 F，交抛物线于点 E.求 ME 长的最大值； （3）试探究当 ME 取最大值时，在抛物线 x 轴下方是否存在点 P，使以 M、F、B、P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，试说明理由. 2. 如图，已知二次函数图像的顶点坐标为（2，0） ，直线 与二次函数的图像交于 A、B 两点，其中1xy点 A 在 y 轴上.（1）二次函数的解析式为 y= ； （2）证明点 不在（1）中所求的二次函数的图像上；(,2)m
14、（3）若 C 为线段 AB 的中点，过 C 点作 轴于 E 点，CE 与二次函数的x图像交于 D 点. y 轴上存在点 K，使以 K、A、D 、C 为顶点的四边形是平行四边形，则 K点的坐标是 ； 二次函数的图像上是否存在点 P，使得 ？若存在，求出 P 点ABDPOES2坐标；若不存在，请说明理由. 8例 1. 解：（1）A，B 两点的坐标分别为 A（-1，0） ，B（3，0）（2）故 P 点坐标为（-2，5）或（4，5）（3）b 的取值范围为练 1. （2）y=1/4x 2-1/2x，（3）依题意，得直线 OB 的解析式为 y=x，设过 N 点且与直线 OB 平行的直线解析式为 y=x+m
15、，与抛物线解析式联立，得出关于 x 的一元二次方程，当=0 时，BON 面积最大，N（3，3/4）；此时BON 面积=27/4练 2. 解：（1）所以直线 AB 的解析式为 ； （2） ；（3）当 时， ， ， ，当 时， ， ， ，综合得，当 时， 。例二 ：（1）点 A（-3，0） ，点 B（1,0）（2）点 P 的坐标（4,21） 、 （-4,5 ）（3）x=-3/2，QD 最大值 9/4.二练 1. （1）（2）（3）例三 （1）a=4； （2）（3）三练 1、 （1）9（2）要使ABP 的周长最小，只要 PA+PB 最小；因而 BC 与对称轴 x=2 的交点 P 就是所求的点；点 P
16、（2，-3）三练 2、 （1）（2）由于 CD 是定长，若CDH 的周长最小，那么 CH+DH 的值最小，由于 EF 垂直平分线段 BC，那么B、C 关于直线 EF 对称，所以 BD 与 EF 的交点即为所求的 H 点；例四：（1） （2）（3）练四 1、 （1）y=-1/2x2-1/2x+3 ；（2）M 坐标（0,0）或(32-3,0)2、 （1）（2）（3）3、 五 （1） 10（2）练五 1、 （1）（2）练五 2、 （1）（2）（3）例六 、 （1）（2） （3）练六 1、 （1）抛物线的解析式为 y=x2-2x-3，点 B 坐标为（3，0） ；（2）直线 BC y=x-3，设 M（x，x-3）E（x，x2-2x-3） ， ME=x-3-(x2-2x-3)=(x-3/2)2+9/4，ME 的最大值为9/4；（3）当 ME 取最大值时，M 的坐标为（3/2 ，-3/2） ，F 的坐标为（ 3/2，0） ，FB=3/2 ，抛物线的对称 x=1，所以点 M 不在对称上，故在抛物线 x 轴下方不存在点 P，使以 M，F，B ，P 为顶点的四边形是平行四边形。
