1、导数及其应用单元测试题（文科）（满分：150 分 时间：120 分钟）一、选择题（本大题共 10 小题，共 50 分，只有一个答案正确）1函数 的导数是（ ）2)(xf(A) (B) (C) (D) 4 xf24)( xf28)( xf16)(2函数 的一个单调递增区间是（ ）xef)(A) (B) (C) (D) 0,18,22,12,03已知对任意实数 ，有 ，且 时，x()()(ffxgx， 0，则 时（ ）()()fxg， 0A B0x， ()0()fx，C D()()f， g，4若函数 在 内有极小值，则（ ）bx331,（A） （B） （C） （D） 10b0b21b5若曲线 的一
2、条切线 与直线 垂直，则 的方程为（ ）4yxl48xylA B C D353xy430xy6曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）xe2()， 29422e2e7设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标()fx()fx()yfx()fx系中，不可能正确的是（ ）8已知二次函数 的导数为 ， ，对于任意实数 都有2()fxabc()fx0fx，则 的最小值为（ ）()0fx1()fA B C D3522329设 在 内单调递增， ，则 是 的:()eln1xpfmx(0)， :5qm pq（ ）充分不必要条件 必要不充分条件充分必要条件 既不充分也不必要条件10 函
3、数 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） )(xf（A） y )2(320/ f（B） )(/ff（C） )(3/ f（D） O 1 2 3 4 x 32)(0/ff二填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）11函数 的单调递增区间是()ln(0)fx12已知函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 ，则3128x3,MmMm13点 P 在曲线 上移动，设在点 P 处的切线的倾斜角为为 ，则 的取值3y 范围是 14已知函数 (1)若函数在 总是单调函数，则 的取值范5123ax, a围是 . (2)若函数在 上总是单调函数，则 的取值范围 .),1（3）若函数在区间（-3，1）上单调递
4、减， 则实数 的取值范围是 .a三解答题（本大题共 4 小题，共 12+12+14+14+14+14=80 分） 15用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？16设函数 在 及 时取得极值32()8fxaxbc1x2（1）求 a、 b 的值；（2）若对于任意的 ，都有 成立，求 c 的取值范围0， 2()f17设函数 3()2fx分别在 12x、 处取得极小值、极大值. xoy平面上点 AB、 的坐标分别为 1（ ,） 、 2()f（ ,） ，该平面上动点 P满足 4AB,点 Q是点 P
5、关于直线 2(4)yx的对称点，.求()求点 AB、 的坐标； ()求动点 Q的轨迹方程. 18. 已知函数 32().fx（1）求曲线 在点 处的切线方程；yx（2）若关于 的方程 有三个不同的实根，求实数 的取值范围.0fmm19已知 Raxaxf 14)(3)(2（1）当 时，求函数的单调区间。1a（2）当 时，讨论函数的单调增区间。R（3）是否存在负实数 ，使 ，函数有最小值3？0,1x20已知函数 ， ，其中 2afxlngx0a（1）若 是函数 的极值点，求实数 的值；hf（2）若对任意的 （ 为自然对数的底数）都有 成立，12,e， 1fx2g求实数 的取值范围a【文科测试解答】
6、一、选择题1 ;,42)(2xxfxf24)(xf28)(2 ， 选(A).xef 21xef 1,012ex3.(B)数形结合4.A 由 ,依题意，首先要求 b0, 所以bf223)(xbx3由单调性分析， 有极小值，由 得.1,0x5解：与直线 垂直的直线 为 ，即 在某一点的导数为480xyl4ym4yx4，而 ，所以 在(1，1)处导数为 4，此点的切线为 ，故选 A3y4 306（D）7（D）8（C）9（B）10B 设 x=2,x=3 时曲线上的点为 AB,点 A 处的切线为 AT点 B 处的切线为 BQ， Ty B )2(3fBkf3)2(A ,BQk ,AT如图所示，切线 BQ
7、的倾斜角小于直线 AB 的倾斜角小于 Q切线 AT 的倾斜角 O 1 2 3 4 x BQkATk所以选 B 11 1,e123213 ,432,014. (1) .3)(;)(;1aa三、解答题15. 解：设长方体的宽为 x（m），则长为 2x(m)，高为.30()35.4128，h故长方体的体积为 ).2()(69).(2)( 32，xxxxV从而 .185.4(18令 V（x） 0，解得 x=0（舍去）或 x=1，因此 x=1.当 0x1 时，V （x ）0 ；当 1x 时，V（x） 0，32故在 x=1 处 V（x ）取得极大值，并且这个极大值就是 V（x）的最大值。从而最大体积 VV
8、（x ）91 2-613（m 3），此时长方体的长为 2 m，高为 1.5 m.答：当长方体的长为 2 m 时，宽为 1 m，高为 1.5 m 时，体积最大，最大体积为 3 m3。16解：（1） ，2()63fxaxb因为函数 在 及 取得极值，则有 ， 1(1)0f(2)f即 63024ab， 解得 ， （2）由（）可知， ，32()918fxxc2()6186)fx当 时， ；0， ()0fx当 时， ；(2)x， 当 时， 3， ()fx所以，当 时， 取得极大值 ，又 ， 1(1)58fc(0)8fc(3)98fc则当 时， 的最大值为 0x， ()fx39因为对于任意的 ，有 恒成立
9、，3， 2()fc所以 ，298c解得 或 ，1因此 的取值范围为 (1)(9)， ，17解: (1)令 解得0323)2 xxf 1x或当 时, , 当 时, ,当 时,1x0()(f 0)(f所以,函数在 处取得极小值,在 取得极大值,故 ,1x21x4)(,)(ff所以, 点 A、B 的坐标为 .)4,(0,B(2) 设 ， ，),(nmp),(yxQ414,1, 2 nmnnmPA，所以 ，又 PQ 的中点在 上，所以21PQk21)(2xy4xy消去 得 .nm,9282y另法：点 P 的轨迹方程为 其轨迹为以（0，2）为圆心，半径为 3 的圆；,nm设点（0，2）关于 y=2(x-
10、4)的对称点为 (a,b),则点 Q 的轨迹为以(a,b),为圆心，半径为 3 的圆，由 ， 得 a=8,b=-21ab42ab18解（1） 2 分()6,()1,(2)7,fxff曲线 在 处的切线方程为 ，即 ；4y )yx1270xy分（2）记 322(),()6(gmgx令 或 1. 6 分0,x则 的变化情况如下表,(,)(0,1)(1,)gxA极大 A极小 A当 有极大值 有极小值 . 10 分0,(3;,()mxg2m由 的简图知，当且仅当()gx(0),1g即 时，30,22m函数 有三个不同零点，过点 可作三条不同切线.()xA所以若过点 可作曲线 的三条不同切线， 的范围是
11、 .14 分A()yfxm(3,2)19（1） 或 递减; 递增; （2）1、当,2x,)(f,2x)(f ,0a递增;2、当 递增;3、当 或,)(f0a,)(f,0x递增; 当 递增; 当 或,2axx1,x)(f,2a递增;（3）因 由分两类（依据：单调性，极小值点是否在区间-1,0,)(f,0a上是分类“契机”：1、当 递增， ，解得,2,2a,2,1x)(xf 3)1(minf ,24a2、当 由单调性知： ，化简得： ，解得,3minaf 02不合要求；综上， 为所求。,2613a420（1）解法1： ，其定义域为 ， 2lnahxx0， 21ax 是函数 的极值点， ，即 1h2
12、3a ， 03经检验当 时， 是函数 的极值点，axx 解法2： ，其定义域为 ，2lnh0， 21axx令 ，即 ，整理，得 0h20220xa ，218a 的两个实根 （舍去）， ，0hx2184ax22184ax当 变化时， ， 的变化情况如下表：h20,22,x 0 hA极小值 A依题意， ，即 ，21814a23 ， 0a3（2）解：对任意的 都有 成立等价于对任意的12,xe， 1fx2g都有 1,xe， minfmag当 1， 时， 0x函数 在 上是增函数lgx1e， ma ，且 ， 221xafx1,e0a当 且 1， 时， ，0e2xf函数 在1， 上是增函数，2afx .minxf由 ，得 ，21ee又 ， 不合题意 0a当1 时，若1 ，则 ，x20xaf若 ，则 ae 函数 在 上是减函数，在 上是增函数2afx1,ae， .minf由 ，得 ，2ae2e又1 ， 1a当 且 1， 时， ，aexe20xaf函数 在 上是减函数2af， .2minxfe由 ，得 ，2ae1a又 ， 综上所述， 的取值范围为 1,2e育星教育网
