1、第十四章整式的乘法与因式分解14.1 整式的乘法题型一：整式乘法与整式加减的综合例 1：计算：（1） （a+b） （a-2b）-（a+2b） （a-b ） （2）5x（x 2+2x+1）-（2x+3） （x-5）变式训练：（1） （x+3） （x+4）-x （x+2）-5 （2） （3a-2b ） （b-3a）-（2a-b ） （3a+b）题型二：整式乘法与方程的综合例 2：解方程（3x-2） （2x-3）=（6x+5） （x-1 ）变式训练：解方程 2x（x-1） -（x+1） （2x-5）=12题型三：整式乘法与表达不等式的综合例 3：解不等式（3x+4） （3x-4 ）9（x-2） （x
2、+3）变式训练：解不等式（2x-1） （2x-1 ） （2x+5） （2x-5）-2题型四：整式的化简求值例 4：先化简，再求值（-2a 4x2+4a3x3 - a2x4）（-a 2x3）,其中 a= ，x=-4.。变式训练：已知 2x-y=10，求代数式（x 2+y2）- （x-y） 2+2y（x-y ） 4y 的值。题型五：整式乘法的实际应用例 5：西红柿丰收了，为了方便运输，小红的爸爸把一根长方形为 a cm，宽为 a cm 的长方形铁板做成了一个有底无盖的盒子。在长方形铁板的四个角上各截去一个边长为 b cm 的小正方形（2b a） ，然后沿虚线折起即可，如图 14-1 所示，现在要将
3、盒子的外部表面贴上彩色花纸，小花任务至少需要彩色纸花的面积实际就是小盒子外部的表面积，可以用以下两种方法求得：直接法，小盒子外部表面的面积=四个侧面的面积+底面的面积=2（a-2b）b+（ a-2b）b+（a-2b） （ a-2b） ； 间接法，小盒子外部表面的面积 =原长方形的面积- 四个小正方形的面积= aa-4b2 。请你就是一下这两种方法的结果是否一样。变式训练：如图所示，有正方形卡片 A 类、B 类和长方形卡片 C 类各若干张，若干要拼一个长为（a+2b） ，宽为（a+b）的大长方形，那么需要 C 类卡片多少张？题型六：逆用幂的运算法则例 6：已知 2x=m，2 y=n，2 z=mn
4、，求证 x+y=z变式训练：已知 10m=5,10n=6，求 102m+3n 的值。题型七：逆用积的乘方运算法则简化计算例 7：计算：变式训练：计算：-8 2017（-.0125） 2016+0.25326题型八：运用幂的运算法则比较大小例 8：比较大小：（1）16 25 与 290 （2）2 100 与 375变式训练：比较大小：2 55,344,433题型九：多小时整除问题例 9：已知一个多项式初一多项式 a2+4a-3 所得的商式是 2a+1，余式是 2a+8，求这个多项式。变式训练：已知多项式 x3+ax2+bx+c 能够被 x2+3x-4 整式。 （1）求 4a+c 的值；（2）求
5、2a-2b-c 的值；（3）若a，b，c 均为整数，且 ca1，试确定 a，b，c 的大小关系。题型十：利用整式乘法求字母的值例 10：如果（x+q） （x+ ）的结果中不含 x 的一次项，那么 q=变式训练：已知（-2x 2）（ 3x2-ax-6）-3 x 3+ x2 中含 x 的三次项，则 a=题型十一：利用整式的乘法探索规律例 11：先探索规律，再用所得规律计算。 （1）根据多项式的乘法法则计算并填空：（x-3） （x+4 ）= （x+2） （x+3）=（x+7） （x-1）= （x-5） （x-2 ）=（2）观察积中一次项系数、常数项与乘法算式中两个常数之间的关系，得出规律，用式子表示
6、为（x+p） （x+q）=（3）利用所得规律计算：（x+1） （x-5 ） ；（x-3） （x+7） ；（a-2 ） （a-1）变式训练：观察下列各式：（x-1） （x+1 ）=x 2-1；（x-1） （x 2+x+1）=x 3-1（x-1） （x 3+x2+x+1）=x 4-1.（1）根据观察以上规律，则（x-1） （x 6+x5+x4+x3+x2+x+1）=（2）你能否由此归纳出一般性规律：（x-1） （x n+xn-1+x+1）=（3）根据求出：1+2+2 2+234+235 的结果。题型十二：有关整式乘法的探索题例 12：新知识一般有两类：第一类是不依赖于其他知识的新知识，如“数” “
7、字母表示数”这样的初始性的知识；第二类是在某些旧知识的基础上通过联系、拓广等方式产生的知识，大多数知识是这样的知识。（1） 多项式成多项式的法则， 是第几类知识？（2） 在学多项式乘多项式之前，你已拥有的有关知识是哪些？（写出两条即可）（3） 请你用已拥有的有关知识，通过数和形两个方面说明多项式乘多项式的法则是如何获得的。 （用（a+b）（c+d）来说明）变式训练：我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图所示，这个三角形的构造法则是：两腰上的数都是 1，其余每个数均为其上方左右两书之和，他给出了（a+b）n（n 为整数）的展开式（按 a的次数由大到小的顺序排列）的
8、系数规律。例如，在三角形中第三行的三个数 1,2，1，恰好对应（a+b） 2=a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数 1,3,3,1，恰好对应（a+b） 3=a3+3a2b+3ab2+b3 展开式中的系数。（1） 根据上面的规律：写出（a+b） 5 展开式：（2） 利用上面的规律计算：2 5-524+1023-1022+52-1=14.2 乘法公式题型一：平方差公式的重复运用例 1：计算：（1） （2） （2x+1） （4x 2+1） （2x-1） （16x 4+1）变式训练：计算：（1） （2+1） （2 2+1） （2 4+1） ； （2）题型二：运用乘法公式简算例 2：运用乘法
9、公式简算：（1）10298； （2）102 2； （3）99 2变式训练：用简便方法简算：（1）98 2； （2）99101题型三：乘法公式的灵活运用例 3：计算：（1） （x+2y-3） （x-2y+3） ； （2） （a+b+c） 2； （3） （y+2） （y-2）- （y-1） （y+5）变式训练：计算：（1） （a+b+c） （a+b-1） ；（2） （2a-3b+1 ） （2a+3b-1 ） （3） （ x-2y+3z） 2题型四：整式的混合运算例 4：计算：（1） （3m-4n） （4n+3m）-（2m-n） （2m+3n）; （2）3（a+1） 2-5（a-1） （a+1）2（
10、a-1 ） （3） 2x 2-（x+y ） （x-y） （2-x） （2+x ）+（-y-2） （2-y） （4） （2x+y） 2（2x-y） 2+（x 2+y2） 2-2（2x 2+xy） （2x 2-xy）变式训练：计算：（1） （x+2） 2+（2x+1 ） （2x-1）-4x（x+1）（2） （x+y） （x-y）+ （x-y ） 2-（6x 2y-2xy2）2y题型五：乘法公式变形的应用例 5:已知（a+b） 2=7, （a-b ） 2=4,求 a2+b2 和 ab 值。变式训练：（1）已知实数 x 满足 =3，则 的值为（2）若 x+y=5，x-y=1，则 xy=。题型六：整式的
11、化简求值例 6：先化简，再求值：（x+1） （x-1 ）+x（3-x） ，其中 x=2.变式训练：求值：已知 4x=3y，求代数式（x-2y ） 2-（x-y） （x+y）-2y 2题型七：乘法公式与方程结合例 7：解方程：2（x-2）+x 2=（x+1） （x-1）+3x变式训练：解方程：2（x-2） +x2=（x+1） （x-1）+x题型八：乘法公式与不等式（组）结合例 8：解不等式 x（x-3）（ x+7） （x-7）变式训练：解不等式组： （x+3） （x-3 ）-x（x-2）1（2x-5） （-2x-5 ）4x（1-x）题型九：完全平方公式的变形应用例 9：已知 a+b=5，ab=7
12、，求 a2+ b2，a 2-ab+b2 的值。变式训练：（x+y） 2=9， （x-y） 2=5，求 x2+y2 级 xy 的值。题型十：应用完全平方公式求字母的值例 10：二次三项式 x2-kx+9 是一个完全平方式，则 k 的值是变式训练：若 x2+（m-3）x+4 是完全平方式，求 m 的值。题型十一：出发公式在复杂计算中的应用例 11：计算（2+1） （2 2+1） （2 4+1）.（2 2n+1）变式训练：计算14.3 因式分解题型一：提公因式法与公式法的综合运用例 1：分解因式：ax 2-ay2=变式训练：分解因式：a 2b-2ab+b=题型二：利用因式分解整体代换求值例 2：已知
13、 a+b=2，ab=1，则 a2b+ab2 的值为变式训练：若 a=2，a-2b=3，则 2a2-4ab 的值为题型三：因式分解与三角形知识的结合例 3：若 a，b，c 是三角形的三边，且满足关系式 a2-2bc=c2-2ab，试判断这个三角形的形状。变式训练：已知三角形三边长为 a，b，c，且满足 a2+b2+c2=ab+bc+ac，试判断三角形的形状。题型四：在实数范围内分解因式例 4：在实数范围内分解因式：x 2y-3y=变式训练：在实数范围内分解因式：x 3-6x=题型五：分解因式：（1） （p-4） （p+1 ）+3p （2）64m 2n2-（m 2+16n2） 2（3）a 4-2a
14、2b2+b4 （4）16（a-b） 2-9（a+b） 2变式训练：（1） （x+y） （x-1 ）-xy-y 2 （2） （ax+by ） 2+（bx-ay） 2题型六：平方差公式的灵活运用例 6：计算变式训练：若 248-1 能被 60 与 70 直径的两个整数整除，求这两个数。题型七：完全平方公式的灵活运用例 7：已知 a2+b2-4a-6b+13=0，求 a+b 的值。变式训练：求证：当 x 表示整数时， （x+1） （x+2） （x+3 ） （x+4）+1 是一个整数的完全平方数。题型八：开放型问题例 8：多项式 9x2+1 加上一个单项式后，能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可能
15、是什么？（把符合要求的都写出来）变式训练：给出三个多项式：2x 2+4x-4；2x 2+12x+4；2x 2-4x，请你把其中任意两个多项式进行加法运算（写出所有可能的结果） ，并把每个结果因式分解。题型九：x 2+（p+q ）x+pq 型式子的因式分解例 9：阅读下列材料，你能得到什么结论？并利用（1）的酒类分解因式。（1） 形如 x2+（p+q ）x+pq 型的二次三项式，有以下特点：二次项系数是 1；常数项是两个数之积；一次项系数是常数项的两个因式之和，把这个二次三项式进行分解因式，可以这样来解：x2+（p+q）x+pq=x 2+px+qx+pq=（x 2+px）+（qx+pq）=x（x+p）+q(x+p)=（x+p ） （x+q）因此上面结论，可以之积将某些二次项系数是 1 的二次三项式分解因式。（2） 利用（1）的结论分解因m 2+7m-18； x 2-2x-15变式训练：阅读理解。 （1）计算后填空：（x+1） （x+2）= （x+3） （x-1）=（2）归纳、猜想后填空：（x+a） （x+b）=x2+（）x+ （3）运用（2）的猜想结论，直接写出计算结果：（x+2） （x+m）= （4）根据你的理解，把下列多项式因式分解：x 2-5x+6=；x 2-3x-10=
