1、- 1 -第一讲 观察法广安岳池 姚文国在解答数学题时，第一步是观察。观察是基础，是发现问题、解决问题的首要步骤。小学数学教材，特别重视培养观察力，把培养观察力作为开发与培养学生智力的第一步。观察法，是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点，条件与结论之间的关系，题目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中的数量关系，把题目解答出来的一种解题方法。观察要有次序，要看得仔细、看得真切，在观察中要动脑，要想出道理、找出规律。*例 1（适于一年级程度）此题是九年义务教育六年制小学教科书数学第二册，第 11 页中的一道思考题。书中除图 1-1 的图形外没有文字说明。这道题旨在引导儿童观察、思考，初步培养
2、他们的观察能力。这时儿童已经学过 20 以内的加减法，基于他们已有的知识，能够判断本题的意思是：在右边大正方形内的小方格中填入数字后，使大正方形中的每一横行，每一竖列，以及两条对角线上三个数字的和，都等于左边小正方形中的数字 18。实质上，这是一种幻方，或者说是一种方阵。解：现在通过观察、思考，看小方格中应填入什么数字。从横中行10+6+=18 会想到，18-10-6=2，在横中行右面的小方格中应填入 2（图 1-2）。从竖右列 7+2+=18（图 1-2）会想到，18-7-2=9，在竖右列下面的小方格中应填入 9（图 1-3）。- 2 -从正方形对角线上的 9+6+=18（图 1-3）会想到
3、，18-9-6=3，在大正方形左上角的小方格中应填入 3（图 1-4）。从正方形对角线上的 7+6+=18（图 1-3）会想到，18-7-6=5，在大正方形左下角的小方格中应填入 5（图 1-4）。从横上行 3+7=18（图 1-4）会想到，18-3-7=8，在横上行中间的小方格中应填入 8（图 1-5）。又从横下行 5+9=18（图 1-4）会想到，18-5-9=4，在横下行中间的小方格中应填入 4（图 1-5）。图 1-5 是填完数字后的幻方。例 2 看每一行的前三个数，想一想接下去应该填什么数。（适于二年级程度）6、16、26、_、_、_、_。9、18、27、_、_、_、_。80、73、
4、66、_、_、_、_。解：观察 6、16、26 这三个数可发现，6、16、26 的排列规律是：16 比 6大 10，26 比 16 大 10，即后面的每一个数都比它前面的那个数大 10。观察 9、18、27 这三个数可发现，9、18、27 的排列规律是：18 比 9 大9，27 比 18 大 9，即后面的每一个数都比它前面的那个数大 9。- 3 -观察 80、73、66 这三个数可发现，80、73、66 的排列规律是：73 比 80小 7，66 比 73 小 7，即后面的每一个数都比它前面的那个数小 7。这样可得到本题的答案是：6、16、26、36、46、56、66。9、18、27、36、45
5、、54、63。80、73、66、59、52、45、38。例 3 将 19 这九个数字填入图 1-6 的方框中，使图中所有的不等号均成立。（适于三年级程度）解：仔细观察图中不等号及方框的排列规律可发现：只有中心的那个方框中的数小于周围的四个数，看来在中心的方框中应填入最小的数 1。再看它周围的方框和不等号，只有左下角的那个方框中的数大于相邻的两个方框中的数，其它方框中的数都是一个比一个大，而且方框中的数是按顺时针方向排列越来越小。所以，在左下角的那个方框中应填 9，在它右邻的方框中应填 2，在 2 右面的方框中填 3，在 3 上面的方框中填 4，以后依次填 5、6、7、8。图 1-7 是填完数字
6、的图形。例 4 从一个长方形上剪去一个角后，它还剩下几个角？（适于三年级程度）解：此题不少学生不加思考就回答：“一个长方形有四个角，剪去一个角剩下三个角。”我们认真观察一下，从一个长方形的纸上剪去一个角，都怎么剪？都是什么情况？（1）从一个角的顶点向对角的顶点剪去一个角，剩下三个角（图 1-8）。- 4 -（2）从一个角的顶点向对边上任意一点剪去一个角，剩下四个角（图 1-9）。（3）从一个边上任意一点向邻边上任意一点剪去一个角，剩下五个角（图 1-10）。例 5 甲、乙两个人面对面地坐着，两个人中间放着一个三位数。这个三位数的每个数字都相同，并且两人中一个人看到的这个数比另一个人看到的这个数
7、大一半，这个数是多少？（适于三年级程度）解：首先要确定这个三位数一定是用阿拉伯数字表示的，不然就没法考虑了。甲看到的数与乙看到的数不同，这就是说，这个三位数正看、倒看都表示数。在阿拉伯数字中，只有 0、1、6、8、9 这五个数字正看、倒看都表示数。这个三位数在正看、倒看时，表示的数值不同，显然这个三位数不能是000，也不能是 111 和 888，只可能是 666 或 999。如果这个数是 666，当其中一个人看到的是 666 时，另一个人看到的一定是 999，999-666=333，333 正好是 666 的一半。所以这个数是 666，也可以是999。*例 6 1966、1976、1986、1
8、996、2006 这五个数的总和是多少？（适于三年级程度）解：这道题可以有多种解法，把五个数直接相加，虽然可以求出正确答案，但因数字大，计算起来容易出错。如果仔细观察这五个数可发现，第一个数是 1966，第二个数比它大 10，第三个数比它大 20，第四个数比它大 30，第五个数比它大 40。因此，这道题可以用下面的方法计算：1966+1976+1986+1996+2006=19665+10（1+2+3+4）=9830+100=9930- 5 -这五个数还有另一个特点：中间的数是 1986，第一个数 1966 比中间的数1986 小 20，最后一个数 2006 比中间的数 1986 大 20，1
9、966 和 2006 这两个数的平均数是 1986。1976 和 1996 的平均数也是 1986。这样，中间的数 1986 是这五个数的平均数。所以，这道题还可以用下面的方法计算：1966+1976+1986+1996+2006=19865=9930例 7 你能从 40025=（4004）（254）=4004100=16 中得到启发，很快算出（1）60025（2）90025（3）140025（4）180025（5）725025 的得数吗？（适于四年级程度）解：我们仔细观察一下算式：40025=（4004）（254）=4004100=16不难看出，原来的被除数和除数都乘以 4，目的是将除数变成
10、 1 后面带有0 的整百数。这样做的根据是“被除数和除数都乘以一个相同的数（零除外），商不变”。进行这种变化的好处就是当除数变成了 1 后面带有 0 的整百数以后，就可以很快求出商。按照这个规律，可迅速算出下列除法的商。（1）60025 （2）90025=（6004）（254） =（9004）（254）=6004100 =9004100=24 =36（3）140025 （4）180025=（14004）（254） =（18004）（254）=14004100 =18004100=56 =72（5）725025=（72504）（254）- 6 -=29000100=290*例 8 把 11000
11、 的数字如图 1-11 那样排列，再如图中那样用一个长方形框框出六个数，这六个数的和是 87。如果用同样的方法（横着三个数，竖着两个数）框出的六个数的和是 837，这六个数都是多少？（适于五年级程度）解：（1）观察框内的六个数可知：第二个数比第一个数大 1，第三个数比第一个数大 2，第四个数比第一个数大 7，第五个数比第一个数大 8，第六个数比第一个数大 9。假定不知道这几个数，而知道上面观察的结果，以及框内六个数的和是87，要求出这几个数，就要先求出六个数中的第一个数：（87-1-2-7-8-9）6606=10求出第一个数是 10，往下的各数也就不难求了。因为用同样的方法框出的六个数之和是
12、837，这六个数之中后面的五个数也一定分别比第一个数大 1、2、7、8、9，所以，这六个数中的第一个数是：（837-1-2-7-8-9）68106=135第二个数是：135+1=136第三个数是：135+2=137第四个数是：135+7=142- 7 -第五个数是：135+8=143第六个数是：135+9=144答略。（2）观察框内的六个数可知：上、下两数之差都是 7；方框中间坚行的 11 和 18，分别是上横行与下横行三个数的中间数。11=（10+11+12）318=（17+18+19）3所以上横行与下横行两个中间数的和是：87329由此可得，和是 837 的六个数中，横向排列的上、下两行两
13、个中间数的和是：8373279因为上、下两个数之差是 7，所以假定上面的数是 x，则下面的数是 x+7。x+（x+7）=2792x+7=2792x=279-7=272x=2722=136x+7=136+7=143因为上一横行中间的数是 136，所以，第一个数是：136-1=135第三个数是：135+2=137因为下一横行中间的数是 143，所以，- 8 -第四个数是：143-1=142第六个数是：142+2=144答略。*例 9 有一个长方体木块，锯去一个顶点后还有几个顶点？（适于五年级程度）解：（1）锯去一个顶点（图 1-12），因为正方体原来有 8 个顶点，锯去一个顶点后，增加了三个顶点，
14、所以，8-1+3=10即锯去一个顶点后还有 10 个顶点。（2）如果锯开的截面通过长方体的一个顶点，则剩下的顶点是 8-1+2=9（个）（图 1-13）。（3）如果锯开的截面通过长方体的两个顶点，则剩下的顶点是 8-1+1=8（个）（图 1-14）。（4）如果锯开的截面通过长方体的三个顶点，则剩下的顶点是 8-1=7（个）（图 1-15）。例 10 将高都是 1 米，底面半径分别是 1.5 米、1 米和 0.5 米的三个圆柱组成一个物体（图 1-16），求这个物体的表面积 S。（适于六年级程度）解：我们知道，底面半径为 ，高为 h 的圆柱体的表面积是2 2+2h。- 9 -本题的物体由三个圆柱
15、组成。如果分别求出三个圆柱的表面积，再把三个圆柱的表面积加在一起，然后减去重叠部分的面积，才能得到这个物体的表面积，这种计算方法很麻烦。这是以一般的观察方法去解题。如果我们改变观察的方法，从这个物体的正上方向下俯视这个物体，会看到这个物体上面的面积就像图 1-17 那样。这三个圆的面积，就是底面半径是 1.5米的那个圆柱的底面积。所以，这个物体的表面积，就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。（21.5 2+21.51）+（211）+（20.51）=（4.5+3）+2+=7.5+3=10.5=10.53.14=32.97（平方米）答略。*例 11 如图 1-18 所示，某铸件的横截面是扇形，半径是 15 厘米，圆心角是 72，铸件长 20 厘米。求它的表面积和体积。（适于六年级程度）解：遇到这样的题目，不但要注意计算的技巧，还要注意观察的全面性，不可漏掉某一侧面。图 1-18 表面积中的一个长方形和一个扇形就容易被漏掉，因而在解题时要仔细。求表面积的方法 1：- 10 -3.14452+600+1203.14=3.1490+3.14120+600=3.14（90+120）+600=659.4+600=1259.4（平方厘米）求表面积的方法 2：=3.14210+600=659.4+600=1259.4（平方厘米）铸件的体积：
