1、第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程一、授课课题：2.1 椭 圆二、教学目标（三维目标）：1、知识与技能：理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法 2、过程与方法: 进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。3、情感、态度与价值观: 通过运用椭圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。三、教学重点: 椭圆的标准方程四、教学难点: 会根据不同的已知条件，利用待定系数法求椭圆的标准方程。五
2、、教学方法：尝试，探究六、教学手段(教学用具)： 课件 七、课时安排:一课时八、学情分析：教学过程 二次备课一 .课题导入当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时，截口曲线是椭圆，再观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起探究 P41页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条（约 10cm 长，两端各结一个套） ，教师准备无弹性细绳子
3、一条（约 60cm，一端结个套，另一端是活动的） ，图钉两个） 当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？ 二 .讲授新课（i）由上述探究过程容易得到椭圆的定义板书把平面内与两个定点 ， 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹1F2 12F叫做椭圆（ellipse） 其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距即当动点设为 时，椭圆即为点集 MP12|MFa（ii）椭圆标准方程的推导过程提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系无理
4、方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理设参量 的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、 的关系有明显的几b ,abc何意义类比：写出焦点在 轴上，中心在原点的椭圆的标准方程 y 210yxba（iii）例题讲解与引申例 1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ， ，并且经过点 ，求它2,0,53,2的标准方程分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出 引导学生用其他方,abc法来解另解：设椭圆的标准方程为 ，因点 在椭圆上，210xyab53,2则 2591046aab例 2 如图，在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ，24xyPxPD为垂足当点 在圆上运动时
5、，线段 的中点 的轨迹是什么？DPDM分析：点 在圆 上运动，由点 移动引起点 的运动，则称点 是点2 M的伴随点，因点 为线段 的中点，则点 的坐标可由点 来表示，从而能求点M的轨迹方程引申：设定点 ， 是椭圆 上动点，求线段 中点 的轨迹方6,2AP2159xyAP程解法剖析：（代入法求伴随轨迹）设 ， ；（点与伴随点的关,Mxy1,系） 为线段 的中点， ；（代入已知轨迹求出伴随轨迹） ，MAP126xy，点 的轨迹方程为 ；伴随轨迹表示的范围2159xy2231594y例 3 如图，设 ， 的坐标分别为 ， 直线 ， 相交于点 ，AB,0,AMB且它们的斜率之积为 ，求点 的轨迹方程4
6、9M分析：若设点 ，则直线 ， 的斜率就可以用含 的式子表示，由,xyAB,xy于直线 ， 的斜率之积是 ，因此，可以求出 之间的关系式，即得到点AMB,的轨迹方程解法剖析：设点 ，则 ， ；,xy5AMykx5BMykx代入点 的集合有 ，化简即可得点 的轨迹方程459引申：如图，设 的两个顶点 ， ，顶点 在移动，且BC,0a,C，且 ，试求动点 的轨迹方程ACBk0k引申目的有两点：让学生明白题目涉及问题的一般情形；当 值在变化时，k线段 的角色也是从椭圆的长轴圆的直径椭圆的短轴三 .随堂练习第 45 页 1、2、3、4、 四 .课堂小结 1椭圆的定义，应注意什 么问题？2求椭圆的标准方
7、程，应注意什么问题五 .板书设计：六 .布置作业七 .教学反思（手写）一、授课课题：2.1.2 椭圆的几何性质二、教学目标（三维目标）：1、知识与技能：(1)通过对椭圆标准方程的讨 论,理解并掌握椭圆的几何性质 ;(2)能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图;(3)培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备2、过程与方法: 使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力3、情感、态度与价值观: 培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育三、教学重点: 椭圆的几何性质. 通过几何性质求椭圆方
8、程并画图四、教学难点: 椭圆离心率的概念的理解. 新 疆学 案王 新 敞五、教学方法：尝试，探究六、教学手段(教学用具)：课件 七、课时安排:一课时八、学情分析：教学过程 二次备课一 .课题导入复习：1.椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距.2.椭圆的标准方程.二 .讲授新课（一） 通过提出问题、分析问题、解决问题激发学生的学习兴趣,在掌握新知识的同时培养能力.在解析几何里，是利用曲线的方程来研究曲线的几何性质的，我们现在利用焦点在x 轴上的椭圆的标准方程来研究其几何性质.来源:Z,xx,k.Com已知椭圆的标准方程为： )0(12bayx1.范围我们要研究椭圆在直角坐标系中的范围，就是研究椭圆在
9、哪个区域里，只要讨论方程中 x，y 的范围就知道了.问题 1 方程中 x、y 的取值范围是什么? 由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式 1, 12a2by即 x2a 2, y2b 2所以 |x|a， |y|b即 axa, byb这说明椭圆位于直线 xa, yb 所围成的矩形里。2.对称性复习关于 x 轴，y 轴，原点 对称的点的坐标之间的关系：点（x,y）关于 x 轴对称的点的坐标为(x,y) ；点（x,y）关于 y 轴对称的点的坐标为(x, y)；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为(x,y) ；问题 2 在椭圆的标准方程中以y 代 y以x 代 x同时以x 代 x、以y
10、 代 y,你有什么发现?（1） 在曲线的方程里，如果以y 代 y 方程不变，那么当点 P(x,y)在曲线上时，它关于 x 的轴对称点 P(x,y) 也在曲线上，所以曲线关于 x 轴对称。（2） 如果以x 代 x 方程方程不变，那么说明曲线的对称性怎样呢？曲线关于 y 轴对称。（3） 如果同时以x 代 x、以y 代 y，方程不变，这时曲线又关于什么对称呢？曲线关于原点对称。 归纳提问：从上面三种情况看出，椭圆具有怎样的对称性？椭圆关于 x 轴，y 轴和原点都是对称的。这时，椭圆的对称轴是什么？坐标轴椭圆的对称中心是什么？原点 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。3.顶点研究曲线的上的某些特殊点的位置，
11、可以确定曲线的位置。要确定曲线在坐标系中的位置，常常需要求出曲线与 x 轴，y 轴的交点坐标.问题 3 怎样求曲线与 x 轴、y 轴的交点?在椭圆 的标准方程里，令 x=0,得 y=b。这说明了 B1(0,b),B 2(0,b)是椭圆与 y 轴的两个交点。令 y=0,得 x=a。这说明了 A1(a,0),A 2(a,0)是椭圆与 x 轴的两个交点。因为 x 轴，y 轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的 顶点。线段 A1A2,B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴。它们的长|A 1A2|=2a,|B1B2|=2b (a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长)观察
12、图形，由椭圆的对称性可知，椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等，且等于长半 轴长，即 |B 1F1|=|B1F2|=|B2F1|=|B2F2|= a在 R tOB 2F2 中，由勾股定理有 来源:Zxxk.Com|OF2|2=|B2F2|2|OB 2|2 ，即 c2a 2b 2这就是在前面一节里，我们令 a2c 2b 2 的几何意义。4.离心率定义：椭圆的焦距与长轴长的比 e ，叫做椭圆的离心率。因为 ac0,所以 0F 1F2）的动点 P 的轨迹叫椭圆.下面，我们来做这样一个实验：（同学分组实验：利用拉链演示双曲线的生成过程，导入课题）师：通过这个实验，我们发现笔尖画出了这样两条特殊的曲线，这
13、是一类什么曲线呢？这就是我们今天要研究的“双曲线及其标准方程”二 .讲授新课二、定义探究师：我们知道满足几何条件PF 1+PF 2=2a(常数)的动点 P 的轨迹是椭圆，那双曲线应该是点 P 满足什么几何条件的轨迹呢？（引导学生从刚才的演示实验中寻找答案：PF 1-PF 2=2a 或PF 2-PF 1=2a）师：是不是有以上规律呢？为了更直观的体现我们刚才的实验过程，下面我们来验证一下.(播放双曲线 flash 生成动画，验证几何条件)师：实验证明当点 P 满足以上几何条件时，我们得到的轨迹确实是双曲线，如果PF 1PF 2,则得到曲线的右支，如果PF 2PF 1则得到曲线的左支，能否用一个等
14、式将两几何条件统一起来呢？（引导学生思考，此时只需在PF 1-PF 2=2a 左边加上绝对值）师：作为此时差的绝对值 2a 与F 1F2大小关系怎样？（结合图象，学生分析：应该有 2aF 1F2）（在上述讨论的基础上引导学生类比椭圆定义概括出双曲线的定义，教师板书）三、方程推导师：平面解析几何的基本思想是利用代数的方法来研究几何问题，借助于曲线的方程来揭示曲线的性质.下面我们来探究双曲线的方程.首先请回忆椭圆的标准方程是什么？（学生口述教师板书椭圆的标准方程）师：椭圆的标准方程我们是借助于椭圆的定义用坐标法建立起来的，在此我们完全可以仿效求椭圆标准方程的方法探求双曲线方程.(学生在草稿纸上试着
15、完成，教师板书方程的推导过程)建立直角坐标系，设双曲线上任意一点的坐标为 P(x、y),F 1F2=2c，并设 F1(-c,0),F2(c,0).由两点间距离公式，得PF 1= ,PF 2=2)(ycx2)(ycx由双曲线定义，得PF 1-PF 2=2a 即- =2a)(ycx2)(ycx化简方程=2a+2)( 2)(两边平方，得(x+c)2+y2=4a24a +(x-c)2+y22)(ycx化简得：cx-a2= 2)(两边再平方，整理得(c2-a2)x2-a2y2=a2 (c2-a2)(为使方程简化，更为对称和谐起见)由 2c-2a0，即 ca，所以 c2-a20设 c2-a2=b2 (b0
16、)，代入上式，得b2x2-a2y2=a2b2也就是x2/a2-y2/b2=1 师：利用椭圆标准方程推导类比地推导出双曲线的标准方程，它同样具有方程简单、对称，具有和谐美的特点，便于我们今后研究双曲线的有关性质.这一简化的方程称为双曲线的标准方程.结合图形再一次理解方程中 a0，b0 的条件是不可缺少的.b 的选取不仅使方程得到了简化、和谐，也有特殊的几何意义.具有 c2=a2+b2，区别其与椭圆中 a2=b2+c2的不同之处.师：与椭圆方程一样，如果双曲线的焦点在 y 轴上，这时双曲线的标准方程形式又怎样呢?（引导学生类比椭圆得到焦点在 y 轴上时双曲线的标准方程：y 2/a2-x2/b2=1 此方程也是双曲线的标准方程，板书标准方程）师：如何记忆这两个标准方程?（师生共析：双曲线的方程右边为 1，左边是两个完全平方项，符号一正一负，为正的项相应的坐标轴为焦点所在坐标轴.用一句话概括“以正负定焦点” ）四、巩固内化例：已知两定点 ，求到这两点的距离之差的绝对值为 8 的点的轨迹方程。)0,5(,21F三 .随堂练习（1）若两定点为 则轨迹方程如何？)5,0(,21（2）若两定点为 则轨迹方程如何？F四 .课堂小结
