精选优质文档-倾情为你奉上第二节矩阵可对角化的条件定义1如果矩阵 能与对角矩阵相似,则称可对角化。例1设,则有:,即。从而可对角化。定理1 阶矩阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。证明:必要性如果可对角化,则存在可逆矩阵,使得将按列分块得,从而有因此有,所以是的属于特征值的特征向量,又由可逆,知线性无关,故有个线性无关的特征向量。充分性设是的个线性无关的特征向量,它们对应的特征值依次为,则有。令,则是一个可逆矩阵且有:因此有,即,也就是矩阵可对角化。注 若,则,对按列分块得,于是有,即,从而。可见,对角矩阵的元素就是矩阵的特征值,可逆矩阵就是由的线性无关的特征向量所构成的,并且特征向量的顺序依赖于对角矩阵。定理2矩阵 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。证明:设是的个互不相同的特征值,是的属于特征值的特征向量,现对作数学归纳法证明线性无关。当时,由于特征向量不为零,因此定理成立。假设的个互不相同的特征值对应的个特征向
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