1、 1二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：设 ，求 在 上的最大值与最小值。)0()(2acbxxf )(xfnm，当 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在m，n上 的最值：0a )(xf1.当 时， 的最小值是 的最大值是 中的较大者。nm，2)(xf 422fabcf， )(nfm、2.当 时ab，若 ，由 在 上是增函数则 的最小值是 ，最大值是2)(xfn， )(xf)(f)(nf若 ，由 在 上是减函数则 的最大值是 ，最小值是nm， m当 时，可类比得结论。0a二、例题分析归类：（一）、正向型1. 定轴定区间例 1. 函数 在区间0，3 上的最大值是_ ，最小值是_。24
2、2xy练习. 已知 ，求函数 的最值。x321)(2xf2、定轴动区间例 2. 如果函数 定义在区间 上，求 的最值。1)(2xf 1t， )(xf例 3. 已知 ，当 时，求 的最值2()43fxx1()ttR，()fx23、动轴定区间例 4. 已知 ，且 ，求函数 的最值。12x0a3)(2axf例 5. (1) 求 在区间-1,2上的最大值 。2f(x)ax1(2) 求函数 在 上的最大值。)(y,4. 动轴动区间例 6. 已知 ，求 的最小值。24()0,yax2(3)uxy（二）、逆向型例 7. 已知函数 在区间 上的最大值为 4，求实数 a 的值。2()1fxax3,2例 8.已知
3、函数 在区间 上的最小值是 3 最大值是 3 ，求 ， 的值。2()xf,mnmnm例 9. 已知二次函数 在区间 上的最大值为 3，求实数 a 的值。2f(x)a(1)x3,23一知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设 ，求 在 上的最大值与最小值。)0()(2acbxxf )(xfnm，分析：将 配方，得顶点为 、对称轴为f abc422， abx2当 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在m，n上 的最值：0a )(xf（1）当 时， 的最小值是 的最大值是 中的较大nmb，2)(
4、xf 422fabcf， )(nfm、者。（2）当 时a，若 ，由 在 上是增函数则 的最小值是 ，最大值是b)(xfn， )(xf)(f)(nf若 ，由 在 上是减函数则 的最大值是 ，最小值是n2m， m当 时，可类比得结论。0a二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1. 定轴定区间二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。例 1. 函
5、数 在区间0，3 上的最大值是_ ，最小值是_。242xy练习. 已知 ，求函数 的最值。x321)(2xf2、定轴动区间二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。例 2. 如果函数 定义在区间 上，求 的最值。1)(2xf 1t， )(xf4例 3. 已知 ，当 时，求 的最值2()43fxx1()ttR，()fx对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当 时 )(21)()( 21max 如 图如 图， ， nmabnff )(2)()(2)( 543min如 图 如 图如 图， ， abfnabfxf当 时 )(2)()()()(
6、876max如 图 如 图如 图， ， abfnnff fxfmbann()()()i， 如 图如 图219103、动轴定区间二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。例 4. 已知 ，且 ，求函数 的最值。12x0a3)(2axf例 5. (1) 求 在区间-1,2上的最大值 。2f(x)ax1(2) 求函数 在 上的最大值。)(y,4. 动轴动区间二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。5例 6. 已知 ，求 的最小值。24()0,yax2(3)uxy（二）、
7、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。例 7. 已知函数 在区间 上的最大值为 4，求实数 a 的值。2()1fxax3,2例 8.已知函数 在区间 上的最小值是 3 最大值是 3 ，求 ， 的值。2()xf,mnmnm例 9. 已知二次函数 在区间 上的最大值为 3，求实数 a 的值。2f(x)a(1)x3,26二次函数在闭区间上的最值专题演练1函数 在 上的最小值和最大值分别是 （ ） y12x,1 ,3 ,3 （C ） ,3 （D） , 3 )(A)(B4321412函数 在区间 上的最小值是 （ ）22xy4,2)(7)()()(3函数 的最值为 （ ）54
8、82xy最大值为 8，最小值为 0 不存在最小值，最大值为 8 )(A)(B（C）最小值为 0, 不存在最大值 不存在最小值，也不存在最大值D4若函数 的取值范围是_4,022xy5已知函数 上的最大值是 1，则实数 a 的值为_. 6已知函数 在闭区间 上有最大值 3，最小值 2，则 的取值范围是 （ ） 32xy,mm(A) (B) (C) (D) ),1,021,(7设 求函数 的最小值.),(,4(2 Rtxxf )xf8. 已知函数 上具有单调性，求实数 k 的取值范围。2()8fk在 5,209. 若函数 恒成立，则 a 的取值范围（ ）2()()4fxaxxR对 一 切A. B.
9、 C. D. ,2,(2,(,2)10. 已知函数 内单调递减，则 a 取（ ）2()4fxx在 -0A. B. C. -3 D.3a3aa311. 已知函数 上是单调函数，求 k 的取值范围。2()fk在 ,12. 已知函数 上有最大值是 3，最小值是 2，求 m 的取值范围。2()3fx在 0,m713. 已知函数 的最大值为 M，最小值为 m，则 M+m=_.2()34fx14. 已知函数 上的最小值为 3，求 a 的值。ax-+在 0,215.求函数 的单调区间。2()fx316. 已知函数 下列定义域上的值域：2()6fx在（1）定义域为 （2）定义域为-2,1.Z0317. 已知函
10、数 若 ，有 恒成立，求 a 的取值范围。2(),fxa,x()2fx18. 已知函数 ， 其中 ，求该函数的最大值与最小值。2()f,2a19 已知二次函数 的函数值总为负数，求 a 的取值范围。2()6fxx20. 已知二次函数 的图像与 x 轴总有交点，求 m 的取值范围。2()(1)fmxm21. 已知二次函数 顶点在 y 轴上，求 m 的值。2()()3fx22. 已知函数 的图像关于 y 轴对称，求 m 的值。2()()fmx23. 已知函数 对一切 x 恒成立，求 m 的取值范围。2()()40fxa24. 已知函数 是单调增函数，求实数 a 的取值范围。2()4,(13)fx2
11、5. 已知函数 有负值，求 a 的取值范围。2()fxa26. 已知函数 的图像在 x 轴下方，求 m 的值。2()3fm827. 已知函数 对于一切 成立，求 a 的取值范围。2()10fxa1(0,2x28. 已知函数 ，当 时是减函数，求 m 的取值范围。2()3fmx(,29 已知函数 的定义域是 R，求 a 的取值范围。2()fxa30.已知函数 的值域为0, ，求 a 的值。2()46()f x31. . 已知函数 对于 恒成立， ，求 m 的取值范围。2()fxm(0,132. . 已知函数 在 上是单调函数，则 b 的取值范围。2()fbc,)33. 已知函数 ，求在 上的最小
12、值。2()()(2)fxax0,34. .已知函数 ，在 上是单调函数，求 a 的取值范围。2()()f,35. 已知函数 ，在 上是偶函数，求 a 的取值范围。2()()fxax,2t36. 当 a=-2 时，求 .函数 在 上的最小值。2()()f a,t37. 已知函数 的定义域为 R，求 a 的取值范围。2()()fxax38. 已知函数 ，求 上的最值。2()1f 2,139. 已知函数 ，求 上的最值。2()fx,xm40. 已知函数 ， 上的最值为 2，求 a 的值。2()1fa0,1941. 已知函数 ：（1）若 ，求 f(x)的最小值。 （2）若 ，求 f(x)的最小值。 （
13、3）2()fxxR1,3x若 ，求 f(x)的最小值。,xaR42. 已知函数 ，求 上的最大值。2()3fxkx1,243. 已知函数 ，求 上的最值。2()f ,44. 已知函数 ，求 上的最值。221()34fxxb,(0)xb45. 已知函数 ，求 上的最值。()ft,46. 已知函数 ，求 上的最大值。2()(1)3fxax,247. 已知函数 ，求 上的最值。2()f 0,48. 已知函数 ，求 上的最大值。()fxa1,xa49. 已知函数 ，在 上的最大值为 4，求 a 的值。2()f,250. 若不等式 在 内恒成立，求 a 的取值范围。229660xa13x51. 已知函数
14、 ，求 上的最值。2()3fx,t52. 已知函数 ，求 上的最值。2()5fa0,3x53. 已知函数 ，求 上的最值。2()fx,11054. 已知函数 ，求 上的最值。2()38fxa2,x55. 已知函数 ，求 上的最值。2()4)f a0,156. 已知函数 ，当 t 取何值时，函数的最小值为 0.22()(1)fxtxt57. 已知函数 ，求 上的最大值。 2()ft,158. 已知函数 ，在 上的最大值为 13，求 a 的值。2()4fxa0,6x59. 已知函数 ，在 上的最小值为 1，求 a 的值。2()f ,360. 已知函数 ，在 上的最大值为 13，求 a 的值。2()4fxa1,x61. 已知函数 ，在 上的值域。2()f ,362. 已知函数 ，在 上的最小值为 6，求 a 的值。2()10fx,xa63. 已知函数 ，求在 上的最小值。2()3f ,364已知 ，在区间 上的最大值为 ，求 的最小值。)(xf22a1,0)(ag)(
