1、1直线与椭圆的位置关系 （教学案例） 一、教学目标1.理解直线与椭圆的各种位置关系，能利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系；2.掌握和运用直线被椭圆所截得的弦长公式；3.初步掌握与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧；4.进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想.二、重点难点利用“数”与“形”的结合，利用方程解决直线与椭圆的位置关系和有关弦长等问题.三、教学方法 导学讨论式，多媒体课件辅助教学.四、教学过程（一）设置情境 导入新课在初中已经研究过直线与圆的各种位置关系，通常用圆心到直线的距离的变化来判断直线与圆的各种不同的位置关系.但这种方法能用
2、于直线与椭圆的位置关系的讨论吗？不能！那么怎么办？将两个方程联立，转化为一个关于 x (有时也可以转化为关于 y)的一元二次方程来研究、讨论.而我们对一元二次方程是比较熟悉的，那么今天就是用熟悉的“武器”来研究、讨论、解决陌生的直线与椭圆的位置关系及其有关问题.（二）探索研究问题 1： 当实数 m 分别取何值时，直线 l：y =x+m 与椭圆 9x2+16y2=144 相交、相切、相离？分析：将直线和椭圆的方程联立，得关于 x 的一元二次方程 25x2+32mx+16m2-144=0，=576(25- m 2)，当(1)0，即 -55，时，直线 l 与椭圆相离.将曲线位置关系的研究的问题转化为
3、方程根的讨论的问题，这是本节课的核心。在不同的范围内取值时，决定了直线与椭圆的不同的位置关系，体现了量变到质变的哲学思想。问题 2： 过椭圆 内一点 M(2，1)作椭圆的弦，点 M 恰为该弦的中点，1462yx求该弦所在直线 l 的方程(如图 )。2分析一：设 l：y-1=k(x -2)交椭圆于点 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)，将直线方程代入椭圆方程化为 x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)-16=0. 则由韦达定理得，故所求直线方程为 x+2y-4=0.这个方法是最基本、最常规、最通用，也是最重要的方法，必须熟练掌握.韦达定理在这里发挥出很大的作用，以后我们还可以发现它的更大
4、的作用.知识就是要做到前后连贯，并组成一个有机的整体.分析二：同上所设，因为点 A、B 都在椭圆上，则得16421yx2经观察知这两个式子除了字母的下标不同外，其余都相同，将两式相减，看能得到什么结果：(x1+x2) (x1-x2)+4(y1+y2) (y1-y2)=0可以知道式中的 x1+ x2=4，y 1+y2=2，那么得 4 (x1-x2)+8 (y1-y2)=0.根据上式能得到什么呢？得到直线 l 的斜率，则.、两式被称为同构式，就是除了字母的下标不同外，其余的结构都相同.第一次用同构式来解题，觉得非常新颖和奇妙，甚至觉得不可思议，怎么想起来的呢？这是探索尝试的结果.可是当你掌握了这个
5、方法，并熟练地解决了几道题后，你就会觉得不新鲜了.许多技能技巧都是这样，一个生，二回熟，熟能生巧嘛！分析三：设 A(x，y) ，则得 x2+4y2=16 又 M(2，1) 是 AB 的中点，所以 B(4-x，2-y) ，又点 B 也在椭圆上，则得 (4-x)2+4(2-y)2=16 、两式当然不是同构式，怎么办？回顾在研究求相交两圆的公共弦所在直线方程时，用过什么方法，那么在这里能不能用呢？大胆尝试！-化得 没有想到在圆中曾用过的技巧在这里又发挥了它的威力。分析四：椭圆的上顶点和右顶点分别是(0，2) 、(4，0)，M(2，1)恰为连结这两点的线AOBxlyM3段的中点，故所求直线即为连结这两
6、点的直线由巧妙的发现得到巧妙的解法.虽然这里有一定的偶然性，但这是一种机遇，解数学题时若发现和利用题中的某些隐含条件，充分题目给的机遇，可使解答大大简捷.不过，这到底不是一种通用的常规解法. 问题 3 ： 椭圆 C 的焦点分别为 F1(-2，0) 、F 2(2，0)，椭圆 E 以 C 的焦点为焦点，且过直线 x+y-9=0 上的一点 P，当椭圆 E 的长轴最短时，求椭圆 E 的方程.分析一：如图，在直线 l 上求一点 P，使 P 到直线 l 外的两个已知点 A、B 的距离之和最短.在初中时解过此题，作点 B 关于直线 l 的对称的点 C，连 AC 交l 于点 P，则 P 为所求之点，即 P 到
7、 A、B 两点的距离之和最短.利用上面的结论，即可得椭圆 E 的方程为 .17285yx贮存在脑中的初中知识在这里显示出它的巨大作用.分析二：由已知可设椭圆 E： .142ayx与直线 l 的方程联立，化得关于 x 的一元二次方程，由=0 得解当椭圆 E 与直线 l 相切时，椭圆 E 的长轴最长，故得上述解法.问题 4： 若椭圆 ax2+by2=1(a0，b0)与直线 l：x+y=1 交于 A、B 两点，M 是 AB 的中点，直线 OM 的斜率为 2，且 OAOB(O 为原点)，求椭圆的方程. 分析：欲求椭圆的方程，只要求出 a、b 的值，构建关于 a、b 的方程组是解决问题的关键.为此，设
8、A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)，则 M .)2,(11yxOM 所在直线为 y=2x，与直线 AB 的交点为 ，由椭圆与直线 l 的方程消去 y 得)3,(a+b)x2-2bx+b-1=0，则由韦达定理得 1baAPBlC4再设法求得关于 a、b 的一个方程，由已知得 x1x2+y1y2=0.0OBA再由韦达定理得 a+b=2 解、可得 ，则所求椭圆方程为 .32,4342在解析几何问题的解答过程中，往往有比较麻烦的计算，不应该被这种“简单的复杂计算”挡住了我们的去路，这也是对我们意志品质的考验和锻炼.问题 4 的变式 ： 将直线 OM 的斜率改变为 ，将条件“OAOB”改为“弦 A
9、B2的长|AB| 为 ”，求椭圆的方程 .2分析一：由弦长公式得关于 a、b 的一个方程 ，22ba再由已知得另一个关于 a、b 的一个方程 .b解此方程组可得所求椭圆方程为 .1321yx分析二：因为 M 是 AB 的中点，那么|AM|=|BM|= .又点 A、B 都在直线 l 上，所以得 A 、B .)2,1()2,3(代入椭圆方程即可得解.（三）课堂练习 苏教版课课练P.103 的 T2、T 3.（四）提炼总结1.解决椭圆与直线的位置关系的问题时，一般是将曲线问题转化为方程或方程组的问题，从而以“数”为工具解决“形”的问题，这种“数”与“形”之间的互相转换是多种数学思想的充分体现；2.在
10、解决有关问题时，首先要努力设法运用常规的方法，即“通性、通法” ，这是学习数学的一条最重要的准则，所以必须熟练掌握有关的基础知识和基本技能，并努力做到融会贯通和灵活运用；3.解决这类问题并不需要多么高的智商，只要基础比较扎实，再加上个人的良好的个性品质，就能做到无往而不胜.（五）作业布置 苏教版课课练P.103 的 T9、T 10.（六）板书设计直线与椭圆5一、直线和椭圆的位置关系二、探索研究 三、提炼总结 问题 1 问题 2 问题 3 变式题练习题教学后记：通过本节课的教学，我深刻感受到一份高质量的教学设计可以使一节课事半功倍，教师讲的轻松；学生学得愉快。而这一切都得益于新的教学理念：在民主、平等的课堂气氛中，师生互促、互动，学生集思广益，攻克一个个数学堡垒；本节课的四个问题的各种解法，完全是由学生各自提出并由集体加以调整、矫正、完善的。教者仅仅是“讨论会”秩序的维持者。良性循环形成之后，主动发言权越是放给学生，他（她）们发言之前越是深思熟虑，比如问题 4 中的利用向量解决垂直问题由班中一位同学提出只后，问他为什么不用斜率来处理，他回答：“可以避免讨论” 。令全班同学都拍掌叫好。可见：民主、平等、互促、互动的课堂是培养学生创新能力的源泉。
