1、1整 式 的 乘 除 与 因 式 分 解1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。的 系数为 ，次数为 ，单独的一个非零数的次数是 。bca22、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。，项有 ，二次项为 ，一次项为 ，常数项为 ，各1x项次数分别为 ，系数分别为 ，叫 次 项式。3、整式：单项式和多项式统称整式。注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。4、多项式按字母的升（降）幂排列： 1223yxx按 的
2、升幂排列： 按 的升幂排列： y按 的降幂排列： 按 的降幂排列： 5、同底数幂的乘法法则： （ 都是正整数）mnaAn,同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。例 1.若 ，则 a= ；若 ，则 n= .642a 8)3(27例 2.若 ，则 的值为 。15x x209)(例 3 .设 4x=8y-1,且 9y=27x-1,则 x-y 等于 。6、幂的乘方法则： （ 都是正整数）mna,幂的乘方，底数不变，指数相乘。如： 10253)(幂的乘方法则可以逆用：即 mnna如： 2326)4(47、积的乘方法则： （ 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。nba（ =
3、523)zyx8、同底数幂的除法法则： （ 都是正整数，且nma,0)mn同底数幂相除，底数不变，指数相减。如： 34)()(baab9、零指数和负指数；，即任何不等于零的数的零次方等于 1。10a（ 是正整数） ，即一个不等于零的数的 次方等于这个数的 次方的倒数。p,0pp如： 8)2(310、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注意：积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。2相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式乘
4、法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。如： xyz3211、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即 ( 都是单项式)mcbacbam)( a,注意：积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。如： = )(3)2(yxx12、多项式与多项式相乘的法则:多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。如： ()(ab13、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为
5、商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。如： = m2429714、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。即： ()abcabmcabc例 1.（a b） （2a b） （3a 2 b2） ； 例 2.（ab） （ab） 2（a 22abb 2）2ab611例 3.已知 x2x10，求 x32x 23 的值15、平方差公式： 注意平方差公式展开只有两项2)(baba如： = )(zyx16、完全平方公式： 22ba)(22 abba4)()(222)()( ba 2)(完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，
6、加上首尾乘积的 2 倍。17、三项式的完全平方公式： ccc)(23例 1.利用平方差公式计算： 20786例 2.广场内有一块边长为 2a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短 3 米，东西方向要加长 3 米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？例 3.（1） 求 的值。 （2） ，求 xy 的值。,2x21x,16)(2yx4)(2yx18、因式分解：常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法A.提公因式法：式子中有公因式时，先提公因式。例 1.把 分解因式2105axybx分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按 的降幂排列，然后从两组分别提出公x因式 与
7、 ，这时另一个因式正好都是 ，这样可以继续提取公因式b5y解： xyx说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试例 2.把 分解因式22()()abcdabcd分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式解： = 22说明：由例 2、例 1 可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用。B. 公式法：根据平方差和完全平方公式分解因式 295xy4C.配方法：分解因式
8、261x说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解当然，本题还有其它方法，请大家试验D.十字相乘法：（1） 型的因式分解2()xpqx这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是 1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和22() ()()()xxpxqxpqxpxq因此， ()pq运用这个公式，可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式例 1.把下列各式因式分解：(1) (2) 276x236x说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相
9、同例 2.把下列各式因式分解：(1) (2) 254x215x说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同例 3.把下列各式因式分解：(1) (2) 226xy22()8()1xx5分析：(1) 把 看成 的二次三项式，这时常数项是 ，一次项系数是 ，把 分解成226xyx26yy26与 的积，而 ，正好是一次项系数3y23()(2) 由换元思想，只要把 整体看作一个字母 ，可不必写出，只当作分解二次三项式2a81a（2）一般二次三项式 型的因式分解2axbc大家知道， 2111212()()()caxcaxc反过来，就得到： 2 ()
10、我们发现，二次项系数 分解成 ，常数项 分解成 ，把 写成 ，这里按斜线交叉相121212,ac12乘，再相加，就得到 ，如果它正好等于 的一次项系数 ，那么 就可以分解成12ac2axbcbaxbc，其中 位于上一行， 位于下一行12()()axc1,这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法例 4.把下列各式因式分解：(1) (2) 25x22568xy说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是 1 时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝
11、对值，然后调整，添加正、负号提高练习1 （2x 24x10xy）（ ） x1 y252若 xy8，x 2y24，则 x2y 2_3代数式 4x23mx9 是完全平方式,则 m_ 4. _0101.55.若 ，则 = 。2ab2ab6.（a1） （a1） （a 21）= 。7.一个正方形的边长增加 4cm ，面积就增加 56cm2 ，原来正方形的边长为 。8 （3+1） （3 2+1） （3 4+1） （3 2008+1） = 。401639 （1） （ 3y） 2（ 3y） 2 （2） （x 22x1） （x 22x 1） ；xx610求（1 ） （1 ） （1 ）（1 ） （1 ）的值22324292011已知 x 2，求 x2 ，x 4 的值1112已知（a1） （b2）a（b3）3，求代数式 ab 的值2ba13若（x 2pxq） （x 22x3）展开后不含 x2，x 3 项，求 p、q 的值
