1、1整 式 的 乘 除 与 因 式 分 解1、单项式的概念:由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数,字母指数和叫单项式的次数。的 系数为 ,次数为 ,单独的一个非零数的次数是 。bca22、多项式:几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项,次数最高项的次数叫多项式的次数。,项有 ,二次项为 ,一次项为 ,常数项为 ,各1x项次数分别为 ,系数分别为 ,叫 次 项式。3、整式:单项式和多项式统称整式。注意:凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。4、多项式按字母的升(降)幂排列: 1223yxx按 的
2、升幂排列: 按 的升幂排列: y按 的降幂排列: 按 的降幂排列: 5、同底数幂的乘法法则: ( 都是正整数)mnaAn,同底数幂相乘,底数不变,指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。例 1.若 ,则 a= ;若 ,则 n= .642a 8)3(27例 2.若 ,则 的值为 。15x x209)(例 3 .设 4x=8y-1,且 9y=27x-1,则 x-y 等于 。6、幂的乘方法则: ( 都是正整数)mna,幂的乘方,底数不变,指数相乘。如: 10253)(幂的乘方法则可以逆用:即 mnna如: 2326)4(47、积的乘方法则: ( 是正整数)积的乘方,等于各因数乘方的积。nba( =
3、523)zyx8、同底数幂的除法法则: ( 都是正整数,且nma,0)mn同底数幂相除,底数不变,指数相减。如: 34)()(baab9、零指数和负指数;,即任何不等于零的数的零次方等于 1。10a( 是正整数) ,即一个不等于零的数的 次方等于这个数的 次方的倒数。p,0pp如: 8)2(310、单项式的乘法法则:单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。注意:积的系数等于各因式系数的积,先确定符号,再计算绝对值。2相同字母相乘,运用同底数幂的乘法法则。只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式单项式乘
4、法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式。如: xyz3211、单项式乘以多项式,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,即 ( 都是单项式)mcbacbam)( a,注意:积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同。运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号。在混合运算时,要注意运算顺序,结果有同类项的要合并同类项。如: = )(3)2(yxx12、多项式与多项式相乘的法则:多项式与多项式相乘,先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所的的积相加。如: ()(ab13、单项式的除法法则:单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为
5、商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。如: = m2429714、多项式除以单项式的法则:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,在把所的的商相加。即: ()abcabmcabc例 1.(a b) (2a b) (3a 2 b2) ; 例 2.(ab) (ab) 2(a 22abb 2)2ab611例 3.已知 x2x10,求 x32x 23 的值15、平方差公式: 注意平方差公式展开只有两项2)(baba如: = )(zyx16、完全平方公式: 22ba)(22 abba4)()(222)()( ba 2)(完全平方公式的口诀:首平方,尾平方,
6、加上首尾乘积的 2 倍。17、三项式的完全平方公式: ccc)(23例 1.利用平方差公式计算: 20786例 2.广场内有一块边长为 2a 米的正方形草坪,经统一规划后,南北方向要缩短 3 米,东西方向要加长 3 米,则改造后的长方形草坪的面积是多少?例 3.(1) 求 的值。 (2) ,求 xy 的值。,2x21x,16)(2yx4)(2yx18、因式分解:常用方法:提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法A.提公因式法:式子中有公因式时,先提公因式。例 1.把 分解因式2105axybx分析:把多项式的四项按前两项与后两项分成两组,并使两组的项按 的降幂排列,然后从两组分别提出公x因式 与
7、 ,这时另一个因式正好都是 ,这样可以继续提取公因式b5y解: xyx说明:用分组分解法,一定要想想分组后能否继续完成因式分解,由此合理选择分组的方法本题也可以将一、四项为一组,二、三项为一组,同学不妨一试例 2.把 分解因式22()()abcdabcd分析:按照原先分组方式,无公因式可提,需要把括号打开后重新分组,然后再分解因式解: = 22说明:由例 2、例 1 可以看出,分组时运用了加法结合律,而为了合理分组,先运用了加法交换律,分组后,为了提公因式,又运用了分配律由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用。B. 公式法:根据平方差和完全平方公式分解因式 295xy4C.配方法:分解因式
8、261x说明:这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法,配方后将二次三项式化为两个平方式,然后用平方差公式分解当然,本题还有其它方法,请大家试验D.十字相乘法:(1) 型的因式分解2()xpqx这类式子在许多问题中经常出现,其特点是:(1) 二次项系数是 1;(2) 常数项是两个数之积;(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和22() ()()()xxpxqxpqxpxq因此, ()pq运用这个公式,可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式例 1.把下列各式因式分解:(1) (2) 276x236x说明:此例可以看出,常数项为正数时,应分解为两个同号因数,它们的符号与一次项系数的符号相
9、同例 2.把下列各式因式分解:(1) (2) 254x215x说明:此例可以看出,常数项为负数时,应分解为两个异号的因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同例 3.把下列各式因式分解:(1) (2) 226xy22()8()1xx5分析:(1) 把 看成 的二次三项式,这时常数项是 ,一次项系数是 ,把 分解成226xyx26yy26与 的积,而 ,正好是一次项系数3y23()(2) 由换元思想,只要把 整体看作一个字母 ,可不必写出,只当作分解二次三项式2a81a(2)一般二次三项式 型的因式分解2axbc大家知道, 2111212()()()caxcaxc反过来,就得到: 2 ()
10、我们发现,二次项系数 分解成 ,常数项 分解成 ,把 写成 ,这里按斜线交叉相121212,ac12乘,再相加,就得到 ,如果它正好等于 的一次项系数 ,那么 就可以分解成12ac2axbcbaxbc,其中 位于上一行, 位于下一行12()()axc1,这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法例 4.把下列各式因式分解:(1) (2) 25x22568xy说明:用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是 1 时较困难,具体分解时,为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数,用减法”凑”,看是否符合一次项系数,否则用加法”凑”,先”凑”绝
11、对值,然后调整,添加正、负号提高练习1 (2x 24x10xy)( ) x1 y252若 xy8,x 2y24,则 x2y 2_3代数式 4x23mx9 是完全平方式,则 m_ 4. _0101.55.若 ,则 = 。2ab2ab6.(a1) (a1) (a 21)= 。7.一个正方形的边长增加 4cm ,面积就增加 56cm2 ,原来正方形的边长为 。8 (3+1) (3 2+1) (3 4+1) (3 2008+1) = 。401639 (1) ( 3y) 2( 3y) 2 (2) (x 22x1) (x 22x 1) ;xx610求(1 ) (1 ) (1 )(1 ) (1 )的值22324292011已知 x 2,求 x2 ,x 4 的值1112已知(a1) (b2)a(b3)3,求代数式 ab 的值2ba13若(x 2pxq) (x 22x3)展开后不含 x2,x 3 项,求 p、q 的值