1、双曲线及其标准方程教学设计一、 设计理念1. 课标解读：普通高中数学课程标准 （实验）中指出：（1）高中数学课程应设立“数学探究”等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣。（2）高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、符号表示、运算求解、反思与建构等思维过程，提高学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断的能力（3）高中数学课程实施应重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵，删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容。（3）高中数学课程提倡
2、实现信息技术与课程内容的有机整合，整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质；提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，加强数学教学与信息技术的结合。（4）高中数学课程应建立合理、科学的评价体系；评价既要关注学生数学学习的结果，也要关注数学学习的过程；过程性评价应关注对学生理解数学概念、数学思想等过程的评价，关注对学生在学习过程中表现出来的与人合作的态度、表达与交流的意识的评价。基于课表理念的指导，本节课教学方法选择以问题探究、练习为主、以讲授法辅。教学过程侧重知识的自主建构和应用，重视信息技术在教学中的辅助作用。2. 高考解读：解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研
3、究几何问题是解析几何的基本特点和性质。因此，在解题的过程中计算占了很大的比例，对运算能力有较高的要求，但计算要根据题目中曲线的特点和相互之间的关系进行，所以曲线的定义和性质是解题的基础。解析几何试题除考查概念与定义、基本元素与基本关系外，还突出考查函数与方程的思想、数形结合的思想等思想方法。3. 教材解读：本节课的教学内容是数学选修 2-1第二章圆锥曲线与方程3.1“双曲线及其标准方程” ，教学课时为 1 课时。圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用，同时，圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材，而双曲线是三种圆锥曲线中最复杂的一种，作
4、为最后一种圆锥曲线来学习充分考虑到了知识学习由易到难的教学要求。双曲线可以与椭圆类比学习，主要内容是：探求轨迹（双曲线） ；学习双曲线概念；推导双曲线标准方程；学习标准方程的简单求法，在学习过程中应注意双曲线与椭圆的区别与联系。二、 教学目标：1. 知识与技能：（1） 能理解并掌握双曲线的定义，了解双曲线的焦点、焦距；（2） 能掌握双曲线的标准方程，能够根据双曲线的标准方程确定焦点的位置。（3） 能根据已知条件求双曲线的标准方程。2. 过程与方法：（1） 经历双曲线轨迹的探究，培养观察能力和探索发现能力。（2） 在双曲线定义和标准方程的学习过程中培养类比推理能力、归纳能力，体会求轨迹方程过程中
5、数形结合等数学思想方法的运用。3. 情感、态度与价值观：（1） 经历双曲线及其标准方程的获得过程，感受数学的对称美和简单美。（2） 通过主动探索，感受探索的乐趣，体会数学的理性和严谨。（3） 经历双曲线定义的获得过程，养成实事求是的科学态度，形成学习数学知识的积极态度三、 教学重点和难点：1. 教学重点：（1） 双曲线的定义。（2） 双曲线的标准方程。2. 教学难点（1） 由双曲线的标准方程确定焦点位置。（2） 根据条件求双曲线的标准方程。四、 学习者分析1. 知识结构：双曲线是圆锥曲线中最后学习的曲线，再此之前学生已经学习了椭圆曲线，对学习曲线方程已经有了一定基础和方法，运用类比的学习方法得
6、到双曲线的定义及标准方程不太困难。2. 认知结构：高二学生已具备一定的类比转化及分析问题的能力，但对于复杂问题的处理还不够灵活，因此在课堂上要注意发挥学生的主体作用，体现教师的点拨引领效果。3. 授课班级学生特点：本节课教学对象是南校区文科普通班学生，学生的知识技能基础较弱，根据班级的整体水平以及对新课标的解读，双曲线标准方程的推导过程不在课堂完成，而是设计为 A 类学生的必做作业及其他学生的兴趣作业。五、 内容分析：本节内容主要分为：1. 复习引入：复习椭圆的定义，提出问题“将椭圆定义中之和改为之差 ，轨迹是什么？” 。通过拉链动画演示探究双曲线的轨迹，引入课题“双曲线及其标准方程” 。2.
7、 课程讲解：（1）双曲线的定义：在这一环节采用启发式教学法探究双曲线的定义，学生要理解双曲线定义中“差的绝对值”和“常数大于 0 小于两定点距离”的条件。（2）双曲线的标准方程：在这一环节进一步体会解析几何中求曲线方程的一般方法，根据本班的具体情况，弱化方程的推导过程，直接给出方程，让学生类比椭圆的方程进行理解学习，特别注意椭圆和双曲线焦点位置判断和 a、b、c关系的不同。3. 知识应用：在这一环节通过例题向学生示范规范解题过程，通过练习检测巩固学生是否突破难点：即通过双曲线的标准方程确定焦点位置和根据条件求双曲线的标准方程。4. 课堂小结：在这一环节要求学生回顾本节课主要内容，考查学生对课堂
8、目标的掌握情况，同时展示学习目标，帮助每个学生反思是否完成学习目标。六、 教学方法和评价本节课以探究性教学法和启发式教学法为主、讲授法为辅的教学方法，学生主要通过自主探究和小组协作的方法完成学习。七、 教学资源：1. 传统的排式教室，投影仪和黑板。2. 课本及配套课件。八、 教学过程教学环节 教师活动 学生活动 设计意图【知识复习】复习提问“椭圆的定义是什么？”举手回答椭圆的定义复习椭圆的定义并引入新课题复习引入【新课引入】1.设问：“若将椭圆定义理解问题，产生探究兴趣由和变差，快速引入新课中的之和改为之差 ，结果如何？2.轨迹探究：（1）解释拉链探究轨迹原理：拉链在拉开和合拢过程中，两边长度
9、相等，现将拉链的一边的端点固定，另一边选择一点固定。引发学生思考：拉链咬合处到固定的两点的长度有什么关系？拉链在拉开和合拢过程中咬合处到两个固定点的距离如何变化？说明现在拉链的咬合处放一支笔，那么在拉链拉开或合拢过程中笔尖留下的轨迹上的点满足到定点距离之差为定值。思考发现：到一个定点距离比另一个定点距离长多余的那一部分；距离在变大或者变小，但距离之差不变。理解拉链画双曲线的原理。设计的需要学生思考的两个问题是拉链画双曲线轨迹中两个很关键的点， 通过这两个思考问题，理解借助拉链画出来的轨迹上的点满足到定点的距离之差是常数，从而能够顺利的理解后面的双曲线的定义。（2）动画演示双曲线轨迹，说明点的轨
10、迹是左右两支曲线，取名双曲线观看轨迹的形成过程及结果使用动画既能形象直观的展示轨迹形成过程，帮助学生顺利理解双曲线上点的特点，同时节省了时间。3.引入课题并板书“双曲线及标准方程”目标展示 课件展示学习目标 了解学习目标学生了解学习目标，目标做指引，学习更高效【双曲线的定义探究】1.提问：你能否给双曲线 双曲线下定义学生在下定义时会错误的给出下个定义？ “距离之差是常数” ，设计让学生先试误，对知识记忆深刻。2.分析：右支是到定点F1、F 2 距离之差为 2a 的点的集合，左支是距离之差为-2a 的点的集合，两支则为距离之差的绝对值为 2a 定值的点的集合。理解双曲线定义中常数是“差的绝对值”
11、 。通过对错误的更正，学生对定义中“差的绝对值”理解更深刻。3.双曲线定义（1）给出双曲线的初步定义“平面内到两个定点F1、F 2 距离之差的绝对值是常数的点的集合叫双曲线” 。（2）提问：类比椭圆定义，椭圆中要求常数大于F1F2 之间距离，双曲线定义中的常数有没有条件限制？（3）提问：等于 F1F2 的轨迹是什么？（4）思考：若常数为0，轨迹是什么？（5）课件展示双曲线的完整定义，同时给出焦点和焦距的定义。思考并回答：常数要小于 F1F2；并解释原因：三角形中两边之差小于第三边。思考回答：两条射线思考回答线段 F1F2的中垂线理解掌握：双曲线定义及焦点焦距概念根据建构主义的学习观，学生对知识
12、理解后才能自主建构为自己的知识。设计的这几个思考问题能帮助学生理解双曲线定义中常数的条件。对于条件限制，由学生先猜想，再分析不满足条件时点的轨迹，证明猜想，培养学生严谨的数学思维。新课讲解【双曲线标准方程探究】1.回忆求曲线方程的一般步骤2.双曲线焦点在 x 轴的标准方程的探究（1）建系：提问：双曲回答：一般步骤：建系、设点、列式、化简回答：“以 F1F2 所在直线为 x 轴，以通过双曲线的建系说明进一步体线如何建系？分析F1、F 2 点的坐标（-c，0）（c，0）（2）设点：设M（x，y）为双曲线上任意一点（3）列式：首先给出定义式 ，由定义带入点坐标列式。（4）化简：分析和椭圆列式的异同点
13、，点拨化简思，给出化简结果。3.双曲线方程与标准方程的比较：提出问题：比较双曲线与椭圆 A.标准方程有何异同点；B.a，b，c 的关系有何异同点？4.双曲线焦点在 y 轴的标准方程：给出方程，要求类学生和其他感兴趣的同学课下证明。5.焦点在 x 轴和在 y 轴的两类双曲线方程比较：课件给出双曲线的两类方程，板书同时提问：如何通过双曲线的方程判断焦点的位置。6.巩固练习课件展示练习 1：求双曲线的焦点坐标F1F2 中垂线为 y 轴建立直角坐标系”的建系过程。和椭圆列式比较，发现异同点，回忆椭圆方程的化简思路，感兴趣的同学课后推导。回答标准方程的：相同点：形式一样不同点：两式运算一减一加，a 2
14、始终对应系数为正的一式a,b,c 关系：相同点：都有一数平方等于另两数平方和关系不同点：双曲线中c2=a2+b2，c 值最大，a、b 大小关系不确定；椭圆中a2=b2+c2，a 值最大，b、c 大小关系不确定会对称建系的原则根据建构主义学习观，采用先行组织者策略，将新知识与所学知识建立联系，学生能够更顺利的学习新知识，同时建立清晰的知识网络关系。通过练习检测是否突破难点：由双曲线方程判断焦点位置2aMF1【例题讲解】例 1已知双曲线的焦点为 F1(-2,0)、F2(2,0),双曲线过点(3, )，求双曲线2的标准方程。分析解题过程并板书示范规范解答过程。思考并分析解题过程。观看规范书写。通过规
15、范书写示范，帮助学生养成良好的规范解题习惯。习题练习【习题练习】1.练习 2：已知双曲线的焦点为(0,-4),(0,4),双曲线上任意一点 P 到焦点的距离之差的绝对值为 6，求双曲线的标准方程。2.高考链接：已知双曲线与椭圆 的焦点相同，双曲线任意一点 P 到焦点的距离之差的绝对值为 6，求双曲线的标准方程。一学生上黑板完成，其他学生练习本上完成练习高考题1.检测学生是否掌握用定义求双曲线方程的方法。2.通过练习加深学生对双曲线定义的理解。3.黑板演示具有将问题暴露或者良好示范性的效果。将课堂练习提升到高考高度课堂小结 1.本节课你收获了什么？2.学习目标照应学生回顾本节所学知识学生对照学习
16、目标，反思达成程度反思收获能够帮助学生梳理总结本节所学内容对照学习目标，反思完成度，以便查漏补缺。作业布置1.个人作业：课本 P43 习题 2-3 A 组第 1,2,3 题。2.合作作业：从定义、标准方程、焦点坐标及 abc之间关系四个方面比较双曲线与椭圆的区别和联系学生课下完成作业1.通过个人作业巩固本节所学内容。2.合作作业能够帮助学生深刻理解椭圆和双曲线的3.兴趣作业（A 类必做）：推导双曲线的两个标准方程区别和联系。3.兴趣作业能够提高学生的运算能力。承上启下播放双曲线歌曲，指出双曲线不仅美，而且有内涵，下节课通过双曲线的性质来解读。欣赏歌曲为下节课做铺垫，让学生对下节课双曲线的性质抱有兴趣和期待。九、 板书设计
