1、圆的切线证明及计算一、知识回顾1、切线证明的两种主要类型：（1）已知直线经过圆上某一点，辅助性的作法是连接圆心和这一点，判定方法是：经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线。（2）未知直线是否经过圆上的某一点，辅助线的作法是过圆心作直线的垂线段，判定方法是：到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。2、圆的有关计算：经常用到垂径定理、勾股定理等。二、例题讲解：例 1：如图 1，在 RtABC 中， ,BE 平分ABC 交 AC 于点 E，点 D 在 AB 上， .C90 EB（） 求证：AC 是BDE 的外接圆的切线；（）若 ，求 EC 的长.26,2AED注：（1）角平分线、平行于角平分
2、线一边的直线、等腰三角形中，任意两个作为条件都可以推导出第三个。（2）直角三角形中的特殊边角关系的应用。例 2：如图 2，在 RtABC 中，B=90，A 的平分线交 BC 于 D，E 为 AB 上一点，DE=DC，以 D 为圆心，以DB 的长为半径画圆。求证：（1）AC 是D 的切线；（2）AB+EB=AC。证明：（1）过点 D 作 DFAC 于 F. AB 为D 的切线, AD 平分 BAC, BD=DF .AC 为D 的切线 .（2）在BDE 和DCF 中, BD=DF, DE=DC,BDEDCF（HL ）, EB=FC .又 AB=AF, AB+EB=AF+FC, 即 AB+EB=AC
3、 .三、课堂练习：1、如图 3，AB 是O 的直径，弦 CDAB，在ACD 的外部作ACE=ACD，CE 的反向延长线交 AB 的延长线于点 P （1）求证：PE 是O 的切线；（2）若 PC=4，PA=8 ，求 sinP 的值2、如图 4，在 RtABC 中，B90，BAC 的平分线交 BC 于点 D，E 为 AB上的一点，DEDC，以 D 为圆心，DB 长为半径作D,AB5,EB 3.求证:AC 是O 的切线；求线段 AC 的长.3、如图 5，已知以 RtABC 的边 AB 为直径作ABC 的外接圆O ，B 的平分线 BE 交 AC 于 D，交O 于 E，过E 作 EF AC 交 BA 的
4、延长线于 F（1）求证：EF 是O 切线；（2）若 AB = 15，EF = 10，求 AE 的长4、已知：如图 6，ACB =60，CE 为ACB 的角平分线，O 为射线 CE 上的一点，O 切 AC 于点 D（1）求证：BC 与O 相切；（2）若O 的半径为 6，P 为O 上一点，且使得 DPC=90，求 DP 的长5、 （2009 年元月调考试题）如图 7，在边长为 4 的正方形 中，以 为直径作 ，以 为圆心， 长为ABCDOCD半径作 ，两圆交于正方形内一点 ，连 并延长交 于 .CEF(1)求证： 与 相切；FO（2）求 和直角梯形 周长之比.BADCF四、课后作业：1、如图 8，
5、AB 为O 的直径，D 是O 外一点， AD 交O 于 C，AE 平分BAD 交O 于 E，AD ED 于 D。（1）求证：DE 为O 的切线。（2）若 CEAB,AB=10,求 CD 的长 2、如图 9，已知点 C 是线段 BD 上一点，分别以线段 BC 和线段 DC 为边在同侧做等边三角形 ABC 和等边三角形 CDE，O 是ABC 的外接圆.求证：CE 是O 的切线；若CDE 的边 DE 所在直线恰好与 O 相切，线段 BD=4，求O 的半径.3、如图 10，AB 是O 的直径，AC 是弦，弦 AE 平分CAB，EDAC 于 D，（1）试判断直线 DE 与O 的位置关系，并证明你的结论；
6、（2）若 AB10，DE4，求 AC 的长。4、如图 11， 中，ACB=90,以 AC 为直径的O 交 AB 于 D,OEAB 交 BC 于 E,连 DE.RtABC(1) 求证：DE 为O 切线；(2) 若O 的半径为 3，DE= 4，求 AD 之长.5、已知：如图 12，ABC 中，AB=AC，点 O 在 AB 上，O 过点 B 且分别与边 AB、BC 交于 D、E 两点，过 D 作DFAC，垂足为 F。（1）判断 DF 与O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若 AC 与O 相切于点 G，O 的半径为 3，CF=1，求 AG 的长。6、如图 13，RtABC，以 AB 为直径作O 交
7、AC 于点 D，弧 BD=弧 DE，过 D 作 AE 的垂线，F 为垂足.(1)求证：DF 为O 的切线；(2)若 DF=12，O 的半径为 13，求 EF.7、如图 14，ABC 中，B=90，O 为 AC 上一点，以 OA 为半径的O 经过 BC 上一点 D，交 AB 于 F ，交 AC 于 E，且.DEF（1）求证：BC 为O 切线;（2）若 BF=2，BD=4，求 AF 的长.8、如图 15，AB 是半圆 O 的直径，AD 为弦，DBC= A (1)求证：BC 是半圆 O 的切线(2)若 OCAD，OC 交 BD 于 E，BD=6，CE=4，求 AD 的长9、如图 16，已知等边ABC，以边 BC 为直径的半圆与边 AB、AC 分别交于点 D、点E，过点 D 作 DFAC，垂足为点 F（1）判断 DF 与O 的位置关系，并证明你的结论（2）过点 F 作 FHBC，垂足为点 H，若等边ABC 的边长为 4，求 FH 的长10、如图 17，O 为四边形 ABCD 的外接圆，圆心 O 在 AD 上，OCAB.（1）求证：AC 平分DAB；（2）若 AC=8，ADBC=5，试求O 的半径.
