函数题型特点与命题规律.DOC

1、函数题型特点与命题规律【2017 年最新考试大纲】函数概念与基本初等函数 I（指数函数、对数函数、幂函数）（1）函数了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。了解简单的分段函数，并能简单应用。理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。会运用函数图像理解和研究函数的性质。（2）指数函数了解指数函数模型的实际背景。理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点。（3）对数函数

2、理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点。了解指数函数 与对数函数 互为反函数（ a0， a1） 。xayxyalog（4）幂函数了解幂函数的概念。结合函数 的图象，了解它们的变化情况。2132 xyxyxy，(5）函数与方程结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解。（6）函数模型及其应用了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等

3、不同函数类型增长的含义。了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。【热门考点展示】1.函数的概念（定义域和值域、解析式和分段函数）2. 函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）3. 基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、二次函数）4. 函数的图象5. 函数与方程6.函数的模型与应用【题型归纳与分析】函数在全国卷中是“2+1”的模式（2 道选择填空和一道解答题） ，其中一道选择填空主要是考查函数的基本性质（主要是对称性（奇偶性） ） ，另一道一般是考查利用图象来研究函数的性质，有一定的难度（选填题中压轴的） ；在解答题是放在最后一题的位置.

4、考查的关键词是“单调性、最值、零点” ，题目的基本设问的关键词是“恒成立，证明不等式，求最值（范围） ”.是高考的必考的重要考点，是高考最具区分度的能力考点.2012-2016 年全国高考函数试题分布表核心考点 2016 2015 2014 2013 20121 映射与函数的概念，同一函数的判断2 函数解析式，定义域，值域的求解2 卷理 5 2 卷理 193 函数的奇偶性 1 卷理 13 1 卷理 32 卷理 154 函数的对称性 2 卷理 12 2 卷理 105 函数的单调性(区间) 2 卷理 156 函数的周期性7 函数性质的综合 2 卷理 158 二次函数的性质与综合运用 1 卷理 11

5、9 幂函数的综合应用 3 卷理 610 指数函数、对数函数的图像及性质3 卷理 6 2 卷理 5 2 卷理 811 指数函数与对数函数中的恒成立问题1 卷理 1112 知式选图(识图) 2 卷理 1013 函数图像的应用14 函数与数列的综合 2 卷理 1715 函数与不等式的综合16 函数中的创新题【命题趋势】 题型趋势分析：（1）从近四年的数据看，题目基本每年必出，一般难度不会很大；（2）单独考查基本初等函数题目相对较少，但是交汇题目应用基本初等函数知识解决问题较多，是将函数“深入骨髓”的考查.其中 2012 年课标卷单独考查基本初等函数题目没有，涉及题目均与导数结合考查.比如：【2016

6、 课标理 15】设等比数列a n满足 a1+a3=10，a 2+a4=5，则 a1a2an的最大值为 本题表面是数列问题，但却在求解最值中应用函数解决问题. 【典例 1】 【2016 课标理 12】已知函数 满足 ，若函数 与 图像的交点为()fxR()2()fxf1xy()fx则 （ ）12(,myy1iiiy（A）0 （B） （C） （D）24m【答案】B【考点】函数的对称性【解析】由 可得函数 关于点 对称，且函数 也关于点 对()2()fxf()fx(0,1)1xy(0,1)称，则两个图象的交点两两关于点 对称，所以 ，故选 B.0,1111,()mmiiiiix【试题分析与点评】：本

7、题考查抽象函数的运用；考查函数的对称性的应用以及化简整理的运算能力，属于中档题.本题问求和结果，且求和项数未定（较多） ，由此我们确定应找到题中两个函数的性质与图像特点来进行化简整理运算.由 可推 有对称中心，确定本题应由对称性解决.()2()fxf()fx【典例 2】 【2016 课标 III 理 6】已知 ， ， ，则（ ）43a25b13c（A） （B） （C） （D）bacabcbcacab【答案】A【考点】指数函数、幂函数的图象与性质【解析】因为 ， ，所以 ，故选 A4235ab123354cabc【试题分析与点评】：比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数的单调性来判

8、断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性本题三个数据进行化简对比即可得到答案.【典例 3】 【2015 课标理 5】设函数 21log,1,xxf，则 2log1ff（ ）A.3 B. 6 C. 9 D. 2【答案】C【考点】分段函数；对数运算【解析】因为 ，所以 ， 2log1ff2log12log12 2(l)6,()1log43f f.9【试题分析与点评】：本题难度 0.801，区分度 0.494.本题考查分段函数的求值，考查指对数的运算，属于基础题，细心计算即可.【典例 4】 【2015 课标理 13】若函数 为偶函数，则

9、a . 2()ln()fxax【答案】 1【考点】函数的奇偶性【解析】解法一：带特殊值 解得； ；(1)ff1a解法二：因为 是偶函数，则 是奇函数，在 处有定义，2()lnfxax 2()ln)gxax0需满足 ，计算得 .0g【试题分析与点评】：本题难度 0.939，区分度 0.373.本题考查了偶函数的定义、性质及对数的运算，属于基础题型.带特殊值可以解决本题，但能否运用本题函数的特殊性更快速解题可以用来区分学生知识掌握是否灵活.【典例 5】 【2013 课标 II 理 19】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1t 该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1t亏损 30

10、0 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品以 x（单位：t，100x150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润（）将 T 表示为 x 的函数；（）根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率；（）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若 x100，110） ）则取 x=105，且 x=105 的概率等于需求量落入100，110）的频率，求 T 的数学期望【答案】 8039,1

11、03,65,5.XXT【考点】函数解析式【解析】(1)当 时， ，,)0(1)8039TX当 时, .(1305X0*1365所以 89,6,.XT（）由（）知，利润 T 不少于 57000 元，当且仅当 120x150由直方图知需求量 X120，150的频率为 0.7，所以下一个销售季度的利润 T 不少于 57000 元的概率的估计值为 0.7（）依题意可得 T 的分布列如图，T 45000 53000 61000 65000p 0.1 0.2 0.3 0.4所以 ET=450000.1+530000.2+610000.3+650000.4=59400【试题分析与点评】：本题难度 0.297

12、，区分度 0.684.本题考查频率分布直方图的意义和作用、用样本频率分布估计总体分布的思想以及取有限个值的离散型随机变量的概率分布和数学期望，考查考生准确解读统计图表的统计意义的能力 题目以某种农产品的销售量与利润问题为实际背景，以频率分布直方图这一常用的数据统计的基本形式为载体命制而成第（ 1）问对考生的简单统计建模能力进行考查；第（ 2 ）问考查考生对用频率估计概率的思想、方法的理解与掌握程度；第（3）问考查考生对用频率直方图描述总体分布特征的思想、方法的理解与掌握程度合理选取抽样方法和安排试验以获取有效的统计数据，整理、分析这些数据，并对统计问题做出尽可能准确、可靠的统计结论，指导社会实

13、践、生产活动是统计的基本要求本题以某农产品在一个销售季度内的市场需求量与利润预测为载体，展示了数据的获取、整理、分析等统计的基本内容，体现了 课程标准 对统计教学的核心精神可以说，本题以产品需求以及产品的利润为背景，有浓厚的时代气息，体现了数学源于生活又高于生活，体现了新课程注重情感态度与价值观，过程、实践与能力的教学理念热点题型一 函数的概念及其表示（定义域和值域、解析式和分段函数）【考点剖析】1.最新考试说明： (1)了解函数、映射的概念；(2)理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法；(3)会求一些简单函数的定义域;(4)分段函数及其应用：了 解简单的分段函数，并能简单应用.2.命题

14、方向预测：预计 2017 年高考对函数及其表示的考查仍以函数的表示法、分段函数、函数的定义域等基本知识点为主，题型延续选择题、填空题的形式，分值为 4 分到 5 分.【知识梳理】1.求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解析式，应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式，就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.2.求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.3.求函数定义

15、域的主要依据是：分式的分母不能为零；偶次方根的被开方式其值非负；对数式中真数大于零，底数大于零且不等于 1.4.对于复合函数求定义域问题，若已知 ()fx的定义域 ,ab，则复合函数 ()fgx的定义域由不等式()agxb得到.5.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.6.与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由 ()fx的定义域确定函数 )(xgf的定

16、义域或由 )(xgf的定义域确定函数 ()fx的定义域第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决7.函数值 域的求法:利用函数的单调性:若 )(xf是 ,ba上的单调增(减)函数,则 )(af, b分别是 )(xf在区间 ,ba上取得最小(大)值,最大(小)值.利用配方法:形如 2(0)yc型,用此 种方法,注意自变量 x 的范围.利用三角函数的有界性,如 sin1xos1x.利用“分离常数”法:形如 y= abcd 或2abeycd( ca,至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.利用换元法:形如 yaxb型,可用此法求其值域.利用基本不等式法:导数法:利用导数与

17、函数的连续性求图复杂函数的极值和最值, 然后求出值域8.分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围9.由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部 分剔除.【典例 1】 【2015 高考浙江，理 7】存在函数 满足，对任意 都有（ ）()fxxRA. B. C. D. (sin2)ifx2(sin)fx2(1)fx2()1fx【答案】D.【解析】A：取 ，可知

18、 ，即 ，再取 ，可知00si)(if 0)(f2，即 ，矛盾，A 错误；同理可知 B 错误，C：取 ，可知2sin)(if 1 1x，再取 ，可知 ，矛盾，C 错误， D：令 ，x)2(f )0(|tt ，符合题意，故选 D.)0()1(2 xttf【考点定位】函数的概念【思路点拨】本题主要考查了函数的概念，以及全称量词与存在量词的意义，属于较难题，全称量词与存在量词是考试说明新增的内容，在后续复习时应予以关注，同时， “存在” ， “任意”等一些抽象的用词是高等数学中经常会涉及的，也体现了从高中数学到大学高等数学的过渡，解题过程中需对函数概念的本质理解到位，同时也考查了举反例的数学思想.【

19、典例 2】【2014 山东.理 3】 函数 的定义域为（ ）1)(log)2xxfA. B. C. D. )21,0(,2(),(,0),21,0(【答案】 C【解析】由已知得 即 或 ，解得 或 ，故选 .2(log)10,x2log1x2l-xxC【考点定位】函数的定义域，对数函数的性质.【思路点拨】本题考查函数的概念、函数的定义域.解答本题关键是利用求函数定义域的基本方法，建立不等式组求解.本题属于基础题，注意基本概念的正确理解以及计算的准确性.【典例 3】 【2014 ，安徽理 9】若函数 的最小值为 3，则实数 的值为 ()12fxxaa（ ） A5 或 8 B 或 5 C 或 D

20、或 8114【答案】D【解析】由题意，当 时，即 ， ，则当 时，12a3(1),2(),()axfax2ax，解得 或 （舍） ；当 时，即 ，min()|1|32afxfa8a412a，则当 时， ，3(),()12(),xafxax2xmin()|1|32afxfa解得 （舍）或 ；当 时，即 ， ，此时 ，不满8412a()3|1|fxmin()0fx足题意，所以 或 ，故选 Da【考点定位】：函数的最值【思路点拨】对于含绝对值的不等式或函数问题，首先要考虑的是根据绝对值的意义去绝对值.常用的去绝对值方法是零点分段法，特别是用于多个绝对值的和或差的问题，另外，利用绝对值的几何意义解题会

21、加快做题速度.本题还可以利用绝对值的几何意义进行求解.【典例 4】 【2015 高考新课标 2，理 5】设函数 , ( )21log()1(),xxf2()log1)ffA3 B6 C9 D12【答案】C【解析】由已知得 ，又 ，所以 ，故2()1log43f2log122log1log62(l)f，故选 C2()log9ff【考点定位】分段函数【思路点拨】本题考查分段函数求值，要明确自变量属于哪个区间以及熟练掌握对数运算法则，属于基础题【典例 5】 【2014 年.浙江卷.理 6】已知函数（ ）则且 ,3)(2)1(0,)(23 fffcbxaxfA. B. C. D. c6396c9c【答

22、案】： 【解析】：由 得， ，解得 ，所以12fff1842793ababcc 61ab，由 ，得 ，即 ，故选326fxxc03f06169【考点定位】：求函数解析式,解不等式.【解题技巧与方法总结】求函数的解析式的常用方法：1.代入法：如已知 2()1,fx求 2()fx时，有 22()()1fxx.2.待定系数法：已知 的函数类型，要求 f的解析式时，可根据类型设其解析式，确定其系数即可.3.拼凑法：已知 ()fgx的解析式，要求 ()x的解析式时，可从 ()fgx的解析式中拼凑出“ ()gx”，即用 ()gx来表示， ，再将解析式的两边的 g用 代替即可.4.换元法：令 ()tx，在求出 ()ft的解析式，然后用 x代替 ()ft解析式中所有的 t即可.5.方程组法：已知 f与 满足的关系式，要求 时，可用 gx代替两边的所有的 x，得到关于 ()fgx的方程组，解之即可得出 ()fx.6.赋值法：给自变量赋予特殊值，观察规律，从而求出函数的解析式.7.若 ()f与 1fx或 ()f满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解8.应用题求解析式可用待定系数法求解注意：求函数解析式一定要注意函数的定义域，否则极易出错【跟踪训练】1.【2015 高考山东，理 10】设函数 则满足 的 取值范围是（ 31,2xf2faf）