1、五种方法求二面角及练习题一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。1如图，在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，求：（1）二面角 C1BDC 的正切值（2）二面角 12.如图，四棱锥 SABCD中，底面 AB为矩形， SD底面 ABC， 2D，DC，点 M 在侧棱 上， M=60，M 在侧棱 的中点（1 ）求二面角 的余弦值。二、三垂线法：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也
2、和这条斜线垂直通常当点 P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。1. 如图，在直四棱柱 ABCD-A1B C D 中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB/CD ，AB=4, BC=CD=2, AA1=2, E、E 1、F 分别是棱 AD、AA 1、AB 的中点。（1 ） 证明：直线 EE1/平面 FCC1；（2）求二面角 B-FC1-C 的余弦值。 2.如图，在四棱锥 中，底面 是矩形已知ABCDP60,2,2,3PABAB（）证明 平面 ；（）求异面直线 与 所成的角的大小；PC（）求二面角 的大小ABD三补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要
3、将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱） ，然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决1.已知斜三棱柱 ABCA1B1C1 的棱长都是 a，侧棱与底面成 600 的角，侧面 BCC1B1底面ABC。（1 ）求证：AC 1BC；（2 ）求平面 AB1C1 与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。2： 如图 5，E 为正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱 CC1 的中点，求平面 AB1E 和底面 A1B1C1D1 所成锐角的余弦值.3 如图所示，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，BCD60 ，E 是 CD 的中点
4、，PA底面 ABCD，PA2.（）证明：平面 PBE平面 PAB;（）求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小 .角的平面角（锐角）.L分析 平面 AB1E 与底面 A1B1C1D1 交线即二面角的棱没有给出，要找到二面角的平面角，.四、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。1 如图，在五面体 ABCDEF 中，FA 平面 ABCD, AD/BC/FE，AB AD，M 为 EC 的中点，A
5、F=AB=BC=FE= 12AD (I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小；(II) 证明平面 AMD平面 CDE；求二面角 A-CD-E 的余弦值。 ，2、如图，在直三棱柱 中，平面 侧面 .1ABCABC1（）求证： ；（）若直线 与平面 所成的角为 ,二面角 的大11A小为 ，试判断 与 的大小关系，BACDP3如图，在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，求：（1）二面角 C1BDC 的正切值（2）二面角 14.过正方形 ABCD 的顶点 A 作 ，PBCD平设 PA=AB=a，(1) 求二面角 的大小;B-(2)求二面角 C-PD-A5. 如图所示，四棱锥 PA
6、BCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，BCD60 ，E 是 CD 的中点，PA底面 ABCD，PA 3.(1) 证明： BE平面 PAB；(2) 求二面角 ABEP 的大小（3 ） PB 与面 PAC 的角6 如图,在底面为直角梯形的四棱锥/,BCADP中,90, ,BC=6平 面32,3AP(1) 求证: ;B平 面(2) 求二面角 的大小.ADP（3 ）求二面角 B-PC-A 的大小EPA BcD7如图，直二面角 DABE 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，AE=EB，F 为 CE 上的点，且 BF 平面 ACE.（）求证 AE平面 BCE；（）求二面角 BACE 的大小；（）求点 D 到平面 ACE 的距离.8.如图，在四棱锥 中，底面 是矩形已知 ， ，PABCDAB3AB2D， ， 2PA60（）证明 平面 ；（）求异面直线 与 所成的角的大小； PCAD（）求二面角 的正切值BFED CBA
