1、0双曲线教学目标:1、掌握双曲线的定义，标准方程，几何性质，离心率，通径，最值。2、熟练地运用待定系数法求标准方程，学会求最值的方法和焦点三角形的解法。重点：双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及简单的几何性质。难点：双曲线的标准方程，双曲线的渐进线。【教学内容】1、引入：太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成。在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的 1/2+1/3；黑牛数多于棕牛，多出之数相当于花牛数的 1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的 1/6+1/7。在母牛中，白牛数是全体黑牛数的 1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数 1/4+1/5；花牛
2、数是全体棕牛数的 1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的 1/6+1/7。问这牛群是怎样组成的？ （阿基米德分牛问题）2、双曲线的基本概念1.双曲线的定义：双曲线的定义在平面内，到两个定点 的距离之差的绝对值等于常21,F数 的动点 的轨迹叫作双曲线.这两个定点 叫双曲线的焦点，)2,0(21Fa且 P21,两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数 应当满足的约束条件： ，a 21FaP这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，则仅能表示双曲线的一支；3. 若常数 满足约束条件： ，则动点轨迹是以 为端点a 2121FPF
3、21、的两条射线（包括端点）；4若常数 满足约束条件： ，则动点轨迹不存在；a5若常数 ，则动点轨迹为线段 的垂直平分线。0212.双曲线的标准方程：1当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程： ，其中x )0,(12byax；22bac2当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程： ，其中y ),(2.2注意： 1只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2在双曲线的两种标准方程中，都有 ；22bac3双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.13.双曲线的简单几何性质:（1）对称性：双曲线 是以 轴、 轴为对称轴的轴对称图形，)0,(12bay
4、xxy且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线 和 的两侧，是无限延伸的。a因此双曲线上点的横坐标满足 。orx（3）顶点：双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。双曲 与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分)0,(12bayx别为 ，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。)0,(1Aa两个顶点间的线段 叫作双曲线的实轴；设 为 轴上的两个21 )0,(,(21aBy点，则线段 叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为 。2B bA211叫做双曲线的实半轴长， 叫做双曲线的虚半轴长。b注意：实轴和虚轴等长的双曲线称
5、为等轴双曲线。（4）离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用 表示，记作e。ace2因为 ，所以双曲线的离心率 。 由 ，可得01ace22bac，所以 决定双曲线的开口大小， 越大， 也越大，双曲线开122eacbabe口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。等轴双曲线 ，所以离心率 。（5）渐近线：经过点 作 轴的平行线 ，经过点 作 轴的平行线21A、 yax21B、 x，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是by。我们把直线 叫做双曲线的渐近线。（双曲线与它的渐近线无限接近，xaxab但永不相交）特别注意：双曲线的焦点三角形，弦长
6、公式，中点弦问题与椭类似。【例题讲解】例 1 已知双曲线 ，求双曲线的实（虚）轴顶点坐标，焦点坐标，准线方9162yx程，渐近线方程.2练习：求双曲线 的实（虚）半轴长，焦点坐标，准线方程，)0,(2nmynx渐近线方程.例 2 已知O 1： ，O 2：4)5(2yx 9)5(2yx（1）若动圆 与 1， 2均内切，求动圆圆心 点的轨迹；（2）若动圆 与 1， 2均PPQ外切，求动圆圆心 点的轨迹。Q练习：在方程 中，若 ，则方程的曲线是（ ）nmyx20A.焦点在 轴上的椭圆 B.焦点在 轴上的双曲线xC.焦点在 轴上的椭圆 D.焦点在 轴上的双曲线yy例 3 设双曲线 经过点 ，且与双曲线
7、 具有相同渐近线，求双曲线 标C)2,( 142xC准方程.练习：1.双曲线 与 一定有相同的（ ）1692yx692yxA.焦点 B.准线 C.渐近线 D.离心率2.与双曲线 有共同的渐近线，并且过点 的双曲线的标准方程 12yx )28,6(A例 4 设 分别为双曲线 的左、右焦点，双曲线上存在一2,F0,(12bayx3点 使得 ，求双曲线的离心率.PabPFbF49,32121 练习：（1）双曲线 的离心率 14692xy（2）已知双曲线 的一条渐近线与曲线 相切，则该双)0,(2ba 12xy曲线的离心率为 例 5 已知双曲线 的离心率为 2，焦点为 ,点 A 在 上，若 ,求C21
8、FCAF21的值.12cosFA例 6 双曲线 与椭圆 有公共焦点，且离心率为 .（1）求双曲线 的方程；E1625yx 23E（2）若斜率为 1 的直线 交双曲线 于 两点，且 ，求 的方程.lEBA, 04l例 7 已知双曲线 以及点 ，过点 的直线与双曲线相交于 两点，42yx)1,8(MBA,为线段 的中点，求直线的方程.MAB4【过手练习】1.已知方程 的图象是双曲线，那么 的取值范围是（ ）21xykkA. B. C . 或 D.121221k2.双曲线 的左、右焦点分别为 是双曲线上一点，满足)0,(2ba12F,P，直线 与圆 相切，则双曲线的离心率 为（ ）21|PF|1PF
9、22xyaeA. B. C. D.543 353.过双曲线 的右焦点 作直线 交双曲线于 两点，若 ，则这样的直21yxlBA,4线 有（ ）lA.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条4.过原点的直线 ，如果它与双曲线 相交，则直线 的斜率 的取值范围是 .l2134yxlk5.设 为双曲线 上一动点， 为坐标原点， 为线段 的中点，则点 的轨P142yxOMOPM迹方程是 【拓展训练】例 8 已知双曲线 )0,(12bayx的一条渐近线方程为 xy3，两条准线的距离为 l.（1）求双曲线的方程；（2）直线 l 过坐标原点 O 且和双曲线交于两点 M、N，点 P 为双曲线上异于 M、N
10、的一点，且直线 PM，PN 的斜率均存在，求 kPMkPN 的值.【链接高考】已知双曲线 的一条渐近线平行于直线 ： ，双曲线)0,(12bayx l210yx=+5的一个焦点在直线 上，则双曲线的方程为 （ ）l1205.yxA2.105xyB-=23.150xyC-=23.105xyD-=【课后作业】1.等轴双曲线 与抛物线 的准线交于 两点， ，则双曲22:ayxC216yxA,B43线 的实轴长等于（ ）A. B. C.4 D.82.已知双曲线 的一条渐近线的方程为 ，则双曲线的焦点到直线的距192myxyx53=离为( )A B. C. D.24523.若直线过点 与双曲线 只有一个
11、公共点，则这样的直线有（ ）)0,3(3692yxA.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条4.方程 表示双曲线的充要条件是（ ）21()xykkRA. 或 B. C. D.332k32k5.过双曲线 的左焦点作垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以)0,(2ba为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 .6.已知双曲线 的渐近线与圆 有交点，则该双曲线21()xy,ab240xy的离心率的取值范围是 7.已知双曲线 的右焦点为 )0,(2b()Fc,（1）若双曲线的一条渐近线方程为 且 ，求双曲线的方程；yx2（2）以原点 为圆心， 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为 ，过 作圆Oc A的切线，斜率为 ，求双曲线的离心率3
