1、二项式定理教学设计课题二 项 式 定 理时间2011.3【课型】： 新 授 【课时】： 1 课时本节课的性质地位及作用二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式二项式的乘法的展开式，这一小节与不少内容都有着密切联系，特别是它在本章学习中起着承上启下的作用.学习本小节的意义主要在于：（1） 由于二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一-二项分布有内在联系，本小节是学习后面的概率知识以及进一步学习概率统计的准备知识.（2） 由于二项式系数都是一些特殊的组合数，利用二项式定理可得到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合数的认识.（3） 基于二项式展开式与多项式乘法的联系,本
2、小节的学习可对初中学习的多项式的变形起到复习、深化的作用.（4） 二项式定理是解决某些整除性、近似计算问题的一种方法.学情分析（1）学生已经学会了（a+b） 2 （a+b） 3 的展开式，但不知道（a+b） n （n3,n 为整数）的展开式。（2）该班学生在学习上具有坚毅、勤奋、刻苦的优良品德，自主学习数学的热情很高。知识与技能目标掌握二项式定理及二项展开式的通项公式，并能熟练地进行二项式的展开及求解某些指定的项.过程与方法目标通过探索二项式定理，培养学生观察问题发现问题,归纳推理问题的能力.教学目标情感态度价值观目标激发学生学习兴趣、培养学生不断发现，探索新知的精神，渗透事物相互转化和理论联
3、系实际的辩证唯物主义观点，并通过数学的对称美，培养学生的审美意识.教 教学 重点二项定理的推导及运用学重点难点教学难点（1）二项式定理及通项公式的运用（2）展开式中某一项的系数与二项式系数的区别教 学 过 程 设 计教学内容教学手段与方法教师教授活动学生学习活动设计宗旨与意图【创设问题情境】今天是星期天，15 天后是星期几，30 天后，8 100 天后呢？【问题 1】： （a+b ） 2 =( a+b)( a+b)的展开式有多少项？【回答】15 天和 30 天后【思考】8 100 天后是星期几？（1）星期几以7 为周期计算（2）8100=(1+7)100为引入（a+b） n做准备【问题 2】：
4、（a+b） 3 =( a+b)( a+b)( a+b)的展开式有多少项？启发提问【问题 3】：（a+b） 4=( a+b)( a+b)( a+b)( a+b)的展开式有多少项？ 你能准确的写出这些项吗？亲自展开 为后面的证明做准备新课学习讲授探究【启发类比】4 个袋子中各有红球 a 白球b 各一个，每次从 4 个袋子中各取一个球，有什么样的取法？ 各种取法有多少种？在 4 个括号（袋子）中（1）若每个括号都不取 b只有一种方法得到 a4,即 种。（2）若只有一个括号取 b 共有 种方法取到 a 4b。（3）若只有两个括号取 b 共有 种方法取到 a 2b2。（4）若只有三个括号取 b 共有 种
5、方法取到 a 1b3。理解袋子和括号的相同点 为证明二项式定理做铺垫（5）若只有四个括号取 b 共有 种方法取到 a 0b4。引导学生发现：原始展开式中确实有同类型存在，且可合并因此：【问题 4】： 的合并后的展开式中 的系数是多少？有何理由？根据 展开式归纳这是后面证明的关键那么该如何轻松清晰的将 展开？请同学们归纳猜想。学生很轻松的根据前面的过程写出其展开式合作探究【证明思路】：主要运用数学计数原理（1）展开式中为什么会有哪几种类型的项？（2）展开式中的各项的系数是怎么得来的？学生根据袋子中取球的例子回答。 讲授【板书】：一般的对于任意正整数 n 下面的关系式成立：说明：（1）公式的左边叫
6、二项式，右边叫二项展开式（2）二项式中的 a，b 只是一种符号，可以是任意的数或者式子，只要是两项和的 n 次幂的形式都可以用二项式定理展开。归纳展开式的特点：（1）项数是 n+1 项（2）系数 都是组合数,依次为 C ,C ,C ,C(3) 指数的特点 a 的指数 由n 0(降幂) 。b 的指数由 0 n（升幂）。 a和 b 的指数和为 n。(1)板书的示范作用(2)归纳出系数的特点才能记住二项式定理新课学习【学以致用】：你现在能知道 8100 天后是星期几吗？（星期四）学生会很快得出8100=(1+7)100 展开进行计算【例 1】求（1+2i ） 5 的展开式（1+2i） 5=C +C
7、2i+C (2i)2+=1+10i-40-80i+80+32i=41-38i（完整板书）学生先练，老师后讲二项式定理的直接应用启发讲授【例 2】若（1+2x） 7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，求（1）展开式中各项系数和。（2）a 0+a2+a4+a6 的值。解：（1）利用赋值法，令 x=1，得（1+2） 7=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=37=2187 （1）令 x=-1，（1-2） 7=a0+a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-1 （2）（1）+（2），得2a0+2a2+2a4+2a6=2187-1=2186即 a0+a
8、2+a4+a6=1093（完整板书）分清本题的各项的系数和 和二项式的系数和的区别由这个恒等式a，b 取值的任意性，我们可以令a，b 分别取一些不同的值来解决某些问题，这就是我们所说的“赋值法”。启发【练习】：（ +2x） 3=a0+a1x+a2x2+a3x3，求（a 0+a2） 2-（a 1+a3） 2 的值。答案：-1（学生书写）根据式子的特点用平方差公式展开，发现是正负交替出现，自然想到赋值，令 x=1和 x=-1 进行求解。赋值法的应用例题讲练【例 3】： 求 1-90C +（-1） k90C +90C 除以88 的余数。（1）这个式子是二项式吗？其值等于多少？定理的逆向应用启发解：1-90C +(-1)k90C +90C =（1-90） 10=（88+1） 10=C 8810+C 889+ C 88+C所以原式除以 88 的余数为 1（学生书写）（2）一个数除以 88，这个数写成什么样的特点合适？小结1 本节主要学习了二项式定理的展开式的特点和证明方法。2 学习了二项式定理在解题中的应用。其中包括赋值法求系数和的方法和逆向应用等学生小结老师补充让学生进一步明白二项式定理的内容和应用板书设计【板书设计】：二项式定理：一般的对于任意正整数 n 下面的关系式成立：特点：【例 1】：【例 2】：【练习】：【例 3】：
