1、 第 1 页总 18 页 1勾股定理典型例题分析一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为 a、b，斜边为 c ，那么 a 2 + b2= c2。公式的变形：a 2 = c2- b2， b 2= c2-a2 。2、勾股定理的逆定理如果三角形 ABC 的三边长分别是 a，b，c，且满足 a2 + b2= c2，那么三角形 ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点： 已知的条件：某三角形的三条边的长度.满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.得到的结论：这
2、个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。3、勾股数满足 a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：（3，4，5 ）(5，12，13 ) ( 6，8，10 ) ( 7，24，25 ) ( 8，15，17 )(9，12，15 ) 4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。 二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆2. 如图，以 RtABC 的三
3、边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系第 2 页总 18 页 23、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是 S1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ）A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S31） ，那么它的斜边长是（ ）1n2A、2n B、n+1 C、n 21 D、 1n27、在 RtABC 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（ ）A. B. C. D.以上都有可能22abc22acb22cba8、已知 RtABC 中，C=90，若 a+b=14cm，c=10cm，则 RtABC 的面积是（ ）A、2
4、4 B、36 C、48 D、602cm2cm2c2cm9、已知 x、y 为正数，且x 2-4+（y 2-3） 2=0，如果以 x、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）A、5 B、25 C、7 D、15 考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、如图 1 所示，等腰 中， ， 是底边上的高，若，求 AD 的长；ABC 的面积考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. 11，12，13 D. 8，15，
5、172、若线段 a，b，c 组成直角三角形，则它们的比为（ ）A、234 B、346 C、51213 D、4673、下面的三角形中：第 4 页总 18 页 4ABC 中，C=AB；ABC 中，A：B：C=1：2：3；ABC 中，a：b：c=3：4：5；ABC 中，三边长分别为 8，15，17其中是直角三角形的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个4、若三角形的三边之比为 ，则这个三角形一定是（ ）1:2A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.不等边三角形5、已知 a，b，c 为ABC 三边，且满足(a 2b 2)(a2+b2c 2)0，则它的形状为（ ）A.直角三
6、角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )A 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形7、若ABC 的三边长 a,b,c 满足 试判断ABC 的形状。22abc01a6b20c，8、ABC 的两边分别为 5,12，另一边为奇数，且 a+b+c 是 3 的倍数，则 c 应为 ，此三角形为 。例 3：求（1）若三角形三条边的长分别是 7,24,25，则这个三角形的最大内角是 度。（2）已知三角形三边的比为 1： ：2，则其最小角为 。3第 5 页总 18 页 5考点五:应用勾股定理解
7、决楼梯上铺地毯问题某楼梯的侧面视图如图 3 所示，其中 米， ， ，因某种活动要求铺设红色地毯，则在 AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 考点六、利用列方程求线段的长（方程思想）、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多 1 米，当他把绳子的下端拉开 5 米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？2、一架长 2.5 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底 0.7m（如图） ，如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4 ，那么梯子底端将向左滑动 m米3、如图，一个长为 10 米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 米，如果梯子的顶端下滑 1 米，那么，梯子底端的滑动距
8、离 1 米， （填“大于” ， “等于” ，或“小于” ）86ABC第 6 页总 18 页 64、在一棵树 10 m 高的 B 处，有两只猴子，一只爬下树走到离树 20m 处的池塘 A 处； 另外一只爬到树顶 D 处后直接跃到 A 外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心 A 和 B 的距离为 .6、如图：有两棵树，一棵高 8 米，另一棵高 2 米，两树相距 8 米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米7、如图 18-15 所示，某人到一个荒岛上去探宝，在
9、 A 处登陆后，往东走 8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走 3km，再折向北方走到 5km 处往东一拐，仅 1km 就找到了宝藏，问：登陆点（ A 处）到宝藏埋藏点（ B 处）的直线距离是多少？60120140B60AC第 5 题图 78米 2米 8米 第 6题 图 15328BAC ADB第 7 页总 18 页 7考点七：折叠问题1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=6，BC=8，将ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 CD 等于（ ）A. B. C. D. 4253247352、如图所示，已知ABC 中，C=90，AB 的垂直平分线交 BC 于 M，交
10、 AB 于 N，若AC=4，MB=2MC，求 AB 的长3、折叠矩形 ABCD 的一边 AD,点 D 落在 BC 边上的点 F 处,已知 AB=8CM,BC=10CM,求 CF 和EC。4、如图，在长方形 ABCD 中，DC=5，在 DC 边上存在一点 E，沿直线 AE 把ABC 折叠，使点D 恰好在 BC 边上，设此点为 F，若ABF 的面积为 30，求折叠的AED 的面积DCBAFE图 18-15A BCEDAB CEFD第 8 页总 18 页 85、如图，矩形纸片 ABCD 的长 AD=9，宽 AB=3，将其折叠，使点 D 与点 B 重合，那么折叠后 DE 的长是多少？6、如图，在长方形
11、 ABCD 中，将 ABC 沿 AC 对折至 AEC 位置，CE 与 AD 交于点 F。（1）试说明：AF=FC；（2）如果 AB=3，BC=4，求 AF 的长7、如图 2 所示，将长方形 ABCD 沿直线 AE 折叠，顶点 D 正好落在 BC 边上 F 点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为_8、如图 2-3，把矩形 ABCD 沿直线 BD 向上折叠，使点 C 落在 C的位置上，已知 AB=3 ，BC=7，重合部分EBD 的面积为_第 9 页总 18 页 99、如图 5，将正方形 ABCD 折叠，使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合，折痕交 AD 于 E，交 BC于
12、F，边 AB 折叠后与 BC 边交于点 G。如果 M 为 CD 边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5。10、如图 2-5，长方形 ABCD 中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使 C 点与 A 点重合， 则折叠后痕迹 EF 的长为（ ）A3.74 B3.75 C3.76 D3.772-511、如图 1-3-11，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 10cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上（不与 A、D 重合） ，在 AD 上适当移动三角板顶点P：能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不
13、能，请说明理由.再次移动三角板位置，使三角板顶点 P 在 AD 上移动，直角边 PH 始终通过点 B，另一直角边 PF 与 DC 的延长线交于点 Q，与 BC 交于点 E，能否使 CE=2cm？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请你说明理由.第 10 页总 18 页 1012、如图所示，ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是 AB、AC边上的点，且 DEDF，若 BE=12，CF=5求线段 EF 的长。13、如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且QPN30，点 A 处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 考点八：应用勾股定理解决勾股树问题1、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中2、最大的正方形的边长为 5，则正方形 A，B，C，D 的面积的和为 2、已知 ABC 是边长为 1 的等腰直角三角形，以 Rt ABC 的斜边 AC 为直角边，画第二个等腰 Rt ACD，再以 Rt ACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个等腰 Rt ADE，依此类推，第
