1、专题 8：导数（文）经典例题剖析考点一：求导公式。例 1. 是 的导函数，则 的值是 。()fx312fx(1)f解析： ，所以 32f答案：3考点二：导数的几何意义。例 2. 已知函数 的图象在点 处的切线方程是 ，则()yfx(1)Mf， 12yx。(1)f解析：因为 ，所以 ，由切线过点 ，可得点 M 的纵坐标21k2f (1)f，为 ，所以 ，所以255f 31f答案：3例 3.曲线 在点 处的切线方程是 。324yx()，解析： ， 点 处切线的斜率为 ，所以设切13， 543k线方程为 ，将点 带入切线方程可得 ，所以，过曲线上点bxy5()， 2b处的切线方程为：(13)， 02
2、y答案： 02yx点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。例 4.已知曲线 C： ，直线 ，且直线 与曲线 C 相切于点xxy23kxyl:l，求直线 的方程及切点坐标。0,yxl解析： 直线过原点，则 。由点 在曲线 C 上，则0xyk0,yx， 。又 ， 在0230xxy2302xy 2632xy处曲线 C 的切线斜率为 ，0, 00fk，整理得： ，解得： 或263202 xx 3x230x（舍），此时， ， 。所以，直线 的方程为 ，切点0 83y41kly41坐标是 。8,2答案：直线 的方程为 ，切点坐标是lxy4183,2点评：本小题考查导数几何
3、意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上” 这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。考点四：函数的单调性。例 5.已知 在 R 上是减函数，求 的取值范围。132xaxf a解析：函数 的导数为 。对于 都有 时，1632xaf R0xf为减函数。由 可得 ，解得 。xf xa01632 2360a3所以，当 时，函数 对 为减函数。fR（1） 当 时， 。3a 983132xxxf由函数 在 R 上的单调性，可知当 是，函数 对 为减函数。xyafR（2） 当 时，函数 在 R 上存在增区间。所以，当 时，函数3axf a在 R
4、上不是单调递减函数。xf综合（1）（2）（3）可知 。3a答案： a点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。考点五：函数的极值。例 6. 设函数 在 及 时取得极值。32()8fxaxbc1x2（1）求 a、 b 的值；（2）若对于任意的 ，都有 成立，求 c 的取值范围。0， 2()f解析：（1） ，因为函数 在 及 取得极值，则有2()63fxaxb()fx12x， 即 ，解得 ， 。()0ff 041， 3a4b（2）由（）可知， ，32()98fxxc。2()6186)fx当 时， ；当 时， ；当 时， 。所0， ()0fx(12， ()0fx(
5、23)， ()0fx以，当 时， 取得极大值 ，又 ， 。则当x)58fc8fc98fc时， 的最大值为 。因为对于任意的 ，有 恒3， ()f(39x， 2()fx成立，所以 ，解得 或 ，因此 的取值范围为 。298c1cc(1)(9)， ，答案：（1） ， ；（2） 。3a4b(1)(9)， ，点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数 的极值步骤：求导数xf；xf求 的根；将 的根在数轴上标出，得出单调区间，由 在各0f0xf xf区间上取值的正负可确定并求出函数 的极值。考点六：函数的最值。例 7. 已知 为实数， 。求导数 ；（2）若 ，求aaxxf42xf 01f在区间 上的
6、最大值和最小值。xf2,解析：（1） ， 。axxf423423 axxf（2） ， 。0a113 x令 ，即 ，解得 或 ， 则 和 在区间0xf3xxff上随 的变化情况如下表：,x21,34,12,34f 0 0 x0 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 0， 。所以， 在区间 上的最大值为 ，最291f 27534f xf2,27534f小值为 。f答案：（1） ；（2）最大值为 ，最小值为432axxf 275034f。29f点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数 在区间 上的最值，要先xfba,求出函数 在区间 上的极值，然后与 和 进行比较，从而得出函数的最xfba,
7、af大最小值。考点七：导数的综合性问题。例 8. 设函数 为奇函数，其图象在点 处的切线与直线3()fxabc(0)(1,)f垂直，导函数 的最小值为 。（1）求 ， ， 的值；670xyfx2abc（2）求函数 的单调递增区间，并求函数 在 上的最大值和最小值。()fx()fx,3解析： （1） 为奇函数， ，即()(fxf33axbcaxbc ， 的最小值为 ， ，又直线02()f 12b的斜率为 ，因此， ， ， ， 67xy16()36faa120c（2） 。 ，列表如下：3()2fx2 ()xx(,),2(,)fx00(增函数 极大 减函数 极小 增函数所以函数 的单调增区间是 和
8、， ，)fx(,2)(,)(1)0f， ， 在 上的最大值是 ，最小值是(2)8f(318)fx1338。答案：（1） ， ， ；（2）最大值是 ，最小值是ab0c()1f。(2)8f点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。导数强化训练（一） 选择题1. 已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（ A ）24xy12A1 B2 C3 D42. 曲线 在点（ 1，1）处的切线方程为 （ B ）3xA B C D4y2xy3xy5xy3. 函数 在 处的导数等于 （ D ）)(12xA1 B2 C3 D44. 已知函数 的解析式可能
9、为 （ A ）)(,)( xff 则处 的 导 数 为在 A B)1(3)(2xxf )1(2)xfC D)f5. 函数 ，已知 在 时取得极值，则 =（ D ）9(23xaxf )(xf3a（A）2 （B） 3 （C）4 （D）56. 函数 是减函数的区间为( D )32()1f（） （） （） （）,)(,0)(,27. 若函数 的图象的顶点在第四象限，则函数 的图象是（ A cbxf2 xf）8. 函数 在区间 上的最大值是（ A ）231()fxx0,6A B C D3 1299. 函数 的极大值为 ，极小值为 ，则 为 （ A ）xy3mnmA0 B1 C2 D410. 三次函数 在
10、 内是增函数，则 （ A ）af3,xA B C D 01a31a11. 在函数 的图象上，其切线的倾斜角小于 的点中，坐标为整数的点的个数xy834是 （ D ）A3 B 2 C1 D012. 函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数)(xf ),(ba)(xf,ba在开区间 内有极小值点（ A f,ba）A1 个 B2 个 C3 个 D 4 个（二） 填空题xyoAxyoDxyoCxyoBabxy)(xfO 13. 曲线 在点 处的切线与 轴、直线 所围成的三角形的面积为3xy1,x2_。14. 已知曲线 ，则过点 “改为在点 ”的切线方程是34(,4)P(,4)P_
11、15. 已知 是对函数 连续进行 n 次求导，若 ，对于任意 ，()nfx()fx65()fxxR都有 =0，则 n 的最少值为 。()16. 某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 吨，运费为 4 万元次，一年的总存储费用为 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 吨4x x（三） 解答题17. 已知函数 ，当 时，取得极大值 7；当 时，取得cbxaxf23 13x极小值求这个极小值及 的值.,18. 已知函数 .93)(2axxf（1）求 的单调减区间；（2）若 在区间2，2.上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值.)(xf19. 设 ，点 P（ ，0）是函数 的图象
12、的一个公共点，tt cbxgaxf 23)()(与两函数的图象在点 P 处有相同的切线。（1）用 表示 ；tcba,（2）若函数 在（1，3）上单调递减，求 的取值范围。)(xgfyt20. 设函数 ，已知 是奇函数。32)fxbcR()()gxfx（1）求 、 的值。bc（2）求 的单调区间与极值。()g21. 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？22. 已知函数 在区间 ， 内各有一个极值点321()fxaxb1)， (3，（1）求 的最大值；24ab（1） 当 时，设函数 在点
13、 处的切线为 ，若 在点 处8()yfx()Af， lA穿过函数 的图象（即动点在点 附近沿曲线 运动，经过点 时，()yfx ()yfx从 的一侧进入另一侧），求函数 的表达式l ()fx强化训练答案：1.A 2.B 3.D 4.A 5.D 6.D 7.A 8.A 9.A 10.A 11.D 12.A（四） 填空题13. 14. 15. 7 16. 203804xy（五） 解答题17. 解： 。baxxf2据题意，1，3 是方程 的两个根，由韦达定理得0331b 9,a cxxf23 ，71极小值 253932f极小值为25， ， 。,bac18. 解：（1） 令 ，解得.6)(2xxf 0
14、)(xf ,31x或所以函数 的单调递减区间为 .,31,（2）因为 218)( af ,28)( af 所以 因为在（1，3）上 ，所以 在1，2上单调递增，又由).2(ff 0)(xf)(xf于 在2，1上单调递减，因此 和 分别是 在区间 上的最大值和最)(x212,小值.于是有 ，解得0a.故 因此93)(2xf ,793)(f即函数 在区间 上的最小值为7.x,19. 解：（1）因为函数 ， 的图象都过点（ ，0），所以 ，)(xfgt0)(tf即 .因为 所以 . 03at,t2ta.,)(2abcbg所 以即又因为 ， 在点（ ，0）处有相同的切线，所以)(xf ).(tgf而
15、.23,2)(,32 tatbxg 所 以将 代入上式得 因此 故 ， ，ta.t.ctb.3tc（2） .)(,)( 22323 xtxytxxfy 当 时，函数 单调递减.0t )(gf由 ，若 ；若0ytx3,则 3,0txt则由题意，函数 在（1，3）上单调递减，则)(gf所以.,),()3,1( tt或 .39.ttt或即或又当 时，函数 在（1，3）上单调递减.9)(xfy所以 的取值范围为t ,9,(20. 解：（1） ， 。从而32fxbcx23fxbc 是一2()()()gx 32()()xbxc个奇函数，所以 得 ，由奇函数定义得 ；0（2）由（）知 ，从而 ，由此可知，3
16、6g)6g和 是函数 是单调递增区间；(,)(2,)(x是函数 是单调递减区间；x在 时，取得极大值，极大值为 ， 在 时，取得极小值，极小值为gx42()x2。4221. 解：设长方体的宽为 （m），则长为 (m)，高为xx2.30()35.418h故长方体的体积为 23069.232xxxxV从而 ).1(8)5.4(18)(2令 ，解得 （舍去）或 ，因此 .0xxx当 时， ；当 时， ，V230xV故在 处 取得极大值，并且这个极大值就是 的最大值。1x从而最大体积 ，此时长方体的长为 2 m，高为 1.5 m.32169 mx答：当长方体的长为 2 m 时，宽为 1 m，高为 1.5 m 时，体积最大，最大体积为 。322. 解：（1）因为函数 在区间 ， 内分别有一个极值点，所以32()fxaxb1)， (，在 ， 内分别有一个实根，2()fxab0， (，设两实根为 （ ），则 ，且 于是12， 12x2214x2104x， ，且当 ，即 ， 时等号成204 46 ， 3a3b立故 的最大值是 16ab（2）解法一：由 知 在点 处的切线 的方程是(1)fab()fx1()f， l，即 ，()yfx23ya因为切线 在点 处空过 的图象，l()Af， ()fx所以 在 两边附近的函数值异号，则1()12gxab不是 的极值点1而 ，且()x32()3xxa
