1、12.1.2 椭圆的简单几何性质（第一课时）教学目标（一）教学知识点椭圆的范围、对称性、对称轴、对称中心、离心率及顶点.（二）能力训练要求1.使学生了解并掌握椭圆的范围.2 使学生掌握椭圆的对称性，明确标准方程所表示的椭圆的对称轴、对称中心.3.使学生掌握椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长以及 a、 b、 c 的几何意义，明确标准方程所表示的椭圆的截距.4.使学生掌握离心率的定义及其几何意义.教学重点椭圆的简单几何性质.教学难点椭圆的简单几何性质.（这是第一次用代数的方法研究几何图形的性质的）教学方法师生共同讨论法.通过师生的共同讨论研究，学生的亲身实践体验，使学生明确椭圆的几何性质的研究方法，加
2、强对性质的理解，掌握椭圆的几何性质.教学过程.课题导入师前面，我们研究讨论椭圆的标准方程 ， （焦点在 x 轴上）或)0(12bayx（焦点在 y 轴上） （板书）)0(12baxy那么我们研究椭圆的标准方程有什么实际作用呢？同学们知道，2008 年的 8 月，中国为世界奉献了一个空前盛况的奥运会，一个多月后的 9 月 25 日，世界的目光再次投向中国，同学们知道是什么事吗？（出示神七发射画片并解说）：2008 年 9 月 25 日 21 时， “神舟七号” 载人飞船顺利升空，实现多人多天飞行和宇航员太空行走等多项先进技术，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请问： “神舟七号 ”载人飞船的运
3、行轨道是什么？对，是椭圆。据有关资料报道，飞船发射升空后，进入的是以地球的地心为一个焦点，距地球表面近2地点高度约公里、远地点约公里的椭圆轨道。我们在前几节课刚刚学习了椭圆的标准方程，请同学们回忆椭圆是标准方程是怎样的？它们有几种形式？问题 1：我们前面刚刚学习了椭圆的标准方程，同学们还记得椭圆的标准方程吗？它有几种形式（板书） )0(12bayx )0(12baxy（焦点在 轴上） （焦点在 轴上）问题 2：你想求出神七在宇宙中运行的椭圆轨道的标准方程吗？.讲授新课（板书标题）椭圆的几何性质首先我们进入本节课的第一个环节一、几何性质师我们不妨对焦点在 x 轴的椭圆的标准方程.（板书） (a
4、b0)进行讨论.12yax在解析几何里，我们常常是从两个方面来研究曲线的几何性质：一是由曲线的图像去“看”曲线的几何特征（以形辅数） ，同时又由曲线的方程来“证”明它（以数助形） 。我们今天也用这种方法来研究椭圆的几何性质，1.范围：师所谓范围，就是指椭圆图象上的所有的点在什么约束范围内，也就是说椭圆上所有的点的纵、横坐标应该在哪个范围内取值。那么，你能从椭圆的图形上看出椭圆上所有的点所在的范围吗？师请看，如果我们过椭圆与 x 轴的两个交点作两条平行于 y 轴的直线，再过椭圆与 y轴的两个交点作两条平行于 x 的直线（出示幻灯片） 。此时，你能说出椭圆的范围吗？生在一个矩形中师这两组平行线所在
5、的直线方程是多少？能从椭圆的标准方程中找出它来吗？生方程中两个非负数的和等于 1，所以，椭圆上点的坐标（ x,y）适合不等式：1, 12ax2b3即： x2 a2,y2 b2| x| a,|y| b这说明椭圆位于直线 x=a,y=b 所围成的矩形里. 结论（板书）椭圆的范围是-axa; -byb师很好！请大家思考：对函数性质的研究常常是根据函数的解析来讨论的，那么我们能否从函数的思想出发，对椭圆的范围进行分析呢？生（师点拨、提示）椭圆的标准方程可化为两个函数 y= 、y=-2xab，对它们的定义域、值域分别进行讨论可得-axa,-byb,即椭圆位于直线2xabx=a,y=b 所围成的矩形里.师
6、将由函数的解析式研究函数的性质与由椭圆的方程研究椭圆的性质结合起来学习，有助于我们理解知识与知识之间的本质联系，对我们的进一步学习是大有益处的.2.对称性：师你能从椭圆的图形上看出椭圆的对称性吗？生关于 轴、 轴成轴对称；关于原点成中心对称。xy师我们怎样由椭圆的标准方程来研究椭圆的对称性？想一想，我们前面在函数中是怎样研究函数图像的对称性的？师在函数里，我们讨论过对称性，如果以如果以- x 代 x 方程不变，那么曲线关于 y轴对称，同理，以- y 代 y 方程不变，那么曲线关于 x 轴对称，如果同时以- x 代 x，以- y 代y 方程不变，那么曲线关于原点对称.师我们来看椭圆的标准方程，以
7、- x 代 x，或以- y 代 y 或同时以- x 代 x,-y 代 y，方程怎样改变？生没有改变.师所以椭圆关于 x 轴、 y 轴及原点都是对称的，这时坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.结论（板书）坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.3.顶点：师什么叫做椭圆的顶点？椭圆与它的对称轴的交点叫做椭圆的顶点.（板书）师由刚才我们所学的第二条性质，标准方程下的椭圆的对称轴是哪个？4生坐标轴师那么标准方程下的椭圆的顶点就在坐标轴上。你能从椭圆的图形上看出椭圆有几个顶点？他们分别在什么地方？师 （出示幻灯提示）椭圆有四个顶点，其中
8、，在 x 轴有两个顶点，我们把它命名为，在 y 轴有两个顶点，我们把它命名为21A、 21B、师想一想，怎样由椭圆的标准方程求得椭圆的顶点坐标？（再提示：直线方程 与 x 轴的交点坐标是怎样求的？与 y 轴的坐标又是y怎样求的？）生在椭圆的标准方程里，令 y=0，得 可得 A1（ a,0） 、A 2(a,0)是椭圆在 xa轴上的两个顶点， ，同理. 令 x=0 得 y=b,所以得到：B 1（0, b） 、B 2（0, b）是椭圆在 y 轴的两个顶点结论（板书）椭圆的四个顶点分别是 A1(a,0)A2(-a，0)、B 1（0，b） 、B 2（0，b） 。师线段 A1A2、 B1B2分别叫做椭圆的
9、长轴和短轴.它们的长分别是 2a 和 2b ,其中 a和 b 分别叫椭圆的长半轴长和短半轴长.（板书）师通过以上性质，我们就知道了在椭圆的标准方程节课里我们接触到的三个基本量：a、b、c 的几何意义是 a、b、c 分别是长半轴长、短半轴长、半焦距 师请观察图形，如果我们吧短轴的一个端点与一个焦点连接起来，则短轴端点、中心、焦点构成一直角 ，显然，这个直角 的两直角边的长分别是 b 和 c，那么，它的斜边隐私多长呢？由椭圆的对称性可知，椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等，且等于长半轴长，即|B1F1|=|B2F1|=|B1F2|=|B2F2|=a所以斜边长是 a，在 Rt OB2F2中|B2F2
10、|2-|OF2|2=|OB2|2即 a2-c2= b2这就是在上节中令 a2-c2=b2的几何意义.我们把 Rt OB2F2叫做椭圆的特征三角形，请大家注意这个特征三角形，我们在后续内容中还将研究它。师现在，我们来举一个例子来说明椭圆的范围、顶点、对称性的作用。（出示幻灯）根据前面所学有关知识画出下列图形5（1） （2）1625yx 1452yx（在学生思考后教师评讲）第一步，作出坐标轴，第二步找出顶点坐标，第三步，画出范围，第四步作出一象限的图像（必要时还可以取 x 等于 1、2、3、4，求出 y 的值来描点）最后根据对称性画出其他几个象限的图像，用同样方法可作出（2）的图像。师从以上两个椭
11、圆的形状看，同为椭圆为什么有些椭圆“圆”些，有些椭圆“扁”些？是什么因素影响了椭圆的扁圆程度？我一起来研究椭圆是性质 4离心率。4.离心率师椭圆的离心率是怎样定义的？生椭圆的焦距与长轴长的比 =e,叫做椭圆的离心率.（板书）ac2师椭圆离心率 e 的范围是怎样的？生因为 a c0,所以 0 e1结论（板书）离心率 ， （0e1）师 e 既然在（0，1）变化， e 的变化又对椭圆有什么影响呢？师我们不妨用两个例子来看一看。对于（1） ，椭圆的长半轴、短半轴、半焦距 a、b、c 分别等于多少？离心1625yx率呢？生a=5, b=4, c=3；离心率 53ace师 （2） 呢？1452yx生a=5
12、, b=2, c= ；离心率 5212ace师两个的离心率那股大？生第二个大于第一个师从椭圆的图形上看，哪个椭圆更扁些？哪个椭圆更圆些？6生第二个扁些，第一个圆些。师你能得出什么结论来？生离心率越大椭圆就越扁，离心率越小，椭圆越圆。师我们可以再用一个动画展示一下椭圆的扁圆程度受离心率影响的情况。师 （4）e 与 a,b 的关系: 221abace师到此为止，我们已学习了椭圆的范围、对称性、顶点及离心率，我们把这些性质总结一下师生共同完成下表标准方程 )0(12bayx )0(12baxy图形范围 -axa,-b yb -b xb, -aya对称性 关于 x 轴、y 轴、原点对称顶点坐标 （ a
13、,0）(0, b) (b,0),(0,a)离心率 )10(eac师 （指出）以上我们是对焦点在 x 轴上的标准椭圆的性质的总结，那么，焦点在 y轴上的椭圆呢？请同学们自己完成表的右半部分师下面我们来看看椭圆的这些几何性质的应用。二、应用（板书）师下面同学们自己来看例 1 求椭圆 的长轴长，短轴长，离心率，焦点和顶点的坐标。402516yx7师根据椭圆方程求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标时，首先应该做些什么？生首先应将椭圆的方程化成标准方程.师然后呢？师 （归纳）解决这类问题的关键是 1、将椭圆方程转化为标准方程，再求出椭圆的基本量 a、b、c、e 等；2，判断焦点的位置和长轴的位
14、置。师 （总结）解决这类问题的一般步骤是：化为标准方程，求出 a、b、c、知，判断焦点位置，回答所提问题。师想一想，为什么要判断焦点位置？哪些问题与焦点位置有关？哪些问题与焦点位置无关？解：把已知方程化成标准方程 于是1452yx3,45cba因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是 两个焦点坐标分别是，离 心 率,8,0a,四个顶点坐标分别是30F,21和0,4B,-5,A,-2121 和学生练习 1师 （提出例 2）回到我们本节课开头提出的问题如图，神舟七号宇宙飞船的运行轨道是以地心（地球的中心）F2 为一个焦点的椭圆。已知它的近地点 A（离地面最近的点）距地面 200km，远地点 B（离地面最远
15、的点）距地面346 km，并且 F2、A、B 在同一直线上，地球半径约为 6371 km.求飞船的轨道方程（精确到1 km） 。（解题过程略）学生练习 2如图所示， “嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道 I 绕月飞行，之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆形轨道绕月飞行，若用 和12c分别表示椭圆轨道 I 和的焦距，用 和 分别表示椭圆轨道 I 和2c 12a2的长轴的长，给出下列式子：8 12;ac12;ac12;ca12.ca其中正确式子的序号是 A. B. C. D.（解题略）三.课时小结本节课我们讨论了椭圆的四个简单几何性质，即范围、对称性、顶点、离心率，熟悉这些性质是我们解决计算问题、证明问题、轨迹问题及其他有关问题的基础和关键.基本性质标准方程 )0(12bayx )0(12baxy图形范围 -axa,-b yb -b xb, -aya对称性 关于 x 轴、y 轴、原点对称顶点坐标 （ a,0）(0, b) (b,0),(0,a)离心率 )10(eac四、课后作业 习题 A 2 3
