1、- 1 -4、用分组分解法进行因式分解 【知识精读】分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。【分类解析】1. 在数学计算、化简、证明题中的应用例 1. 把多项式 分解因式，所得的结果为（ ）21142aa()ABaCD.().()22221分析：先
2、去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。解：原式 11242aa()aa4322211()()()故选择 C例 2. 分解因式 xx54321分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进x54321和一步分解；此题也可把 ， 分别看作一组，此时的六项式变成三项式，x54x321和提取公因式后再进行分解。解法 1：原 式 ()()()()xx543232211解法 2：- 2 -原 式 ()()()()()()xxxx5432422211112. 在几何学中的应用例：已知三条线段长分别为 a、b、c，且满足 abcbac
3、， 22证明：以 a、b、c 为三边能构成三角形分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”证明： ac22acbbacbacabc2220000， 即又 ，即 以 、 、 为 三 边 能 构 成 三 角 形()()()3. 在方程中的应用例：求方程 的整数解xy分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有 x 与y，故可考虑借助因式分解求解解： xyxyx0111即 是 整 数 或()(),xy02或- 3 -4、中考点拨例 1.分解因式： _。122mn解： 212()()n说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项
4、虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。例 2分解因式： _xy2解： ()()xy2()1说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。例 3. 分解因式： _x3241解： 32x32()()4说明：分组的目的是能够继续分解。5、题型展示：例 1. 分解因式： mnn22141()解： 22()nnnmnnm2224111()()()说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把 4mn 分成 2mn 和2mn，配成完全平方和平方差公式。例 2. 已知： ，求 ab+cd 的值。abcdacbd22110
5、， ， 且解：ab+cd= - 4 -abcdabcdbcadba()()()()2222ad0原 式说明：首先要充分利用已知条件 中的 1（任何数乘以 1，其值abcd221，不变），其次利用分解因式将式子变形成含有 ac+bd 因式乘积的形式，由 ac+bd=0 可算出结果。例 3. 分解因式： x32分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当 x=1 时，它的值为0，这就意味着 的一个因式，因此变形的目的是凑 这个因式。13是 x1解一（拆项）：xxx33322112()()解二（添项）：xxx3322231()()说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次
6、项和常数项，看看是否可解？- 5 -【实战模拟】1. 填空题：（ ） 分 解 因 式 ：（ ） 分 解 因 式 ：（ ） 分 解 因 式 ：132243123abxymnn()2. 已知： abcacbc03223， 求 的 值 。3. 分解因式： 15a4. 已知：，试求 A 的xyzAxyzxyzxyz22 330 ， 是 一 个 关 于 的 一 次 多 项 式 ， 且, ()表达式。5. 证明： ()()()()abaabb21122- 6 -【试题答案】1. （1）解： 原 式 ()()aba23()b（2）解： 原 式 ()xyxy224()（3）解： 原 式 123mnn()()122. 解： 原 式 ()()abacab2 2abc0原 式说明：因式分解是一种重要的恒等变形，在代数式求值中有很大作用。3. 解： a51aaaa23222311()()()()()4. 解： xyz220xyxyzzxyxyyzxz23322222，()()()()()()()A5. 证明： ()()()abaab12- 7 -ababababab222 22222 2411()()()()()abab21()ab12
