1、等差数列基础习题选（附有详细解答）一选择题（共 26 小题）1已知等差数列a n中，a 3=9，a 9=3，则公差 d 的值为（ ）AB 1 C D 12已知数列a n的通项公式是 an=2n+5，则此数列是（ ）A以 7 为首项，公差为 2 的等差数列 B 以 7 为首项，公差为 5 的等差数列C 以 5 为首项，公差为 2 的等差数列 D不是等差数列3在等差数列a n中，a 1=13，a 3=12，若 an=2，则 n 等于（ ）A23 B 24 C 25 D264等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 S3=6，a 4=8，则公差 d=（ ）A一 1 B 2 C 3 D一 25两个数
2、 1 与 5 的等差中项是（ ）A1 B 3 C 2 D6一个首项为 23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（ ）A 2B 3 C 4 D 57 （2012福建）等差数列 an中，a 1+a5=10，a 4=7，则数列a n的公差为（ ）A1 B 2 C 3 D48数列 的首项为 3， 为等差数列且 ，若 ， ，则 =（ ）A0 B 8 C 3 D119已知两个等差数列 5，8，11，和 3，7，11，都有 100 项，则它们的公共项的个数为（ ）A25 B 24 C 20 D1910设 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，若满足 an=an1+2（n2
3、） ，且 S3=9，则 a1=（ ）A5 B 3 C 1 D111 （2005黑龙江）如果数列a n是等差数列，则（ ）A a1+a8a 4+a5 B a1+a8=a4+a5 C a1+a8a 4+a5 D a1a8=a4a52 12 （2004福建）设 Sn 是等差数列a n的前 n 项和，若 =（ ）A1 B 1 C 2 D13 （2009安徽）已知 an为等差数列，a 1+a3+a5=105，a 2+a4+a6=99，则 a20 等于（ ）A 1B 1 C 3 D714在等差数列a n中，a 2=4，a 6=12， ，那么数列 的前 n 项和等于（ ）AB C D15已知 Sn 为等差数
4、列a n的前 n 项的和，a 2+a5=4，S 7=21，则 a7 的值为（ ）A6 B 7 C 8 D916已知数列a n为等差数列， a1+a3+a5=15，a 4=7，则 s6 的值为（ ）A30 B 35 C 36 D2417 （2012营口）等差数列 an的公差 d0，且 ，则数列a n的前 n 项和 Sn 取得最大值时的项数 n 是（ ）A5 B 6 C 5 或 6 D6 或 718 （2012辽宁）在等差数列a n中，已知 a4+a8=16，则该数列前 11 项和 S11=（ ）A58 B 88 C 143 D17619已知数列a n等差数列，且 a1+a3+a5+a7+a9=1
5、0，a 2+a4+a6+a8+a10=20，则 a4=（ ）A 1B 0 C 1 D220 （理）已知数列a n的前 n 项和 Sn=n28n，第 k 项满足 4a k7，则 k=（ ）A6 B 7 C 8 D921数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 Sn=2n217n，则当 Sn 取得最小值时 n 的值为（ ）A 4 或 5 B 5 或 6 C 4 D 53 22等差数列a n中，a n=2n4，则 S4 等于（ ）A12 B 10 C 8 D423若a n为等差数列， a3=4，a 8=19，则数列a n的前 10 项和为（ ）A230 B 140 C 115 D9524等差数列a n
6、中，a 3+a8=5，则前 10 项和 S10=（ ）A5 B 25 C 50 D10025设 Sn 是公差不为 0 的等差数列a n的前 n 项和，且 S1，S 2，S 4 成等比数列，则 等于（ ）A1 B 2 C 3 D426设 an=2n+21，则数列a n从首项到第几项的和最大（ ）A第 10 项 B 第 11 项 C 第 10 项或 11 项 D第 12 项二填空题（共 4 小题）27如果数列a n满足： = _ 28如果 f（n+1 ）=f（n）+1（n=1，2，3） ，且 f（1） =2，则 f（100）= _ 29等差数列a n的前 n 项的和 ，则数列|a n|的前 10
7、项之和为 _ 30已知a n是一个公差大于 0 的等差数列，且满足 a3a6=55，a 2+a7=16（）求数列a n的通项公式：（）若数列a n和数列b n满足等式：a n= （n 为正整数） ，求数列b n的前 n 项和 Sn参考答案与试题解析一选择题（共 26 小题）1已知等差数列a n中，a 3=9，a 9=3，则公差 d 的值为（ ）AB 1 C D 14考点： 等差数列501974 专题： 计算题分析：本题可由题意，构造方程组 ，解出该方程组即可得到答案解答： 解：等差数列a n中，a 3=9， a9=3，由等差数列的通项公式，可得解得 ，即等差数列的公差 d=1故选 D点评： 本
8、题为等差数列的基本运算，只需构造方程组即可解决，数基础题2已知数列a n的通项公式是 an=2n+5，则此数列是（ ）A以 7 为首项，公差为 2 的等差数列 B 以 7 为首项，公差为 5 的等差数列C 以 5 为首项，公差为 2 的等差数列 D不是等差数列考点： 等差数列501974 专题： 计算题分析： 直接根据数列a n的通项公式是 an=2n+5 求出首项，再把相邻两项作差求出公差即可得出结论解答： 解：因为 an=2n+5，所以 a1=21+5=7；an+1an=2（n+1）+5 （2n+5）=2故此数列是以 7 为首项，公差为 2 的等差数列故选 A点评： 本题主要考查等差数列的
9、通项公式的应用如果已知数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项3在等差数列a n中，a 1=13，a 3=12，若 an=2，则 n 等于（ ）A23 B 24 C 25 D26考点： 等差数列501974 专题： 综合题分析： 根据 a1=13，a 3=12，利用等差数列的通项公式求得 d 的值，然后根据首项和公差写出数列的通项公式，让其等于 2 得到关于 n 的方程，求出方程的解即可得到 n 的值解答： 解：由题意得 a3=a1+2d=12，把 a1=13 代入求得 d= ，则 an=13 （n 1）= n+ =2，解得 n=23故选 A点评： 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求
10、值，是一道基础题4等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 S3=6，a 4=8，则公差 d=（ ）5A一 1 B 2 C 3 D一 2考点： 等差数列501974 专题： 计算题分析： 根据等差数列的前三项之和是 6，得到这个数列的第二项是 2，这样已知等差数列的；两项，根据等差数列的通项公式，得到数列的公差解答： 解： 等差数列a n的前 n 项和为 Sn，S3=6，a2=2a4=8，8=2+2dd=3，故选 C点评： 本题考查等差数列的通项，这是一个基础题，解题时注意应用数列的性质，即前三项的和等于第二项的三倍，这样可以简化题目的运算5两个数 1 与 5 的等差中项是（ ）A1 B 3
11、 C 2 D考点： 等差数列501974 专题： 计算题分析： 由于 a，b 的等差中项为 ，由此可求出 1 与 5 的等差中项解答： 解：1 与 5 的等差中项为： =3，故选 B点评： 本题考查两个数的等差中项，牢记公式 a，b 的等差中项为： 是解题的关键，属基础题6一个首项为 23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（ ）A 2B 3 C 4 D 5考点： 等差数列501974 专题： 计算题分析： 设等差数列an的公差为 d，因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以 ，结合公差为整数进而求出数列的公差解答： 解：设等差数列a n的公差为 d，所
12、以 a6=23+5d，a 7=23+6d，又因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以 ，因为数列是公差为整数的等差数列，所以 d=4故选 C6点评： 解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式，并且结合正确的运算7 （2012福建）等差数列 an中，a 1+a5=10，a 4=7，则数列a n的公差为（ ）A1 B 2 C 3 D4考点： 等差数列的通项公式501974 专题： 计算题分析： 设数列a n的公差为 d，则由题意可得 2a1+4d=10，a 1+3d=7，由此解得 d 的值解答： 解：设数列a n的公差为 d，则由 a1+a5=10，a 4=7，可得 2a1+4d=10，
13、a 1+3d=7，解得 d=2，故选 B点评： 本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题8数列 的首项为 3， 为等差数列且 ，若 ， ，则 =（ ）A0 B 8 C 3 D11考点： 等差数列的通项公式501974 专题： 计算题分析： 先确定等差数列 的通项，再利用 ，我们可以求得 的值解答： 解： 为等差数列， ， ，bn=b3+（n3）2=2n 8b8=a8a1数列 的首项为 3288=a83，a8=11故选 D点评： 本题考查等差数列的通项公式的应用，由等差数列的任意两项，我们可以求出数列的通项，是基础题9已知两个等差数列 5，8，11，和 3，7，11，都有 100 项，则
14、它们的公共项的个数为（ ）A25 B 24 C 20 D19考点： 等差数列的通项公式501974 专题： 计算题分析： （法一）：根据两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的7最小公倍数求解，（法二）由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解解答： 解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为a n，则 a1=11数列 5，8，11，与 3，7，11，公差分别为 3 与 4，an的公差 d=34=12，an=11+12（n1）=12n 1又 5， 8，11，与 3，7，11，的第 100 项分别是 302 与 399，an
15、=12n1302，即 n25.5又 nN*，两个数列有 25 个相同的项故选 A解法二：设 5，8，11，与 3，7，11，分别为a n与b n，则 an=3n+2，b n=4n1设a n中的第 n 项与b n中的第 m 项相同，即 3n+2=4m1，n= m1又 m、nN*，可设 m=3r（rN*） ，得 n=4r1根据题意得 13r100 14r1100 解得 rrN*从而有 25 个相同的项故选 A点评： 解法一利用了等差数列的性质，解法二利用了不定方程的求解方法，对学生的运算能力及逻辑思维能力的要求较高10设 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，若满足 an=an1+2（n2） ，且
16、 S3=9，则 a1=（ ）A5 B 3 C 1 D1考点： 等差数列的通项公式501974 专题： 计算题分析： 根据递推公式求出公差为 2，再由 S3=9 以及前 n 项和公式求出 a1 的值解答： 解： an=an1+2（n 2） ，a nan1=2（n 2） ，等差数列a n的公差是 2，由 S3=3a1+ =9 解得， a1=1故选 D点评： 本题考查了等差数列的定义，以及前 n 项和公式的应用，即根据代入公式进行求解11 （2005黑龙江）如果数列a n是等差数列，则（ ）Aa1+a8a 4+a5 B a1+a8=a4+a5 C a1+a8a 4+a5 Da1a8=a4a5考点：
17、等差数列的性质501974 8分析： 用通项公式来寻求 a1+a8 与 a4+a5 的关系解答： 解： a1+a8（a 4+a5） =2a1+7d（2a 1+7d）=0a1+a8=a4+a5故选 B点评： 本题主要考查等差数列通项公式，来证明等差数列的性质12 （2004福建）设 Sn 是等差数列a n的前 n 项和，若 =（ ）A1 B 1 C 2 D考点： 等差数列的性质501974 专题： 计算题分析： 充分利用等差数列前 n 项和与某些特殊项之间的关系解题解答： 解：设等差数列a n的首项为 a1，由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，a 1+a5=2a3， = = = =1，故选
18、A点评： 本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前 n 项和公式以及等差中项的综合应用，已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，则有如下关系 S2n1=（2n1）a n13 （2009安徽）已知 an为等差数列，a 1+a3+a5=105，a 2+a4+a6=99，则 a20 等于（ ）A 1B 1 C 3 D7考点： 等差数列的性质501974 专题： 计算题分析： 根据已知条件和等差中项的性质可分别求得 a3 和 a4 的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通项公式求得答案解答： 解：由已知得 a1+a3+a5=3a3=105，a2+a4+a6=3a4=99，a3=35， a4=3
19、3， d=a4a3=2a20=a3+17d=35+（2） 17=1故选 B点评： 本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用解题的关键是利用等差数列中等差中项的性质求得 a3 和 a414在等差数列a n中，a 2=4，a 6=12， ，那么数列 的前 n 项和等于（ ）9AB C D考点： 数列的求和；等差数列的性质501974 专题： 计算题分析： 求出等差数列的通项，要求的和是一个等差数列与一个等比数列的积构成的数列，利用错位相减法求出数列的前 n 项的和解答： 解： 等差数列a n中，a 2=4，a 6=12；公差 d= ；an=a2+（n2） 2=2n； ； 的前 n 项
20、和，=两式相减得=故选 B点评： 求数列的前 n 项的和，先判断通项的特点，据通项的特点选择合适的求和方法15已知 Sn 为等差数列a n的前 n 项的和，a 2+a5=4，S 7=21，则 a7 的值为（ ）A6 B 7 C 8 D9考点： 等差数列的性质501974 专题： 计算题分析： 由 a2+a5=4，S 7=21 根据等差数列的性质可得 a3+a4=a1+a6=4，根据等差数列的前 n 项和公式可得，联立可求 d，a 1，代入等差数列的通项公式可求解答： 解：等差数列a n中，a 2+a5=4，S 7=21根据等差数列的性质可得 a3+a4=a1+a6=4根据等差数列的前 n 项和
21、公式可得，10所以 a1+a7=6可得 d=2，a 1=3所以 a7=9故选 D点评： 本题主要考查了等差数列的前 n 项和公式及等差数列的性质的综合应用，属于基础试题16已知数列a n为等差数列， a1+a3+a5=15，a 4=7，则 s6 的值为（ ）A30 B 35 C 36 D24考点： 等差数列的性质501974 专题： 计算题分析： 利用等差中项的性质求得 a3 的值，进而利用 a1+a6=a3+a4 求得 a1+a6 的值，代入等差数列的求和公式中求得答案解答： 解：a 1+a3+a5=3a3=15，a3=5a1+a6=a3+a4=12s6= 6=36故选 C点评： 本题主要考
22、查了等差数列的性质特别是等差中项的性质17 （2012营口）等差数列 an的公差 d0，且 ，则数列a n的前 n 项和 Sn 取得最大值时的项数 n 是（ ）A5 B 6 C 5 或 6 D6 或 7考点： 等差数列的前 n 项和；等差数列的通项公式501974 专题： 计算题分析： 由 ，知 a1+a11=0由此能求出数列a n的前 n 项和 Sn 取得最大值时的项数 n解答： 解：由 ，知 a1+a11=0a6=0，故选 C点评： 本题主要考查等差数列的性质，求和公式要求学生能够运用性质简化计算18 （2012辽宁）在等差数列a n中，已知 a4+a8=16，则该数列前 11 项和 S11=（ ）A58 B 88 C 143 D176考点： 等差数列的性质；等差数列的前 n 项和501974 专题： 计算题
