1、必修 11.3.1 函数的单调性说课稿酒泉中学 马长青一. 教学内容分析1.本课定位与内容本节课选自普通高中课程标准实验教科书数学必修 1A 版第一章第三节函数的基本性质第一小节函数的单调性与最大(小)值，本节课内容教材主要学习函数的单调性的概念，判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性，共 2 课时，本节课为第一课时。2. 教材的地位和作用从单调性本身看，学生的学习分为三个层面，首先是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对函数的增减性有一个初步的感性认识，其次在高一对单调性进行严格定义，最后在高三从导数的角度再次研究单调性。本节课的学习处于对单调性学习的第二层面，通过图象
2、归纳、抽象出单调性的准确定义，并在高中首次经历代数的严格证明，是对初中学习的一次升华。从本节的教学看，在此学习单调性是对函数概念的延续和拓展，对进一步探索、研究函数的其他性质有着示范性的作用，从本章的教学看，本节课的学习是后续研究指数函数、对数函数内容的基础。从函数知识网络看，单调性起着承上启下的作用，一方面，是初中学习内容的深化，使学生对函数单调性从感性认识提高到理性认识。另一方面，函数的单调性为后面学习指数函数、对数函数、三角函数及数列这种特殊的函数打下基础，与不等式、求函数的值域、最值，导数等都有着紧密的联系。从高中数学学习看，函数的单调性是培养学生数形结合思想的重要内容，也是研究变量的
3、变化范围的有力工具。3.教学目标根据本课教材特点、课程标准对本节课的教学要求以及学生的认知水平，教学目标确定为：知识与技能：（1）从形与数两方面理解单调性的概念（2）初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法（3）通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力过程与方法：（1）通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合思想方法（2）经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。情感态度价值观：通过知识的探究过程培养细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；
4、领会用运动的观点去观察分析事物的方法4. 教学重难点根据上述教学目标，本节课的教学重点是函数单调性的概念形成和初步运用。虽然高一学生已经有一定的抽象思维能力，但是要用准确的符号语言去刻画图象的增减性，从感性上升到理性对高一的学生来说比较困难。因此，本节课的教学难点是函数单调性的概念形成。 二. 学生情况分析知识结构学生已经学习过一次函数，二次函数，反比例函数，函数的概念及函数的表示，能画出一些简单函数的图象，能从图象的直观变化，学生能得到函数增减性。能力结构通过初中对函数的学习，学生已具备了一定的观察事物能力，抽象归纳的能力和语言转换能力。学习心理函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发
5、现的一个性质，学生渴望进一步学习，这种积极心态是学生学好本节课的情感基础。本班学生特点本班为酒泉中学高一（4）班，学生数学素养较好。三.教学模式普通高中数学课程标准(实验)指出：“高中数学课程应倡导自主探索等学习数学的方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的再创造过程。”因此，根据教学内容和学生的认知、能力水平，本节课作为新授课主要采取教师启发式教学法和学生探究式教学法。以设置情境、设问和疑问进行层层引导，激发学生积极思考，逐步将感性认识提升到理性认识，培养和发展学生的抽象思维能力。引导学生提出疑问，进行思考，从而创造性的解决问题，最终形成概念，培养学生的创
6、造性思维和批判精神。五个环节：创设情境，引入新课；初步探索，概念形成；概念深化，延伸拓展；证法探究，应用定义；小结评价，作业创新四. 教学设计为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计为五个环节：创设情境，引入新课；初步探索，概念形成；概念深化，延伸拓展；证法探究，应用定义；小结评价，作业创新单调性的概念是本节课的重点，而形成过程则是本节课的难点，为了突破这一难点，让学生能够充分感受单调性概念的形成过程，经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，本节课设置了前三个环节,后两个环节的设计，是为了使学生对函数单调性认识的再次深化。（一）创设情境，引入新课数学课程标准中提出
7、“通过已学过的函数特别是二次函数理解函数的单调性”，因此在本节课的开始，我作了这样的情境创设，从学生熟知的一次函数和二次函数入手，从初中对函数增减性的认识过渡到对函数单调性的直观感受。提出问题 1：分别作出函数 y=x，二次函数 y=2x，y=-2x 和 y=x2的图象，并且观察函数变化规律？首先引导学生观察两个一次函数图象，获得信息：第一个图象从左向右逐渐上升，y随 x 的增大而增大；第二个图象从左向右逐渐下降，y 随 x 的增大而减小。然后让学生明确，对于自变量变化时，函数值具有这两种变化规律的函数，我们分别称为增函数和减函数.二次函数的增减性要分段说明，进而提出问题：二次函数是增函数还是
8、减函数？进一步讨论得出：增减性是函数的局部性质据此，学生已经对单调性有了直观认识，紧接着，我提出问题二：能否用自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数？结合增减性是局部性质，学生会用直观描述回答：在一个区间里，y 随 x 增大而增大，则是增函数；y 随 x 增大而减小就是减函数。学生用图象的感性认识初步描述了单调性，下面进一步将学生从感性向理性进行引导 （二）初步探索，概念形成提出问题三：以 y=x2+1 在 （0，+）上单调性为例，如何用精确的数学语言来描述函数的单调性？这是本节课的难点，因此我将概念形成设置了三个阶段1. 提问学生什么是“随着”经 讨 论 得 出 ， 随 着 是 由 于 当
9、 x 取 一 定 的 值 时 ， y 有 确 定 值 与 之 对 应 ， 因 此 x 变 化时 ， y 会 根 据 法 则 随 着 x 发 生 变 化2. 如 何 刻 画 “增 大 ”？要 表 示 大 小 关 系 ， 学 生 会 想 到 取 点 ， 比 大 小 ， 学 生 也 许 会 用 特 殊 点 说 明 问 题 ， 比 如x 取 2、 3， 23， 对 应 的 函 数 值 是 510提出质疑：这个点的变化能否说明 y 随着 x 增大而增大，进一步引导学生从特殊到一般，进入第三阶段，对“任取”的理解。3. 对“任取”的理解针对特殊值，学生可能会举反例证明其是不充分的，那么应该如何取值呢？学生
10、可能会多取一些，也可能会想到将取值区间任意小，进一步讨论得出“任取”二字。用对随着的理解再次深化函数概念，用对增大的理解得到要表示大小关系，最后再强调取值的任意性，这样就实现了从“图形语言”到 “文字语言”到 “符号语言”的过渡，实现“形”到“数”的转换，形成了单调性的定义。得到定义后，再提出如何得到 f(x1)f(x2)，求差法比较大小，为后面的证明和判断扫清障碍。（三）概念深化，延伸拓展通过上面的问题，学生已经从描述性语言过渡到严谨的数学语言。而对严谨的数学语言学生还缺乏准确理解，因此在这里通过问题深入研讨加深学生对单调性概念的理解。提出问题四：能否说 在它的定义域上是减函数？从这个例子能
11、得到什么结论？学生思考、讨论，提出自己观点学生可能会提出反例，如 x1=-1，x 2=1进一步得出结论：函数在定义域内的两个区间 A,B 上都是增（减）函数，函数在 A B 上 不一定 是增（减）函数教师给出例子进行说明：进一步提问：函数在定义域内的两个区间 A,B 上都是增（减）函数，何时函数在 A B 上也是增（减）函数。学生会提出将函数图象进行变形（如 x0 时图象向下平移）回归定义，强调任意性在问题四的背景下解决本题，体会在运动中满足任意性。拓展探究：已知函数是（-，+）上的增函数，求 a 的取值范围.这个问题有一定难度，但是学生在前面集合的学习中已经接触过在运动中求参数 a 的取值范
12、围，此处可看作是对前面学习的巩固。（四）证法探究，应用定义在概念已经完善的基础上，提出例 1例 1：证明函数在（0，+ ）上是增函数本环节是对函数单调性概念的准确应用，本题采用前面出现过的函数，一方面希望学生体会到函数图象和数学语言从不同角度刻画概念，另一方面避免学生遇到障碍，而是把注意力都集中在单调性定义的应用上。学生根据单调性定义进行证明，教师在黑板上书写证明步骤，再引导学生总结证明步骤。 提出例 2 判断函数 在（0，+）上的单调性。 根据定义进行判断，体会判断可转化成证明。课标中指出“形式化是数学的基本特征之一，但不能仅限于形式化的表达。高中课程强调返璞归真”因此本题不再从证明角度，而
13、是让学生再次从定义出发，寻求方法，并体会转化思想。进一步提问：如果把（0，+）条件去掉，如何解这道题？为学生提供思考空间。（五）小结评价，作业创新从知识、方法两个方面引导学生进行总结。学生回顾函数单调性定义的探究过程；证明、判断函数单调性的方法步骤；数学思想方法。小结过程使学生对单调性概念的发生与发展过程有清晰的认识，体会到数学概念形成的主要三个阶段：直观感受、文字描述和严格定义。作业的设计实现了分层，既巩固了基础，又给了学生充足的思考空间。通过本节课的学习，预计学生能理解单调性的定义，绝大多数学生能按照单调性的证明步骤进行证明，能判断函数的单调性，本节课的评价方式为课堂反馈、教师评价、学生自评相结合。在本节课的设计中，我有一些新的尝试，在教学过程中，创设一个探索的学习环境，通过设计一系列问题，使概念得到形成和深化，学生亲身经历数学概念的产生与发展过程，从而逐步把握概念的实质内涵，深入理解概念。在情境设置中，严格按照课标要求以二次函数 y=x2+1 为例，经历画图、描述图象、找单调区间、形成单调性定义、证明其单调性的过程，将学生对单调性的认识从感性上升到理性，并将定义进行应用。五.板书设计六.课堂评价七.资源开发
