1、1代数式的值一、主要内容： 1代数式的值的概念： 一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。 注：1）字母的取值不能使代数式本身失去意义，如分母不能为零；2）不能使它所表示的实际问题失去意义，如求路程公式 Svt 中，v，t 不能取负数。 2求代数式的值的方法： 先代入后计算： 注：1）代入时，只将相应的字母换成相应的数，其它符号不变。 2）代数式中原来省略的乘号代入数值以后一定要还原。 3）对于已知一个比较复杂的代数式的值，求另一个代数式的常用的方法有整体代入法，代换法。 4）根据代数式所表示的运算顺序，按有关运算法则，计算出结果。 二、主要数学
2、思想： 代数式的值是由字母所取的值确定的，当代数式中的字母每取一个值时，代数式就表示一个确定的（数）值。因此，求代数式的值是由一般（式）到特殊（数）的问题，通过求代数式的值，可进一步理解代数式的意义和作用。 三、例题讲解：例 1 求下列代数式的值： (1) a 2- +2 其中 a=4, b=12, (2) 其中 a= , b= . 解：(1)当 a=4, b=12 时, a 2- +2=42- +2=16-3+2=15 (2)当 a= ，b= 时， = = = 。 点评：（1）求代数式的值的解题步骤是： 指出代数式中的字母所取的值； 抄写原代数式； 把字母的值代入代数式中； 按规定的运算顺序
3、进行计算。 （2）代数式的值是由代数式里字母所取的数的大小来确定的，代数式里的字母可取不同的值，但这些值必须使代数式和它所表示的实际数量有意义。 （1）题中的 a 不能取 0，因为当 a取 0 时， 的分母为零，代数式无意义。（2）题中 a+b 不能为 0。 例 2 当 a1， b2， c3 时，求下列各代数式的值。 2（1） （2）(a 2b 2c 2)2 （3） 分析：求代数式在 a1，b2，c3 时的值，就是把代数式中的字 a、b、c ，分别用1，2，3 代替，按原来的运算顺序进行运算即可。解： （1） （2）(a 2b 2c 2)2( 1) 22 23 224 216 （3） 例 3
4、已知 a 2，求代数(a )2 6a 的值。 分析：本例中代数式(a )2 6a 是含字母 a 的代数式，若已给出 a 的值，用 a 的值代换代数式中的字母 a，即可进行运算，但现在没给 a 的值，又无法求出 a 的值。只知：a 2，所以我们应把 a 作为一个整体，把代数式(a )2 6a 进行变形，使代数式中的字母以 a 的形成出现，再用 2 代替 a 即可求值。 解：当 a 2 时 (a )2 6a(a )2(a )6 2 226 12例 4 当 2 时，求代数式 的值。 分析：本例仿例 3，把 看一个整体，把所给代数式进行变形。 解：当 2 时 3223 5 例 5 某车间第一个月产值为
5、 m 万元，平均每月增产率为 a% 要求： （1）用代数式表示出第二个月的产值。 （2）当 m20 ，a5 时第二月的产值。分析：平均每月增产率为 a%，即第二月的产值比第一个月的产值增加 ma%，所以第二月的产值为 mma%. 解： 1）第二个月的产值为（mma%）万元； 2）当 m20， a5 时 mma%20205%21（万元） 小结：若每月的增产率不变，下一个月的产值就等于本月产值本月产值增产率。请试着写出第三个月的产值，并计算当 m20，a5 时产值。北 京 四 中透视“代数式” 一、明确代数式的特征 代数式是一个非常重要的概念，它贯穿于初中代数的始终，关于什么是代数式，课本中用“像
6、是”这种说法加以描述，通过对这个定义的理解，我们可以看出代数式的三个特征：1代数式是用运算符号把数和表示数的字母连结而成的。如：3a、a+b 等。 2单独一个数或一个字母也是代数式。如：7、x 等。 3代数式中是不含等号的。运算律、公式，它们都是以等号形式出现的，应该说，这些等式的左、右两边，各是一个代数式。如：S=ab，它是用等号把代数式 S 与 ab 连结起来而成为公式，所以 S=ab 不是代数式，而是公式。 二、注意代数式书写格式 1代数式中出现的乘号，通常简记作“”或省略不写。数字和数字相乘，乘号不能省略；数字和字母相乘，可以省略乘号，但数字必须写在字母前面，如：a2 可记作 2a，不
7、能写成a2；字母和字母相乘时，除可省略乘号外，一般还要习惯按英文字母表示的自然顺序来书写，如：yx2，可简记为 2xy。 2带分数和字母相乘时，若要省略乘号，须把带分数化成假分数，如：x 4 ，记作，不能写成 4 x，另外，当一个因数是 1 时，通常省略不写，如 1a，不能写成 1a，而应记作 a。 3代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，如：st 应记作 ，ah2 记作4。4写代数式的答案时，若是乘、除关系的，单位名称直接写在式子的后面，如：正方形面积是 12a 平方厘米，无需加括号；若是加减关系时，必须把式子用括号括起来，再写单位，如：三角形的周长是(a+b+c)米。 三、掌握列
8、代数式的要点 列代数式就是把问题中与数量关系相关的语句，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来。 首先弄清问题中的数量关系，如：和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、增加到、减少到、增加了、减少了等，并把这些语言转化为运算。 其次是弄清问题中的运算顺序，特别是注意括号的运用。 最后要明确列代数式与小学的算术列式类似，所不同的是把数改为表示数的字母来列式。 例 1 设甲数为 x，用代数式表示乙数 (1)乙数比甲数的 2 倍小 3； (2)乙数比甲数大 16， 解：(1)中的甲数转化为“x”， “小” 转化为运算“”，先表示甲数的 2 倍 2x，再表示比 2x 小 3 的数是 2x-3。(2)中
9、甲数的 16即为：16x， “大”转化为运算“+”，即“x+16x 或(1+16)x 。例 2 设甲数为 x，乙数为 y，用代数式表示 (1)甲乙两数的平方和( 即平方的和 )。 (2)甲乙两数的和与甲乙两数的差的积。 解： (1)中就是：甲数的平方+乙数的平方，注意先平方后和，即 x2+y2。 (2)中就是：( 甲数+乙数)(甲数-乙数)，注意先算和、差，再相乘，和、差要添括号，即(x+y)(x-y)。 四、准确求出代数式的值 一般地，把用数值代替代数式里的字母，按照代数式中指明的运算，计算出的结果，叫做代数式的值，在这个概念中，实际上也指出了求代数式值的方法，即一是代入、二是计算，当代数式
10、中有多个字母时，代入值不要混淆，式中的同一个字母值应该是相同的，在进行运算时，既要分清运算的种类，又要注意运算顺序。 某些求代数式值的题目，没有直接给出代数式中相关字母的值，而是给出某种关系，这时要认真仔细观察题目特征，运用整体代换的方法来进行求值。 例 3 若代数式 2x+3y+7 的值是 8，那么 4x+6y+10 的值是多少 ? 解：本题没有给出 x、y 的值，而是已知 2x+3y+78，这时易知 2x+3y1，然后再观察4x+6y+10 这个代数式，其式中的 4x+6y 正好是 2x+3y 的 2 倍，即 4x+6y2(2x+3y)，所以4x+6y2，此时 4x+6y+10 的值就是
11、2+1012 了。五、会应用代数式解决实际问题 应用数学知识解决实际问题是学习数学的目的，灵活应用代数式，可以解决许多实际问题。例 4 用 a 米长的篱笆材料，在空地上围成一个绿化场地。现有两种设计方案：一种是围成正方形的场地；另一种是围成圆形的场地。试问选用哪一种方案，围成的场地面积较大?并说明理由。 解：设 S1、S 2 分别表示围成的正方形场地和圆形场地的面积，则 5， 4, . S 2S 1, 故应选用围成圆形场地的方案，它的面积较大。 例 5 暑假里父亲、儿子、女儿准备外出旅行，咨询时了解到，甲旅行社规定：大人买一张全票，两个孩子的费用可按全票价的一半优惠；乙旅行社规定：三人旅行可按
12、团体票计价，即按原价的 60收费。已知两个旅行社的原价相同，问选择哪个旅行社，能多省钱? 解：设两个旅行社的原票价为 a(a0)元，则甲旅行社的收费为 a+20.5a2a( 元) ，乙旅行社的收费为360a=1.8a(元)。 因为 2a1.8a，所以选择乙旅行社能多省钱。六、在列代数式中培养创新能力 “创新是一个民族的灵魂。 ”我们每个中学生都应具有创新意识，在数学学习中创新，就是要对自然界和社会中的数学现象具有好奇心，会从数学的角度发现和提出问题，并加以探索和解决。 例 6 给出下列算式： 3 2-12=8=81, 5 2-32=16=82 7 2-52=24=83, 9 2-72=32=8
13、4 观察上面一系列等式，你能发现什么规律?用代数式表述这个规律。 分析：观察可知左边是连续奇数的平方差(大数减小数)，右边是 8 的倍数，其规律可用代数式表述为(2n+1)2-(2n-1)2=8n(n 为自然数)。 例 7 问题：你能很快算出 19952 吗? 为了解决这个问题，我们考察个位数为 5 的自然数的平方，任意一个个位数为 5 的自然数可用代数式表示为 10n+5，问题即求(10n+5) 2 的值(n 为自然数 )，试分析 n1，n2，n=3 ，这些简单情况，从中探索其中的规律，并归纳、猜想出结论(在下面空格内填上你的探索结果) 。(1)通过计算，探索规律： 15 2=225, 可写
14、成 1001(1+1)+25, 25 2=625, 可写成 1002(2+1)+25, 35 2=1225, 可写成 1003(3+1)+25, 45 2=2025, 可写成 1004(4+1)+25, 75 2=5625, 可写成_。85 2=7225，可写成_。 (2)从第(1)题的结果，归纳、猜想得： (10n+5) 2_。(3)根据上面的归纳、猜想，请算出：1995 2_ 解：(1)l007(7+1)+25，1008 (8+1)+25； (2)100n(n+1)+25, n 为自然数； 6(3)100199(199+1)+25=3980025。本例的实质是先用代数式表示出一般情况，再求
15、特殊情况下代数式值的计算规律，归纳出一般性结论，再求这个一般性结论中代数式的值，体现了“特殊 一般 特殊”的思想方法，这正是用字母代数(从特殊到一般)后再求代数式值(从一般到特殊) 这种思想方法的反复应用。发现是创新的前提，以上两例要求同学们从具体、特殊的事例中探究其存在的规律，并把潜藏在现象中的本质挖掘出来，并用代数式加以表示。规律被找出，即是完成了一个创新过程。长期如此，你的创新意识会不断增强，创新能力将不断提高。北 京 四 中代数式的值考点扫描:了解代数式的值的概念，会求代数式的值 名师精讲: 1代数式的值的概念：用数值代替代数式里的字母,按照代数式指明的运算,计算出的结果,叫做代数式的
16、值。注意：（1）字母的取值必须确保代数式有意义。 （2）字母的取值要保证它本身表示的数量有意义。 （3）字母的取值不同，代数式的值也不同。 2求代数式的值的步骤是： （1）用字母的取值代替字母，要注意省略的乘号要写出来；若字母的取值是分数，并且是字母的平方或立方形式的，要添加括号，把分数括起来。 （2）根据代数式所表示的运算顺序，按有关运算法则计算出结果。 中考典例: 1 （河南省）已知代数式 3y2-2y+6 的值为 8，那么代数式 的值为（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 考点：求代数式的值评析：求代数式值的方法是：用字母的取值代替字母，根据代数式所表示的运算顺序按有关运算法则计算出结
17、果。而该题给的不是字母的值，而是一个代数式 3y2-2y+6 的值，因此必须将另一个代数式转变成一个用 3y2-2y+6 表示的式子。通过观察，代数式 可变为 (3y2-2y+6)-2 的形式。然后将 3y2-2y+6 的值代入，即可得到其值为 2。故应选 B。 解题过程如下： = （3y 2-2y+6）-2 将 3y2-2y+6=8 代入，原式 =2。 说明：该题是考查整体代入求代数式的值，可拓展为求 6y2-4y+5 的值等。北 京 四 中代数式 1选择题 7(1)代数式 2x-y2 用语言叙述为 ( )(A)x 的 2 倍与 y 的差的平方 (B)x 与 y 的平方差的 2 倍 (C)x
18、 与 y 的差的 2 倍的平方 (D)x 的 2 倍与 y 的平方的差 (2)电影院的座位一共有 n 行，每行的座位数比行数多 10，则电影院共有座位( )(A)10n 个 (B)(n-10)n 个 (C)10(n-10)个 (D)10n+ 个 (3)若两数之积为 24，其中一个数为 M，则另一个数的 2 倍表示为( )(A) (B) (C) (D) (4)某个学校的学生共有 a 人，其中男生占 53，则代数式 (a-53a)表示的是( )(A)全体学生的人数 (B)全体女生的人数 (C)全体男生的人数 (D)全体学生的人数的半 2填空题 (1)n 个队参加篮球比赛，每队有 10 人，参加比赛
19、的队员共有_人。 (2)当 a=5，b=4 时，代数式 3a2-2b 的值是_。(3)长方形的周长为 46，它的长是 x 厘米，它的面积是_。3求代数式的值 (1) ，其中 a=5，b=7 ； (2)3x 2-2xy+y2，其中 x1，y= ；(3)(3a-2b) 2，其中 a= ，b= ； (4)(a+b) 2-(a-b)2，其中 a ,b 。答案： 1. (1)D (2)D 行数 座位数 1 1+10 2 2+10 n n+10 电影院共有座位：1+10+2+10+n+10=1+2+n+10+10+10= 个(3)D (4)B 提示：53%a 表示全体男生人数，学生总数全体男生人数全体女生人数 2. (1)10n (2) 67 (3) x(23-x)平方厘米 8提示：长方形的宽为 厘米 3. (1) (2) (3)1 (4) 注意：代入数值后，要注意运算顺序。
