数学竞赛辅导托勒密定理一(共3页).docx

精选优质文档-倾情为你奉上托勒密定理Ptolemy(约公元85年165年)，希腊数大天文学家，他的主要着作天文集被后人称为“伟大的数学书”。托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和。已知：四边形ABCD内接于圆，如图，求证：ABCD+BCAD=ACBD证明：在BAD内作BAE=CAD，交BD于E。因ABE=ACD，所以ABEACD，从而ABCD =ACBE ；易证ADEACB，所以BCAD=ACDE；+得ABCD+BCAD=ACBD。托勒密定理的逆定理：如果凸四边形两组对边的积的和，等于两对角线的积，此四边形必内接于圆。已知四边形ABCD满足ABCD+BCAD=ACBD，求证：A、B、C、D四点共圆。证明：构造相似三角形，即取点E，使BCE=ACD，且CBE=CAD，则CBECAD。所以BCAD=ACBE ；又，BCA=ECD，所以BCAECD。ABCD =ACDE ；+