1、定义新运算1.规定:ab=(b+a)b,那么(23)5= 。2.如果 ab 表示 ,例如 34 ,那么,当 a5=30 时, a= ba)2( 4)23(。3.定义运算“”如下:对于两个自然数 a 和 b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为ab.例如:46=(4,6)+4,6=2+12=14.根据上面定义的运算,1812= 。4.已知 a,b 是任意有理数,我们规定: ab= a+b-1, ,那么2ab。)53()86(45.x 为正数,表示不超过 x 的质数的个数,如=3,即不超过 5.1 的质数有 2,3,5 共 3个.那么+的值是 。6.如果 ab 表示 ,例如 45=34-25=2,
2、那么,当 x5 比 5x 大 5 时, x= ba2。7.如果 14=1234,23=234,72=78,那么 45= 。8.规定一种新运算“”: ab= .如果(x3)4=421200,那)1()1(baa么 x= 。9.对于任意有理数 x, y,定义一种运算“” ，规定:xy= ,其中的 表cxycba,示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道 12=3,23=4,xm=x(m0),则 m的数值是 。10.设 a,b 为自然数,定义 ab 。ab2(1)计算(43)+(85)的值；(2)计算(23)4；(3)计算(25)(34)。11.设 a，b 为自然数，定义 ab 如下:如果
3、ab，定义 ab=a-b，如果 ab，则定义ab= b-a。(1)计算:(34)9；(2)这个运算满足交换律吗?满足结合律吗?也是就是说，下面两式是否成立?ab= ba;(ab)c= a(bc)。12.设 a,b 是两个非零的数,定义 ab 。ab(1)计算(23)4 与 2(34)。(2)如果已知 a 是一个自然数，且 a3=2,试求出 a 的值。13.定义运算“”如下:对于两个自然数 a 和 b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为ab。比如:10 和 14，最小公倍数为 70，最大公约数为 2，则 1014=70-2=68。(1)求 1221,515；(2)说明，如果 c 整除 a 和
4、b,则 c 也整除 ab；如果 c 整除 a 和 ab，则 c 也整除 b；(3)已知 6x=27,求 x 的值。答案一、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）1 （3 分）规定：ab=（b+a）b，那么（23）5= 100 考点： 定义新运算。1665141分析： 根据 ab=（b+a）b，得出新的运算方法，再根据新的运算方法解答（23）5的值解答： 解：因为，23=（3+2 ）3=15，所以， （23）5=155= （5+15 ）5=100 ，故答案为：100点评： 解答此题的关键是，根据所给的等式，找出新的运算方法，再运用新的运算方法，解答出要求式子的值2 （3 分）如
5、果 ab 表示（a2）b，例如 34=（3 2）4=4 ，那么，当 a5=30 时，a= 8 考点： 定义新运算。1665141分析： 根据“ab 表示（a 2）b，34=（32）4=4 ， ”得出新的运算方法，再用新的运算方法计算 a5=30，即可写成方程的形式，解此方程得出 a 的值解答： 解：因为，a5=30 ，所以， （a2）5=30，5a10=30，5a=40，a=8，故答案为：8点评： 解答此题的关键是根据题意找出新运算方法，再根据新运算方法解答即可3 （3 分）定义运算“”如下：对于两个自然数 a 和 b，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为 ab例如： 46=（4，6）+4，6
6、=2+12=14根据上面定义的运算，1812= 42 考点： 定义新运算。1665141分析： 根据新运算知道，求 1812，就是求 18 和 12 的最大公约数与最小公倍数的和，由此即可解答解答： 解：因为，18 和 12 的最大公约数是 6，最小公倍数是 36，所以，1812= （18，12）+18 ，12=6+36=42；故答案为：42点评： 解答此题的关键是，根据定义的新运算，找出运算方法，列式解答即可4 （3 分）已知 a，b 是任意有理数，我们规定：a b=a+b1，ab=ab2，那么4（68）（35）= 98 考点： 定义新运算。1665141分析： 根据 ab=a+b1，ab=
7、ab 2，得出新的运算方法，再运用新的运算方法计算4（68）（35）的值解答： 解：4 （68） （35），=4（6+8 1） （352），=41313，=413+131，=425，=4252，=98，故答案为：98点评： 解答此题的关键是根据给出的式子，找出新的运算方法，用新运算方法解答即可5 （3 分）x 为正数，x表示不超过 x 的质数的个数，如5.1=3，即不超过 5.1 的质数有 2，3，5 共 3 个那么19+93+4 18的值是 11 考点： 定义新运算。1665141分析： 根据题意，先求出不超过 19 的质数的个数，再求出不超过 93 的质数的个数，而不超过 1 的质数的个数
8、是 0，所以418的值是 0，因此即可求出要求的答案解答： 解：因为，19为不超过 19 的质数，有 2，3，5，7，11，13，17，19 共 8 个，93为不超过的质数，共 24 个，并且，1=0，所以，19+93+ 4 18，=19+93，=8+24，=32，=11，故答案为：11点评： 解答此题的关键是，根据题意，找出新的符号表示的意义，再根据定义的新运算，找出对应量，解答即可6 （3 分）如果 ab 表示 3a2b，例如 45=3425=2，那么，当 x5 比 5x 大 5 时，x= 6 考点： 定义新运算。1665141分析： 根据所给的运算方法，将 x5 比 5x 大 5 写成方
9、程的形式，解答方程即可解答： 解：由 x55x=5，可得：（3x25 ）（35 2x）=5，5x25=5，x=6，故答案为：6点评： 解答此题的关键是，根据题意找出新的运算方法，再根据新的运算方法，列式解答即可7 （3 分）如果 14=1234，23=234，72=78 ，那么 45= 45678 考点： 定义新运算。1665141分析： 根据“14=1234，23=234，72=78”，得出新的运算方法：的前一个数字是等号后面数的第一个数字，后面的数字表示连续数的个数，是从前面的数开始连续，然后运用新的运算方法计算 45 的值即可解答： 解：由于 14=1234，23=234，72=78 ，
10、所以 45=45678；故答案为：45678点评： 解答此题的关键是，根据所给出的式子，找出新的运算方法，再利用新的运算方法解答即可8 （3 分）我们规定：符号表示选择两数中较大数的运算，例如： 53=35=5，符号 表示选择两数中较小数的运算，例如：53=3 5=3请计算： = 考点： 定义新运算。1665141分析： 根据符号表示选择两数中较大数的运算，符号表示选择两数中较小数的运算，得出新的运算方法，用新的运算方法，计算所给出的式子，即可得出答案解答： 解： = = ，0.625 = = ， = = ，2.25= = ，所以： = = ；故答案为： 点评： 解答此题的关键是，根据题意找出
11、新的运算方法，再根据新的运算方法，解答即可9 （3 分）规定一种新运算“”：a b=a（a+1）（a+b1） 如果（x3）4=421200，那么 x= 2 考点： 定义新运算。1665141分析： 先根据“ab=a（a+1）（a+b+1） ”，知道新运算“”的运算方法，由于（x3）4=421200，这个式子里有两步新运算，所以令其中的一步运算式子为y，再根据新的运算方法，由此即可求出要求的答案解答： 解：令 x3=y，则 y4=421200，又因为，421200=2 4345213=24252627，所以，y=24，即 x3=24 ，又因为，24=2 33=234，所以，x=2；故答案为：2点
12、评： 解答此题的关键是，根据新运算方法的特点，只要将整数写成几个自然数连乘的形式，即可得出答案10 （3 分）对于任意有理数 x，y，定义一种运算“”，规定：xy=ax+bycxy，其中的a，b，c 表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算又知道12=3，23=4，xm=x（m0） ，则 m 的数值是 4 考点： 定义新运算。1665141分析： 根据 xy=ax+by cxy，找出新的运算方法，根据新的运算方法，将12=3，23=4，xm=x 写成方程的形式，即可解答解答： 解：由题设的等式 xy=ax+bycxy 及 xm=x （m0） ，得 a0+bmc0m=0，所以 bm=0，又 m
13、0，故 b=0，因此 xy=ax cxy，由 12=3，23=4 ，得 ，解得 a=5，c=1，所以 xy=5x xy，令 x=1，y=m，得 5m=1，故 m=4；故答案为：4点评： 解答此题的关键是，根据题意找出新的运算方法，再根据新的运算方法，列式解答即可二、解答题（共 4 小题，满分 0 分）11设 a，b 为自然数，定义 ab=a2+b2ab（1）计算（43）+（85）的值；（2）计算（23）4；（3）计算（25）（34） 考点： 定义新运算。1665141分析： 根据“ab=a 2+b2ab”得出新的运算方法，然后运用新的运算方法进行计算即可解答： 解：（1） （43）+（85）
14、，=（4 2+3243）+ （8 2+5285） ，=1+49，=62；（2） （23）4，=（2 2+3223） 4，=74，=72+4274，=37；（3） （25）（34） ，=（2 2+5225） （3 2+4234） ，=1913，=192+1321913，=283；答：（1）62， （2）37， （3）283点评： 解答此题的关键是，根据所给出的式子，找出新的运算方法，再利用新的运算方法解答即可12设 a，b 为自然数，定义 ab 如下：如果 ab，定义 ab=a b，如果 ab，则定义ab=b a（1）计算：（34）9；（2）这个运算满足交换律吗？满足结合律吗？也是就是说，下面两
15、式是否成立？ab=b a；（ab）c=a（bc） 考点： 定义新运算。1665141分析： （1）根据“如果 ab，定义 ab=ab，如果 ab，则定义 ab=ba， ”得出新的运算方法，再利用新的运算方法计算（34）9 的值即可；（2）要证明这个运算是否满足交换律和满足结合律，也就是证明 和 这两个等式是否成立解答： 解：（1） （34）9=（4 3）9=19=91=8；（2）因为表示 ab 表示较大数与较小数的差，显然 ab=ba 成立，即这个运算满是交换律，但一般来说并不满足结合律，例如：（34）9=8，而 3（49）=3（9 4）=35=5 3=2，所以，这个运算满足交换律，不满足结合
16、律；答：这个运算满足交换律，不满足结合律点评： 解答此题的关键是，根据所给出的式子，找出新的运算方法，再根据新的运算方法解答即可13设 a，b 是两个非零的数，定义 ab= （1）计算（23）4 与 2（34） （2）如果已知 a 是一个自然数，且 a3=2，试求出 a 的值考点： 定义新运算。1665141分析： （1）根据 ab= ，找出新的运算方法，再根据新的运算方法，计算（23）4 与 2（34）即可；（2）根据新运算方法将 a3=2，转化成方程的形式，再根据 a 是自然数，即可求出 a 的值解答： （1）按照定义有 23= ，34= ，于是（23）4= 4= ，2（34）=2 ；（2
17、）由已知得 若 a6，则 2，从而 与矛盾，因此 a5，对 a=1，2，3，4，5 这 5 个可能的值，一一代入 式中检查知，只有 a=3 符合要求点评： 解答此题的关键是根据所给的式子，找出新运算的运算方法，再用新运算方法计算要求的式子即可14定义运算“”如下：对于两个自然数 a 和 b，它们的最大公约数与最小公倍数的差记为 ab比如：10 和 14，最小公倍数为 70，最大公约数为 2，则 1014=702=68（1）求 1221，5 15；（2）说明，如果 c 整除 a 和 b，则 c 也整除 ab；如果 c 整除 a 和 ab，则 c 也整除 b；（3）已知 6x=27，求 x 的值考
18、点： 定义新运算。1665141分析： （1）根据新的定义运算，先求出 12 与 21 的最小公倍数和最大公约数，5 与 15 的最小公倍数和最大公约数，问题即可解决；（2）根据整除的定义及公约数、最大公约数与最小公倍数之间的关系进行说明；（3）由于运算“”没有直接的表达式，解这个方程有一些困难，我们设法逐步缩小探索范围，即根据 6 与 x 的最小公倍数不小于 27+1，不大于 27+6，由此即可得出答案解答： 解：（1）因为，12 与 21 的最小公倍数和最大公约数分别为 84，3，所以，1221=843=81 ，同样道理 515=155=10；（2）如果 c 整除 a 和 b，那么 c 是
19、 a 和 b 的公约数，则 c 整除 a，b 的最大公约数，显然 c 也整除 a，b 最小公倍数，所以 c 整除最小公倍数与最大公约的差，即 c 整除 ab，如果 c 整除 a 和 ab，由 c 整除 a 推知 c 整除 a，b 的最小公倍数，再由 c 整除 ab 推知，c 整除 a，b 的最大公约数，而这个最大公约数整除 b，所以 c 整除 b；（3）因为 6 与 x 的最小公倍数不小于：27+1=28，不大于： 27+6=33，而 28 到 33 之间，只有 30 是 6 的倍数，可见 6 和 x 的最小公倍数是 30，因此，它们的最大公约数是 3027=3，由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”，得到：303=6x，6x=90，x=15，所以 x 的值是 15点评： 解答此题的关键是，根据定义新运算，得出新的运算意义，再利用新的运算意义和运算方法，解答即可
