1、 1二次函数的图象和性质（培优教案）一课前训练1已知抛物线 上一部分点的横坐标 与纵坐标 的对应值2yaxbcxy如表所示，则下列说法中正确的是 。 （填写序号） 2 1 0 1 2 0 4 6 6 4 抛物线与 轴的一个交点为 ；x3，函数 的最大值为 6；2yabc抛物线的对称轴是直线 ；12x在对称轴的左侧， 随 的增大而增大。y2若二次函数 的图象如图所示，20ca则下列结论中正确的个数是( ) ； ； ； 。40bac b 8 930abcA.1 B.2 C.3 D.4二知识结构 2221204()yaxbcabyx定 义 一 般 式 ：二 次 函 数 解 析 式 顶 点 式 ：交
2、点 式 ：图 象 开 口 方 向 、 对 称 轴 、 顶 点 坐 标增 减 性 、 最 值性 质 224000aybyaxccxyCcc 开 口 方 向同 号 对 称 轴 在 轴 的 左 侧、 异 号 对 称 轴 在 轴 的 右 侧与 轴 的 交 点 个 数与 轴 交 于 正 半 轴 的 点 ，与 轴 交 于 原 点与 轴 交 于 负 半 轴 的 点 ，三题型讲练例 1已知抛物线 。2yxm写出它的开口方向、对称轴及顶点坐标；当 为何值时，抛物线的顶点在 轴上方；x过抛物线与 轴的交点 作直线 轴，交抛物线于另一点 ，AB B当 时，求此抛物线的解析式。4AOBS分析：考察配方法；欲使抛物线顶
3、点在 轴上方，必使顶点纵坐标为正；由直线 轴可知 两点的纵坐标相等，进而可以求出 值。x 、 m【解】在 中，二次项系数 ，开口向上，2ym10 20.5.对称轴是直线 ，顶点坐标为 。x5.2，欲使抛物线的顶点在 轴上方，必使顶点的纵坐标为正数，令 ，则 ，此时抛物线的顶点在 轴上方0.25 . x令 ，则 ，抛物线 与 轴交于点xy2yxmy0Am，直线 轴， 。B BA令 ，则 ，解得 ， ，2xm1021B，在 中，RtAO， ，01ABxA y xO 1x122 ， ，142AOBS142m8抛物线的解析式为 或 。8yx2yx练习：1右图是二次函数 在平面直角坐标系中20abc的图
4、象，则下列结论中正确的是（填写序号） 。 ； ； ；0c 284bac2若抛物线 与 轴的一个交点的坐标为 ，则此抛物线24myxx10，与 轴的另一个交点的坐标为 。3如图，抛物线 经过点 ，与 轴交于 两点。cxy21932D， xAB、求 的值；c如图，设点 为该抛物线在 轴上方的一点，若直线 将四边形CC的面积二等分，试证明线段 被直线 平分并求此时直线ABDB的函数解析式；设点 是该抛物线在 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样PQ、 x的点 使得 ？若存在，请举例验证你的猜想；若不、 AP存在，请说明理由。 （图供选用）【解】抛物线经过点 ，932D， ， 。213c6作 于点
5、，作 于点 ，设 与 交于点BEAC FAC BDM直线 将四边形 的面积二等分，B ，即 ，ACBDS12EEF ， ，M 90M ， ，线段 被直线 平分EF BAC由知 ，抛物线的解析式为6c 216yx令 ，则 ， ， ，0y23x0A， 3，43AB ，点 是线段 的中点，DBD ， ，32Mx924My3924，设直线 的解析式为 ，ACkxb3直线 经过点 和点AC230， 3924M， ，直线 的解析式为231945kbkAC510xy存在。设抛物线的顶点为 ，06N，在 中，RtAO22364AOAB以点 为圆心、 为半径作圆，与抛物线在 轴的上方43Bx一定有交点 （即点
6、） ，连接 ，再作 的平分线QQ，交抛物线于点 ，连接 ，此时由 得PP、 S。例 2已知抛物线 与 轴交于 242yxmx120ABx， 、 ，两点，其中 且 ，与 轴交于点 。1 10yC求抛物线的解析式；能否找到直线 与抛物线交于 两点且使 轴恰好平分kbPQ、 y的面积？若能，求出 满足的条件；若不能，说明理由。CPQ、【解】令 ，则有 ，0y2420x 2413mm对于一切实数 ，抛物线与 轴恒有两个交点，x由根与系数的关系得 ， 12x124x把代入 得 ，02把代入 得 ，1218把、代入 得124xm28424m化简整理得 ，解得 ， 。90127当 时， ，与 相符；1m12
7、， x当 时， ，与 不符(舍去)2763， 抛物线的解析式为 。8y能，理由如下（如图）：假设符合题意的直线 与 轴交于点 ，kxbyD ，即 ，CDPQS12PQCxAPQx由题意知 两点必在 轴的两侧， ，即、 0PQx由 得 （*）28ykxb280xkb 一定是方程(*)的两根， ，PQ、 2PQxk2k直线 与抛物线 有两个交点ykxb2y ，即 ，解得0 2480 8b 且 为所求。8练习：1已知抛物线 与 轴分别交于 两点21ykxx120AxB， 、 ，(其中 )，则下列结论中正确的是 （只需填写序号） 。1当 时， ；当 时， ；方程2 y有两个不相等的实数根 ； ，20k
8、x 12x、 1； 。21 214kx42已知直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ；另一条02bxyxAyB抛物线的解析式为 。c12若该抛物线经过点 且抛物线的顶点 在直线 上，试确定BPbx2抛物线的解析式；过点 作直线 ，交 轴于点 ，若抛物线的对称轴经过点 ，CAxCC试确定直线 的解析式。by2例 3如图，直线 与抛物线交于点 和点 （点 在 轴上）mxy34A， By，点 是抛物线的顶点。10C，求 的值及抛物线的解析式；过线段 上的动点 （与 不重合）作 轴的垂线，与抛物线ABPB、 x交于点 ，设线段 的长为 ，点 的横坐标为 ，求 与 之Ehhx间的函数关系式并写出自变量 的
9、取值范围；x设点 是直线 与抛物线对称轴的交点，则在线段 上是否存DAB在一点 使得四边形 是平行四边形？若存在，求出此时点PDCEP的坐标；若不存在，说明理由。【解】点 在直线 上34A， mxy ， ，有直线 11yx点 是抛物线的顶点0，设所求抛物线的解析式为 2a点 在抛物线 上34A， yx ， ，所求抛物线的解析式为21a 21yx设 两点的纵坐标分别为 和 ，则：PE、 PE（其中 ）213pEhyxx03 存在，理由如下： ，欲使四边形 是平行四边形，必使DC DCPEDC点 在直线 上且 ，令 ，则12y ， ，12， 20yh令 ，即 ，解得 (不合题意，舍去)，h23x1
10、x2x点 在直线 上，令 ，则 ，P1y3y2P，当点 的坐标为 时，四边形 是平行四边形。， DCE练习：1已知抛物线 。2yxm若抛物线与 轴的交点 分别在原点的两侧且 ，求 的值；AB、 5ABm设抛物线与 轴交于点 ，若抛物线上存在关于原点对称的两点C5使得 的面积等于 ，求 的值。MN、 C27m解:设 两点的坐标分别为 、 ，AB、 10Ax， 2B，则 分别是方程 的两根。12x、 由根与系数的关系知 ，1212 两点分别在原点两侧， ，即 ，、 0 2m 2121212145ABxxx ，解得 ， (与 矛盾，舍去)2430mm3 的值为 。 两点关于原点对称MN、设 两点的坐
11、标分别为、 MabN， 、 ， 两点都在抛物线 上、 2yx2am： ，2402am当 时才存在满足条件的 两点， N、 2 两点到 轴的距离均为MN、 y 两点之间的水平距离为、令 ，则 ，点 的坐标为 ，0x2C0，2OCm 11227MNSmmA ，解得972已知抛物线 恰好经过 轴正半轴上的 两点20yaxbcxAB、(点 在点 的左侧)且与 轴交于点 。AByC 的符号之间有何关系？c、若线段 的长度是线段 长度的比例中项，证明 互为倒数；OCAOB、 ac、在的条件下，若 且 ，求 的值。4b3c、解: 时抛物线开口向上，由题意知此时抛物线与 轴正半轴相交 ；0a y0时抛物线开口
12、向下，由题意知此时抛物线与 轴负半轴相交 ； c综上所述， 的符号之间的关系是： 同号。ac、 ac、设 两点的坐标分别为 、 ，其中 。AB、 10Ax， 2B， 210x ， ， 。1xO2OC由题意知 是方程 的两根， 、 bc12caA由题意知 ，即 ，221x2ca由知 ，两边同时除以 ，得 ，即 互为倒数。0cc、当 时，由知 ， 。4b1240bxa 解法一： 2211ABxx2222634ccaa ， ， ， 。33ac解法二： 24416432cxa点 在点 的左侧， ， ，AB1xx6 21323ABOxaa ， ， ， 。43412c四课堂小结二次函数与几何的综合应用是历
13、届中考的重点，应该认真深入的探究。五作业布置1若二次函数 的图象如图所示，20yaxbc则下列结论中不正确的是( )A. 0cB.4bC. D.关于 的方程 的根是 。x20abxc125x，2若二次函数 的图象如图所示，y则下列结论正确的是( )A. ， ， ， 。0 24aB. ， ， ， 。a b 0c 0bcC. ， ， ， 。 D. ， ， ， 。 23若抛物线 经过2yxa四点，则 与 的大小关系是 ( )1203OAByC， 、 ， 、 ， 、 ， 1y2A. B. C. D.不能确定12 2 4若二次函数 的图象如图所示，0xbc则下列结论中错误的有( ) ； ；当 时， ；0
14、ac x 0y方程 有两个大于 的实数根。2a1A. B. C. D.5如图，抛物线 的图象与 轴交于2yxabx两点，与 轴交于点 。102AB， 、 ， yC求该抛物线的解析式并判断 的形状；AB若在 轴上方的抛物线上存在一点 使得xD以 为顶点的四边形是等腰梯形，CD、 、 、请直接写出点 的坐标；抛物线上是否存在点 使得以PCP、 、 、为顶点的四边形是直角梯形？如果存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由。解:抛物线 的图象与 轴交于 两点2yxabx102AB， 、 ， ， ，抛物线的解析式为1043131yx抛物线与 轴交于点 ，令 ，则 ，点 的坐标为yC0x1C01，在 中，
15、RtAO22 5AO在 中，B21B152 ，有 。222 4ACAB RtC点 的坐标是 。D312，存在，理由如下：7由知 90ACB欲使以 为顶点的四边形是直角梯形，只需 或P、 、 、 APBCBP若 ，则以 为底边。直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点x2， y01，直线 的解析式为 ，即C12x ，设直线 的解析式为APB AP1yb直线 经过点 ， ，02， 04直线 的解析式为 14yx抛物线 与直线 交于点23yxAP 或 ，点 的坐标为11024yyx523x153P，若 ，则以 为底边。BAC直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点x102， y01C，直线 的解析式为 ，即2x ，设直线 的解析式为BPAC BPyb直线 经过点 ， ，20， 2024直线 的解析式为BP24yx抛物线 与直线 交于点231yxBP 或 ，点 的坐标为549y0259P，综上所述，符合题意的点 的坐标为 或 。P132， 2，
