1、2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题分析（word 版）一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1） ）若函数 在 处连续，则（ ）1cos,0(),xfxab(A) (B) (C) (D)2ab120ab2ab【答案】A【解析】 在 处连续 选 A.0011cos2limli,()xxfxaa011.22ba（2）设二阶可导函数 满足 且 ，则（ ）()f()1,()ff()0fx1 1010110 0() ()() ()AfxdBfxdCfxDfx 【答案】B【解析】为偶
2、函数时满足题设条件，此时 ，排除 C,D.()fx0110()()fxdfx取 满足条件，则 ，选 B.2()1f21103f2 （3）设数列 收敛，则（ ）nx当 时， 当 时，()Alims0nnli0nx()Blim()0nxlim0nx当 时， 当 时，C2li()nnxlinDlisinnlin【答案】D【解析】特值法：（A）取 ，有 ，A 错；nxlimsn0,linx取 ，排除 B,C.所以选 D.1nx（4）微分方程的特解可设为（A） （B）2(cos2in)xeBxC2(cos2in)xAeBxC（C） （D）2ix2ix【答案】A【解析】特征方程为：21,2480i22*2
3、*21()1cos)cos,(cosin2),xx xxfeeyAeBCx故特解为： 选 C.*21(sin),xyABC（5）设 具有一阶偏导数，且对任意的 ，都有 ，则(,)fxy(,)xy(,)(,)0fxyfxy（A） （B） （C） （D）(0,)(1,ff(0,)(1,ff(0,1)(,)ff(0,1),ff【答案】C【解析】 是关于 的单调递增函数，是关于 的单调递减函数，(,)(,)0,(,)fxyfxyfxy y所以有 ，故答案选 D.(,1),(1,)fff（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线（单位： ） ，虚线表示乙的速
4、度曲线 ，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，1()vt/ms 2()vt计时开始后乙追上甲的时刻记为 （单位：s） ，则（ ）0t0512053()ts(/)v（A） （B） （C） （D）01t0t0t025t【答案】B【解析】从 0 到 这段时间内甲乙的位移分别为 则乙要追上甲，则t 0012(t),(t),tvd，当 时满足，故选 C.021(t)vtdt025t4 （7）设 为三阶矩阵， 为可逆矩阵，使得 ，则 （ A123(,)P102PA123(,)A）（A） （B） （C） （D）12232312【答案】 B【解析】,1 1231232300 01(,)(,)12PA
5、APA因此 B 正确。（8）设矩阵 ,则（ ）202100,2ABC（A） （B）,C与 相 似 与 相 似 ,AB与 相 似 与 不 相 似（C） （D ）,B与 不 相 似 与 相 似 ,C与 不 相 似 与 不 相 似【答案】B【解析】由 可知 A 的特征值为 2,2,1,0E因为 ，A 可相似对角化，即3(2)1r102A由 可知 B 特征值为 2,2,1.0E因为 ，B 不可相似对角化，显然 C 可相似对角化， ，但 B 不相似于 C.3(2)rE AC二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 曲线 的斜渐近线方程为_21arcsi
6、nyxx【答案】【解析】 22limli(1arcsin)1,limliarcsin,2xxxxyyx(10) 设函数 由参数方程 确定，则 _()yxsintxey20tdyx【答案】 18【解析】 2 202coscos,11sin()s18t tttt tdyxdytexedydx xt (11) _20ln(1)x【答案】1【解析】6 2000220ln(1)1ln()()1.()xdxddxdx(12) 设函数 具有一阶连续偏导数，且 ， ，则(,)fxy,(1)yyfexed(0,)f(,)_fxy【答案】 ye【解析】 故,(1),()(),yyyyxffxefxedxc，()y
7、yyyf xe因此 ，即 ，再由 ，可得()0cy()cyC(0,)f,.yf【答案】【解析】（13） 10tan_yxd【答案】 .lncos1【解析】交换积分次序：.111000tatantalncos1xyxddyxd（14）设矩阵 的一个特征向量为 ，则4213A2_a【答案】-1【解析】设 ，由题设知 ，故12A4113232aa故 .1三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15） （本题满分 10 分）求极限 03limxted【答案】 23【解析】 ，令 ，则有03limxtedxtu00 0x xt x
8、uueeed003322031022=lililimlixxuuxxuxdee原 式8 （16） （本题满分 10 分）设函数 具有 2 阶连续偏导数， ，求 ，(,)fuv(,cos)xyfe0xdy20x【答案】2 1100(,)(,)xxdydyff【解析】 0 12121002 2 2 1120(,cos)(,)sin(,)(,)0(,)(i)sinsicos,),(,xx xxxx xxyfeyfdf ffffeffexffedy结论： 102 1120(,),(,),xxdyffff（17） （本题满分 10 分）求 21limlnnkk【答案】 14【解析】 211 122020
9、01 11limln()ln()ln()(ln)2 4nk xxdxdxd （18） （本题满分 10 分）已知函数 由方程 确定，求 的极值()yx320yx()yx【答案】极大值为 ，极小值为(1)y(1)0y【解析】两边求导得：（1）2330xy令 得01对（1）式两边关于 x 求导得 （2）2630xyy将 代入原题给的等式中，得 ，x1ory将 代入（2）得1,y()0将 代入（2）得,0x12y故 为极大值点， ； 为极小值点，1()x(1)0y（19） （本题满分 10 分）设函数 在区间 上具有 2 阶导数，且 ，证明：()fx0,1 0()(1),limxff方程 在区间 内
10、至少存在一个实根；()()0fx,1方程 在区间 内至少存在两个不同实根。2()()0ffx(,1)【答案】【解析】（I） 二阶导数，()fx0()(1),limxff解：1）由于 ，根据极限的保号性得0lix10 有 ，即0,(,)x(0fx()0fx进而 0,f有又由于 二阶可导，所以 在 上必连续()fx()fx0,1那么 在 上连续，由 根据零点定理得：f,1,()ff至少存在一点 ，使 ，即得证(,)()0f（II）由（1）可知 ， ，令 ，则0f,1()0f使 ()()Fxfx(0)f由罗尔定理 ，则 ，(,)(f使 F对 在 分别使用罗尔定理：()Fx0,且 ，使得 ，即12,(,)1212,(0,)12()0F在 至少有两个不同实根。()Fxfxf,得证。（20） （本题满分 11 分）已知平面区域 计算二重积分 。2,|,Dxyy21Dxdy【答案】 54【解析】 2 2sin22 20 511 co4DDDDxdyxdyxdyxdrd（21） （本题满分 11 分）设 是区间 内的可导函数，且 ，点 是曲线 L: 上()yx30,2(1)yP()yx
