初中数学竞赛辅导资料19.DOC

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1、50初中数学竞赛辅导资料(19)因式分解甲内容提要 和例题我们学过因式分解的四种基本方法:提公因式法,运用公式法,十字相乘法,分组分解法。下面再介紹两种方法1 添项拆项。是.为了分组后,能运用公式(包括配方)或提公因式例 1 因式分解:x 4+x2+1 a 3+b3+c33abc分析:x 4+1 若添上 2x2 可配成完全平方公式解:x 4+x2+1x 4+2x2+1x 2=(x2+1)2x 2=(x2+1+x)(x2+1x)分析:a 3+b3 要配成(a+b) 3 应添上两项 3a2b+3ab2解:a 3+b3+c33abca 3+3a2b+3ab2b 3+c33abc3a 2b3ab 2(

2、a+b) 3+c33ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+b) 2(a+b)c+c 23 ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2ab acbc)例 2 因式分解:x 311x+20 a 5+a+1 分析:把中项11x 拆成16x+5x 分别与 x5,20 组成两组,则有公因式可提。 (注意这里 16 是完全平方数) 解:x 311x+20x 316x+5x+20x(x 216)+5(x+4)=x(x+4)(x4)+5(x+4) =(x+4)(x 24x+5) 分析:添上a 2 和 a2 两项,分别与 a5 和 a+1 组成两组,正好可以用立方差公式解:a 5+a+1a 5a 2

3、+a2+a+1=a2(a31)+ a 2+a+1=a2(a1)( a 2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3a 2+1)2 运用因式定理和待定系数法定理:若 x=a 时,f(x)=0, 即 f(a)=0 ,则多项式 f(x)有一次因式 xa 若两个多项式相等,则它们同类项的系数相等。例 3 因式分解:x 35x 2+9x6 2x 313x 2+3分析:以 x=1,2,3,6(常数 6 的约数)分别代入原式,若值为0,则可找到一次因式,然后用除法或待定系数法,求另一个因式。解:x=2 时,x 35x 2+9x60,原式有一次因式 x 2,x 35x 2+9x6(x 2) (x 2

4、3x+3,)分析:用最高次项的系数 2 的约数1,2 分别去除常数项 3 的约数1,3 得商1,2, , ,再分别以这些商代入原式求值,3可知只有当 x= 时,原式值为 0。故可知有因式 2x-151解:x= 时,2x 313x 2+30,原式有一次因式 2x1, 21设 2x313x 2+3(2x1) (x 2+ax3) , (a 是待定系数)比较右边和左边 x2 的系数得 2a113, a=62x 313x+3(2x1) (x 26x3) 。例 4 因式分解 2x2+3xy9y 2+14x3y+20解:2x 2+3xy9y 2(2x3y)(x+3y), 用待定系数法,可设2x2+3xy9y

5、 2+14x3y+20 ( 2x3ya ) (x+3y b) ,a,b 是待定的系数,比较右边和左边的 x 和 y 两项 的系数,得解得314ba54b2x 2+3xy9y 2+14x3y+20(2x3y+4)(x+3y+5)又解:原式2x 2+(3y+14)x(9y 2+3y20) 这是关于 x 的二次三项式常数项可分解为(3y4) (3y+5),用待定系数法,可设2x2+(3y+14)x(9y 2+3y20)mx(3y4) nx+(3y+5) 比较左、右两边的 x2 和 x 项的系数,得 m=2, n=12x 2+3xy9y 2+14x3y+20(2x3y+4)(x+3y+5)丙练习 19

6、1 分解因式:x 4+x2y2+y4 x 4+4 x 423x 2y2+y42. 分解因式: x 3+4x29 x 341x+30 x 3+5x218 x 339x703. 分解因式:x 3+3x2y+3xy2+2y3 x 33x 2+3x+7 x 39ax 2+27a2x26a 3 x 3+6x2+11x+6 a 3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+24. 分解因式:3x 37x+10 x 311x 2+31x21 x 44x+3 2x 35x 2+15. 分解因式:2x 2xy3y 26x+14y8 (x 23x3) (x 2+3x+4)8(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)48

7、 (2x7)(2x+5)(x 29)916分解因式: x 2y2+1x 2y 2+4xy x 2y 2+2x4y3x 4+x22ax a+1 (x+y) 4+x4+y4 (a+b+c) 3(a 3+b3+c3)7. 己知:n 是大于 1 的自然数 求证:4n 2+1 是合数8己知:f(x)=x 2+bx+c, g(x)=x4+6x2+25, p(x)=3x4+4x2+28x+5且知 f(x)是 g(x)的因式,也是 p(x)的因式求:当 x=1 时,f(x) 的值52练习 19 答案1. 添项,配成完全平方式(仿例 3) 2.拆中项,仿例 13. 拆项,配成两数和的立方原式=(x+y) 3+y3原式=(x-3a) 3+a3 原式=(a+1) 3+(b+1)34. 用因式定理,待定系数法,仿例 5,6 x= 时,原式=0 ,有因式 2x1215. 看着是某代数式的二次三项式,仿例 7原式=(2x-7)(x+3)(2x-5)(x-3)-91=(2x 2-x-8)(2x2-x-28)=6. 分组配方原式=(x 2+1)2-(x+a)2 把原式用乘法展开,合并,再分解以 a=b 代入原式0,故有因式 a+b7. 可分解为两个非 1 的正整数的积8. 提示 g(x),p(x)的和,差,倍仍有 f(x)的因式,3g(x)-p(x)=14(x 2-2x-5)与 f(x)比较系数,f(1)=4

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