1、线性规划题型总结1. “截距”型考题在线性约束条件下，求形如 的线性目标函数的最值问题，通常转化为(,)zaxbyR求直线在 轴上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取y得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差.1 （2017天津）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+y 的最大值为（ ）A B1 C D3答案：D解：变量 x，y 满足约束条件 的可行域如图：目标函数 z=x+y 结果可行域的 A 点时，目标函数取得最大值，由 可得 A（0，3） ，目标函数 z=x+y 的最大值为：32 （2017新课标）若 x，y 满足约束条件 ，则 z
2、=3x4y 的最小值为 答案：1解：由 z=3x4y，得 y= x ，作出不等式对应的可行域（阴影部分） ，平移直线 y= x ，由平移可知当直线 y= x ，经过点 B（1，1）时，直线 y= x 的截距最大，此时 z 取得最小值，将 B 的坐标代入 z=3x4y=34=1，即目标函数 z=3x4y 的最小值为13 （2017浙江）若 x、y 满足约束条件 ，则 z=x+2y 的取值范围是（ ）A0 ，6 B0，4 C6，+） D4，+）答案：D解：x、y 满足约束条件 ，表示的可行域如图：目标函数 z=x+2y 经过 C 点时，函数取得最小值，由 解得 C（2，1） ，目标函数的最小值为：
3、4目标函数的范围是4，+） 4 （2016河南二模）已知 x，yR，且满足 ，则 z=|x+2y|的最大值为（ ）A10 B8 C6 D3答案：C解：作出不等式组 ，对应的平面区域如图：（阴影部分）由 z=|x+2y|，平移直线 y= x+ z，由图象可知当直线 y= x z 经过点 A 时，z 取得最大值，此时 z 最大即 A（2， 2） ，代入目标函数 z=|x+2y|得 z=22+2=6。5 （2016湖南模拟）设变量 x、y 满足约束条件 ，则 z=32xy 的最大值为（ ）A B C3 D9答案：D解：约束条件对应的平面区域如图：令 2xy=t，变形得 y=2xt，根据 t 的几何意
4、义，由约束条件知 t 过 A 时在 y 轴的截距最大，使 t 最小，由 得到交点 A（ ， ）所以 t 最小为 ；过 C 时直线y=2xt 在 y 轴截距最小，t 最大，由 解得 C（1，0） ，所以 t 的最大值为 210=2，所以 ，故 。2 . “距离”型考题在线性约束条件下，求形如 z=（x-a） 2+（y-b） 2 的线性目标函数的最值问题，通常转化为求点（a，b）到阴影部分的某个点的距离的平方的取值. 6 （2016山东 ）若变量 x， y 满足 ，则 x2+y2 的最大值是（ ）A4 B9 C10 D 12答案：C解：由约束条件 作出可行域如图，A（ 0， 3） ，C（0，2）
5、，|OA|OC| ，联立 ，解得 B（ 3， 1） ，x2+y2 的最大值是 107 （2016浙江 ）在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影，由区域 中的点在直线x+y2=0 上的投影构成的线段记为 AB，则|AB|=（ ）A2 B4 C3 D6答案：C解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） ，区域内的点在直线 x+y2=0 上的投影构成线段 RQ，即 SAB，而 RQ=RQ，由 得 ，即 Q（1，1） ，由 得 ，即 R（2， 2） ，则|AB|=|QR|= = =3 ，8 （2016安徽模拟）如果实数 x，y 满足 ，则 z=x2+y2
6、2x 的最小值是（ ）A3 B C4 D答案：B解：由 z=x2+y22x=（x1） 2+y21，设 m=（x1） 2+y2，则 m 的几何意义是区域内的点到点 D（1，0）的距离的平方，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知 D 到 AC 的距离为最小值，此时 d= = ，则 m=d2=（ ） 2= ，则 z=m1= 1=。3. “斜率”型考题在线性约束条件下，求形如 z= 的线性目标函数的最值问题，通常转化为求过点axby（a ， b）阴影部分的某个点的直线斜率的取值.9 （2016唐山一模）若 x，y 满足不等式组 ，则 的最大值是（ ）A B1 C2 D3答案：C解：由题意作平面区域
7、如下，的几何意义是阴影内的点（x，y）与原点的连线的斜率，结合图象可知，过点 A（1，2）时有最大值，此时= =2，10 （2016莱芜一模）已知 x，y 满足约束条件 ，则 z= 的范围是（ ）A ，2 BB ， C ， D ， 答案：C解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由 ，解得 A（ 1，2） ，由 ，解得 B（3 ，1） ，而 z= 的几何意义表示过平面区域内的点与（1， 1）的直线的斜率，显然直线 AC 斜率最大，直线 BC 斜率最小，KAC= = ，K BC= = 11 （2016衡阳二模）已知变量 x，y 满足 ，则 的取值范围是（ ）A B C D答案： ， 解：作出满足
8、所对应的区域（如图阴影） ，变形目标函数可得 = =1+ ，表示可行域内的点与 A（2，1）连线的斜率与 1 的和，由图象可知当直线经过点 B（ 2，0）时，目标函数取最小值 1+ = ；当直线经过点 C（0，2）时，目标函数取最大值 1+ = 4. “平面区域的面积”型考题12设平面点集 A( x， y)|(y x)(y )0， B( x， y)|(x1) 2( y1) 21，1则 A B 所表示的平面图形的面积为( )A B C D3435472答案： D 解：不等式( y x)(y )0 可化为 或 集10,1yx0,1.yx合 B 表示圆( x1) 2( y1) 21 上以及圆内部的点
9、所构成的集合，A B 所表示的平面区域如图阴影部所示由线 ，圆( x1)y2( y1) 21 均关于直线 y x 对称，所以阴影部分占圆面积的一半，故选 D 项5. “求约束条件中的参数”型考题规律方法：当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域，要注意应用“过定点的直线系”知识，使直线“ 初步稳定”，再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案.13 （2016 兴安盟一模）若 x，y 满足不等式组 ，且 y+ x 的最大值为 2，则实数 m 的值为（ ）A2 B C1 D答案：D解： y+ x 的最大值为 2，此时满足 y+ x=2，作出不等式组对应的平面区域如图：则由 ，解得 ，即
10、A（1， ） ，同时 A 也在直线 y=mx 上，则 m= ，14 （2016绍兴一模）若存在实数 x，y 满足 ，则实数 m 的取值范围是（ ）A （0， ） B （ ， ） C （ ， ） D （ ， ）答案：D解：作出 所对应的区域（如图ABC 即内部，不包括边界） ，直线 m（x+1） y=0，可化为 y=m（x+1） ，过定点 D（1， 0） ，斜率为 m，存在实数 x，y 满足 ，则直线需与区域有公共点， ，解得 B（ ， ） ， ，解得 A（ ， ）KPA= = ，K PB= = ， m 6. “求目标函数中的参数”型考题规律方法：目标函数中含有参数时，要根据问题的意义，转化成“
11、直线的斜率” 、 “点到直线的距离”等模型进行讨论与研究.15 （2015山东 ）已知 x， y 满足约束条件 ，若 z=ax+y 的最大值为 4，则 a=（ ）A3 B2 C 2 D3答案：B 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 则 A（2，0） ，B（1，1） ，若 z=ax+y 过 A 时取得最大值为 4，则 2a=4，解得 a=2，目标函数为 z=2x+y，即 y=2x+z，平移直线 y=2x+z，当直线经过 A（2，0）时，截距最大，此时 z 最大为 4，满足条件，若 z=ax+y 过 B 时取得最大值为 4，则 a+1=4，解得 a=3，此时，目标函数为 z=3x+y，即 y=3x+z，平移直线 y=3x+z，当直线经过 A（2，0）时，截距最大，此时 z 最大为 6，不满足条件，故 a=216 （2016扶沟县一模）设 x，y 满足约束条件 ，若目标函数z=ax+by（a0 ，b0）的最小值为 2，则 ab 的最大值为（ ）A1 B C D
