1、1空间向量在立体几何中的应用教学设计一.教学目标（一）知识与技能1.理解并会用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值；2.理解并会用空间向量解决平行与垂直问题.（二）过程与方法1.体验用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值的过程；2.体验用空间向量解决平行与垂直问题的过程（三）情感态度与价值观1.通过理解并用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值，用空间向量解决平行与垂直问题的过程，让学生体会几何问题代数化，领悟解析几何的思想；2.培养学生向量的代数运算推理能力；3.培养学生理解、运用知识的能力二.教学重、难点重点：用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值及解决平行与垂直问题难点：用
2、空间向量求二面角的余弦值三.教学方法：情景教学法、启发式教学法、练习法和讲授法四.教学用具：电脑、投影仪五.教学设计（一）新课导入1.提问学生：（1）怎样找空间中线线角、线面角和二面角的平面角？（2）能否用代数运算来解决平行与垂直问题？（二）新课学习1.用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值.（1）设 是两条异面直线， 是 上的任意两点， 是直线 上的任12,l ,AB1l,CD2l意两点，则 所成的角的余弦值为 .12,l （2）设 是平面 的斜线，且 是斜线 在平面 内的射影，则AB,BCAB斜线 与平面 所成的角的余弦值为 .设 是平面 的法向量，n是平面 的一条斜线，则 与平面 所
3、成的角的余弦值为 .ABABnAB2（3）设 是二面角 的面 的法向量，则 就是二面角的12,nl, 21n平面角或补角的余弦值.例 1：在棱长为 的正方体 中， 分别是 的中点，aABCDEF,BCAD（1）求直线 所成角的余弦值.E与（2）求直线 与平面 所成的角的余弦值.F（3）求平面 与平面 所成的角的余弦值.B分析：启发学生找出三条两两垂直的直线 AB,AD,AA，建立空间直角坐标系 A-xyz，根据已知找出相关点的坐标，然后写出相关向量的坐标，并进行运算就可以得到所求的结果.解：（1）如图建立坐标系，则 .(0,)(,0)(,)(,0)2aAaCDE.(,),(,)2ACaDEa.
4、 15cos,CA故 所成的角的余弦值为 .E与 15（2） 所以 在平面 内的射影在 的平分线,DFDBEFEDF上，又 为菱形， 为 的平分线，故直线 与平面 所BBAB成的角为 ，建立如图所示坐标系，则 ，A(0,)(,)(0,)a， . (0,)(,)aa 3cos,ABD故 与平面 所成角的余弦值为 .ADBEF3（3）由 ,所以平面 的 (0,)(,)(,0)(,)(0)2aaEABCD法向量为 ,下面求平面 的法向量，设 ，由mBDF(1,)nyzAB CDEFG xyz3， ， .(,0)(,)22aaEDEB 021nEDyzB(,1)n.6cos,mn所以，平面 与平面 所
5、成的角的余弦值为 .BEDFABC6课堂练习：1.如图， ， ，求二面角P平 面 ,1,2PACB的余弦值.AC参考答案：解：建立如图所示空间直角坐标系 ，取 的中点 ，连 可证CxyzPBD,C，作 于 ，则向量 的夹角的大小为二面角DCPBAEDEA与的大小。 ， 为 的中点，(1,0)(,20),(,)(1,0)B，在 中， .12(,)RtA23PEA，13EPB分 的 比 为 1(,)(,)44， ，2(,)DC3,2EADC.11,cos,32 A B CPDExyz4二面角 的余弦值为 .APC3引导学生归纳：用空间向量求二面角的余弦值时，是将求二面角的余弦值问题转化为求两平面的
6、法向量的夹角的余弦值问题，这里要明确：（1）当法向量 的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等12n与于法向量 的夹角的大小；12与（2）当法向量 的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小12与等于法向量 的夹角的补角 .与 12,n2.利用向量向量解决平行与垂直问题.例 2：如图, 在直三棱柱 ABCA 1B1C1中，AC3，BC4，AA 14， ,点 D5AB是 AB的中点， （I）求证：ACBC 1； （II）求证：A 1C /平面 CDB1.分析：启发学生找出三条两两垂直的直线 CA,CB,CC1，建立空间直角坐标系C-xyz，根据已知找出相关点的坐标，然后写出相关向量
7、的坐标，并进行运算就可以得到两条直线垂直或平行.解：直三棱柱 ABCA 1B1C1底面三边长AC3，BC4，AB5，AC、BC、C 1C两两垂直，如图，以 C为坐标原点，直线 CA、CB、C 1C分别为 x轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则 C（0,0，0） ，A（3,0，0） ，C 1（0,0，4） ，B（0,4，0） ，B 1（0,4，4） ，D（ ，2,0）23（1） （3,0，0） ， （0，4,0） ， 0，ACBC 1.1A1B（2）设 CB1与 C1B的交战为 E，则 E（0,2，2）. （ ，0,2） ，E（3,0，4） ， ，DEAC 1. DE 平面 CDB1，AC
8、 1 平1A1DAC 面 CDB1. AC 1/平面 CDB1.5引导学生归纳：（1）垂直问题转化为：判定空间向量的数量积是否为零；（2）平行问题转化为：面面平行 线面平行 线线平行.课堂练习：2.在直三棱柱 中， ,1ABC13,4,5,4ACBA（1）求证 （2）在 上是否存在点 使得;D?C（3）在 上是否存在点 使得 .D11/平 面参考答案：解：直三棱柱 ， 两两垂直，以1ABC 13,4,5,ABCABC为坐标原点，直线 分别为 轴 轴， 轴，建立空间直角坐标系，C1,xyz则 ， .1(0,4)(3,0)(,4)1(0,)(,4)（1） ，1ABC110,ACBBC.CB（2）假
9、设在 上存在点 ，使得 ，则D1(3,40)DA其中 ，则 ，于是 由于 ，01(3,40)(3,40)C1C且 .ACD所以 得 ，所以在 上存在点 使得 ，且这时点 与9ABD1AD点 重合.B（3）假设在 上存在点 使得 ，则B11/CB平 面其中 则 ，(,40)AD(3,40)CA Bx DyZ 116又1(3,4,)BD1(0,4).BC由于 ， ，所以存在实数1(0AC1/AD平 面成立，1,mnn使所以 ，所以在 上存在(3),(4)0,4,mn12AB点 使得 ，且 使 的中点.D11/ACDB平 面 A引导学生感悟：空间向量有一套良好的运算性质，它可以把几何图形的性质转化为向量运算，实现了数与形的结合，在解决立体几何的夹角、平行与垂直等问题中体现出巨大的优越性.（二）课外作业 1.如图, 在直三棱柱 ABCA 1B1C1中，ACB=90，CB=1,CA= , 3AA1= ,M为侧棱 CC1上一点, 6M（1）求证: AM平面 ；ABC（2）求二面角 BAMC 的大小；2.如图，直三棱柱 ABC A1B1C1中， D， E分别是 AB， BB1的中点，AA1 AC CB .2(1)证明： BC1平面 A1CD；(2)求二面角 D A1C E的正弦值A BCA1B1C1M
