1、12.2.2 双曲线的简单几何性质学习目标：1、通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围，对称性，顶点，渐近线和离心率等几何性质与双曲线的中心，实轴，虚轴，渐进线，等轴双曲线的概念，加深对a、 b、c、e 的关系及其几何意义的理解。2、 能利用双曲线的简单几何性质及标准方程解决相关的基本问题。【学习重点】双曲线的简单几何性质及其应用。【学习难点】渐近线方程的导出。知识回顾1、双曲线的定义： 2、双曲线的标准方程：3、回想椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？学习过程一、 双曲线的几何性质（一）试一试类比探究椭圆的简单几何性质的方法，根据双曲线的标准方程，研究它的几何性质。21,(0,)xyab
2、b范围 ：由双曲线的标准方程可得： 2by从而得 x 的范围： ；即双曲线在不等式 和所表示的区域内。 = 从而得 y 的范2ax围为 。对称性：以 代 ，方程不变，这说明 x所以双曲线关于 对称。同理，以 代 ，方程不变y得双曲线关于 对称，以 代 ，且以 代 ，方程也不变，得双曲线关于 xy对称。2顶点：即双曲线与对称轴的交点。在方程 里，令 y=0,得 x= 得12byax到双曲线的顶点坐标为 （ ） （ ） ；我们把 （ ） （ 1A2A1B2）也画在 y 轴上（如图） 。线段 分别叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为 。离心率：双曲线的离心率 e= ，范围为 。思考：离心率可以刻画
3、椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？探究：在学习椭圆时，以原点为中心，2a、2b 为邻边的矩形，对于估计仍以原点为中心，2a、2b 为邻边作一矩形(板书图形)，那么双曲线和这个矩形有什么关系？当 a、b 为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？双曲线特有性质- 5双曲线 的渐近线方程为 ,双曲线各支向外延伸时，与它的21xyab渐近线 ， 。 （二）想一想1、根据上述五个性质，画出椭圆 与双曲线 的图象。1962yx1962yx3探究案：1）整合前面的探究结果，类比出双曲线焦点在 y 轴时的几何性质，完成下表。标准方程 （a0,b0）12byax (a0,b0)12bx
4、a图 象范围对称轴对称中心实虚轴顶点渐近线离心率a,b,c 关系2）等轴双曲线定义及性质是什么？ 3）探究共渐近线的双曲线系？二 、 例题讲解（一）已知双曲线方程研究几何性质4例 1 求双曲线 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、29164yx渐进线方程.练习(1) ： 的实轴长 虚轴长 ，顶点坐标 283xy焦点坐标 离心率 （2 ） 的实轴长为 虚轴长 顶点坐标 24xy焦点坐标 离心率 渐近线方程 拓展提升的渐近线方程为： 的渐近线方程为： 1y-4x224xy的渐近线方程为： 的渐近线方程为： 24xy。思考:共渐近线的双曲线方程有什么特点？（二）由双曲线方程性质求双曲线
5、方程例 2 求中心在原点，对称轴为坐标轴，过点 A（-5，3） ，且离心率 e= 的双曲线的标准2方程.5变式：求顶点在 x 轴上，两顶点间距离为 8，离心率 e= 的双曲线的标准方程.453、小结 四、 当堂检测1双曲线 的实轴长和虚轴长分别是 ( )1432yxA. ，4 B.4， C.3，4 D. 2， 332如果双曲线的实半轴长为 2，焦距为 6，那么双曲线的离心率为( )A. B. C. D.2 36233双曲线的渐近方程是 ，焦点在坐标轴上，焦距为 10，其方程为( )xy1A. B. 或 1520yx5201520xyC. D. 1xy4. 等轴双曲线的一个焦点是 F1（4 ，0） ，则它的标准方程是 ，渐近线方程是5.求与椭圆 有公共焦点，且离心率 的双曲线方程.1249yx 4e66.若双曲线的渐近线方程为 求双曲线的离心率.x43y7.若双曲线 的离心率 ，求 k 的范围.1k-42yx）（ 2,1e8、双曲线 的左支上一点 P（a，b）到直线 y=x 的距离为 ，求 a+b 的值.12yx 2五、 【课后反思】本次课我掌握了哪些知识 我还有哪些不懂得知识
