1、1因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如
2、：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b2 -a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (ab) 2 = a22ab+b2 a22ab+b2=(ab)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b2) =a3+b3- a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例 1、分解
3、因式： bnma分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式= )()(= 每组之间还有公因式！ nb= anm例 2、分解因式： xyx5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。 第二、三项为一组。解：原式= 原式=)()(bay )510()2(byabxa= =52x 2= =5x练习：分解因式 1、 2、bca2 1yx（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式： ayx2
4、分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 例 4、分解因式： 22cba解：原式= 解：原式=)()(2ayxyx )(= = 2= = (cba2练习：分解因式 3、 4、yx3922 yzx22综合练习：（1） （2）323yx baxbax2（3） （4）186922 ayx aba491262（5） （6）9234a ybxyax224（7） （8）22yzxy 122aba（9） （10）)1()2(my )2()(abca四、十字相乘法.（一）二次项系数为 1 的二次三项式直接利用公式 进行分解。)()(2 qxp
5、qxpx3特点：（1）二次项系数是 1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知 0 5，且 为整数，若 能用十字相乘法分解因式，求符合条件的 .a23xa a解析：凡是能十字相乘的二次三项 式 ax2+bx+c，都要求 0 而且是一个完全平方数。24bac于是 为完全平方数，981例 5、分解因式： 652x分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于 5。由于 6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有 23 的分解适合，即 2+3=5。 1 2解： = 1 3 x32)(2x= 12+13=5
6、用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例 6、分解因式： 672x解：原式= 1 -1 )6()(1= 1 -6 )(（-1） +（-6）= -7练习 5、分解因式(1) (2) (3)2412x 3652a 542x练习 6、分解因式(1) (2) (3)2x 152y 24102x（二）二次项系数不为 1 的二次三项式 cbxa2条件：（1） 2a11（2） 1c22（3） 12b11分解结果： =x2 )(21cxa例 7、分解因式： 03分析： 1 -23 -5 （-6）+（-5）= -11解： =2x)5(2x练习 7、分解因式：
7、（1） （2）672732x4（3） （4）31702x1062y（三）二次项系数为 1 的齐次多项式例 8、分解因式： 228ba分析：将 看成常数，把原多项式看成关于 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。ba1 8b1 -16b 8b+(-16b)= -8b解： =228ba)16(8)16(bb= (a练习 8、分解因式(1) (2) (3)223yx2nm2a（四）二次项系数不为 1 的齐次多项式例 9、 例 10、2267yx 232xy1 -2y 把 看作一个整体 1 -1 xy2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原
8、式=)3)(yx )(xy练习 9、分解因式：（1） （2）22475yx862a综合练习 10、 （1） （2）17836x 22151yx（3） （4）10)(3)(2yx 34)(2ba（5） （6）2265xyx 263422 nmnm5（7） （8）34242 yxxy 222 )(10)(3)(5baab（9） （10）1036422yxyx 222 )()(1)( yxxyx五、换元法。例 13、分解因式（1） 205)1205(xx（2） 63)1(解：（1）设 2005= ，则原式=aaa(= )= 2051205x（2）型如 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
9、ebcd原式= 2)6)(7(xx设 ，则Ax65A72原式= = 2= =2)()(练习 13、分解因式（1） （2） )(42yxyx 90)384)(23(2 xx六、添项、拆项、配方法。例 15、分解因式（1） 432x解法 1拆项。 解法 2添项。原式= 原式=32x 432xx= = )1()1)( )()(= = =3 11=42 )2= =)(x (x练习 15、分解因式（2） （3） 4）424)1()()1(xx 1724x4a6第二部分：习题大全经典一：一、填空题1. 把一个多项式化成几个整式的_的形式，叫做把这个多项式分解因式。2 分解因式： m 3-4m= .3.分解
10、因式： x 2-4y2= _ _.4、分解因式： 4x=_ _。5.将 xn-yn 分解因式的结果为(x 2+y2)(x+y)(x-y)，则 n 的值为 . 6、若 5,6y，则 yx=_， 2xy=_。二、选择题7、多项式 322310mnn的公因式是( )A、 5 B、 5 C、 5m D、 25n8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )A、 239aaB、 2ababC、 24545D、2 332m10.下列多项式能分解因式的是（ ）(A)x2-y (B)x2+1 (C)x2+y+y2 (D)x2-4x+411把（xy） 2（yx）分解因式为（ ）A （xy） （xy1） B
11、（yx） （xy1）C （yx） （yx1） D （yx） （yx1）12下列各个分解因式中正确的是（ ）A10ab 2c6ac 22ac2ac（5b 23c）B （ab） 2（ba） 2（ab） 2（ab1）Cx（bca）y（abc）abc（bca） （xy1）D （a2b） （3ab）5（2ba） 2（a2b） （11b2a）13.若 k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么 k 应为（ ）A.2 B.4 C.2y2 D.4y2三、把下列各式分解因式：14、 nxy 15、 294nm716、 mn 17、 32ab 18、 2416xx19、 22)(16)(9nm； 五、解答题20、
12、如图，在一块边长 a=6.67cm 的正方形纸片中，挖去一个边长 b=3.33cm 的正方形。求纸片剩余部分的面积。21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径 45dcm，外径 75Dc，长 3lm。利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？( 取 3.14，结果保留 2 位有效数字)22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5)个等式。 2428416842() 1(3) 1(5) _xxxxx经典二：因式分解小结知识总结归纳因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占ldD8有重要的地位和作用，在其它学科中也
13、有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7. 因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提” 、二“公” 、三“分” 、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配
14、方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；下面我们一起来回顾本章所学的内容。1. 通过基本思路达到分解多项式的目的例 1. 分解因式 xx54321分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把 分别看成一组，此xx54321和时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把 ， ， 分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解一：原式 ()()xx54321xx322211()()解二：原式= ()543xx2422111()()()()(2. 通过变形达到分解的目的例 1. 分解因式 x324解一：将 拆成 ，则有2原 式 xx3221()()()
15、9解二：将常数 拆成 ，则有 413原 式 xxx322141()()()3. 在证明题中的应用例：求证：多项式 的值一定是非负数()xx24102分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。证明： ()xx24102()(xx371075145622设 ，则y原 式无 论 取 何 值 都 有 的 值 一 定 是 非 负 数() ()()()yyyxx1460816422224. 因式分解中的转化思想例：分解因式： ()()()abcabc333分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察 a+b，b+c 与 a+2b+c
16、的关系，努力寻找一种代换的方法。解：设 a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B原 式 ()()()ABABabcabc3322332说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。10中考点拨在 中，三边 a,b,c 满足 求证：ABCabcabc221610acb21. 若 x 为任意整数，求证： 的值不大于 100。()()7342xx2. 将 aa222 221 674()()分 解 因 式 ， 并 用 分 解 结 果 计 算 。一、填空：（30 分）1、若 是完全平方式，则 的值等于_。16)3(2xmx m2、 则 =_ =_3、 与 的公因式是2nn23yx614、若 = ，则 m=_，n=_。nmyx)(422yx5、在多项式 中，可以用平方差公式分解因式的2351有_ ，其结果是 _。6、若 是完全平方式，则 m=_。7、6)3(2xmx _)(2(_)2 xxx8、已知 则,012504x ._206x
