1、2016 年专项练习题集-不等式恒成立问题三级知识点：不等式恒成立问题介绍：不等式恒成立问题以含参不等式“恒成立”为载体，镶嵌函数、方程、不等式等内容，综合性强，能力要求高，为历年高考试题的热点。选择题1不等式 对一切 R 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）230mxxmA B C 30mD 【分值】5【答案】D【易错点】容易忽略 的情形。0m【考查方向】本题主要考查了含参数的二次不等式的恒成立问题。【解题思路】对 的分类讨论， （1） ， （2）当 时，结合二次函数图象，二次00m函数应该开口向下，判别式小于等于零，列出满足的条件求解【解析】当 时不等式化为 恒成立；当 时需满足 ，所以0m
2、3000，综上可知实数 的取值范围是 .3am2已知 ，不等式 0)(xf的解集是 ，若对于任意 ，不2()3fxab(1,3)1,2x等式 恒成立， 的取值范围是（ ）()10fxmA 4,B (C ,1D 4【分值】5【答案】C【易错点】不会求出 a，b 的值，不会转化恒成立问题。【考查方向】本题主要考查了函数的解析式，考查恒成立问题，解题的关键是利用好不等式的解集与方程解之间的关系，将恒成立问题转化为函数的最值加以解决【解题思路】 （1）根据不等式的解集与方程解之间的关系可知 的两根为 ，230axb1，从而可求 的值，进而可求 fx的解析式；（2）要使对于任意 ，不等3,ab ,2式
3、恒成立，只需 即可，从而可求 的范围()10fxmmin()10m【解析】不等式 的解集是 ，所以 和 是方程 的两个根，()fx,33230axb由韦达定理得 所以 ，所以 恒成立等价于,2ab2()fx()1f恒成立，由 ，所以 选 C213xm1)144m3对任意的实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）x30xaaA 0aB 3C D a【分值】5【答案】D【易错点】不会去掉绝对值，函数的最值。【考查方向】本题主要考查了含参数的绝对值不等式的恒成立问题。【解题思路】令 ，依题意，只需求得 即可求得 的取值范围()3fxxmin()fxa【解析】令 ，则 ，所以 ，即 ，,()
4、23f in()3fmin()3fxa故选 C.4若不等式 对于任意 都成立，则 的最大值是（ ）290xt(0,)xtA0 B-6 C6 D 9【分值】5【答案】C【易错点】不会将变量 t 分离出来。【考查方向】本题主要考查了含参数的二次不等式的恒成立问题以及分类变量法。【解题思路】首先根据不等式将 t 分离出来，即 对任意 都成立，即9tx(0,)xmin9tx【解析】不等式 对于任意 都成立等价于 对任意290tx(0,)x9tx都成立因为 ，所以只需 即可故 C 正确(0,)x926xx6t5若关于 的不等式 对任意的 均成立，则 的取值x2()120axa2,ax范围是（ ）A (,
5、1)(3,)B ,5,C ()(3)D ,【分值】5【答案】C【易错点】不知道讲原不等式转化为关于 a 的一次函数。【考查方向】本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值加以解决【解题思路】可将 a 视作自变量，则上述问题即可转化为在 -2，2内关于 a 的一次函数大于 0 恒成立的问题.解：原不等式转化为 在 时恒成立,2()10xx2a设 ,则 在-2,2上恒大于 0，故有：)fa()f即 解得：(20)f24350x315x或 或所以 ，故选 C.3或填空6若函数 的图象始终在直线 的上方，则 a 的取值范围是()sincos3fxax1y_【分值】5【答案】
6、(3,)【易错点】不会利用辅助角公式对 进行变形，不会将 在()sincos3fxax()fx的上方转化成 恒成立。1y()1fx【考查方向】三角恒等变换和不等式恒成立问题。【解题思路】问题转化为 恒成立，利用三角恒等变形以及三角函数的最值建立不()fx等式，求出 a 的范围。【解析】由 的图象始终在 的上方，即 恒成立，()fx1y()1fx，即 恒成立，2()sincos3sin(3faa2sin()2ax即 恒成立，所以 ，解得 2i1x21a37若关于 的不等式 恒成立，则实数 x21mxm【分值】5【答案】2【易错点】判别式容易容易出现 。0【考查方向】二次不等式恒成立问题。【解题思
7、路】将不等式右边项移到左边，利用判别式 ，求出 的值.0m【解析】原不等式可变为 ， ， ，210xm2410m， .20m8已知 ，若关于 不等式 在区间 上恒成立，则实数 的取值范围1ax1logax0,2a是 【分值】5【答案】 4,【易错点】不会转化原不等式，不会利用数形结合处理本题。【考查方向】本题主要考查了反比例函数及其单调性、不等式恒成立问题，同时考查了数形结合的思想。【解题思路】由题意可转化为不等式 在区间 上恒成立，由图象可知，在1logax0,2区间 上，函数 的图象在函数 的图象的上方，从而可得解0,21yxly【解析】依题意 ，则必有则必有 ，解得 ，所以实数 的取值l
8、oga1log2a4aa范围 4,综合题9已知函数 其中 ，若在区间 上，321()fxax()xR0a1,2恒成立，求 的取值范围()0fx【分值】6【答案】 2318a【易错点】导数的计算与分类讨论。【考查方向】导数与不等式恒成立问题。【解题思路】对 进行求导，判断利用导数求出321()fxax的极值点，利用极值点与端点值的函数值大于 ，解不等式，得到 a 321()fxa 0的取值范围。【解析】 ，由于 ，所以 ，对 a 进行讨论：22()()fxaxa02（1）若 ， ，于是当 时， ；当 时，011()fx02x。()fx由 ，即 ，由 ，故无解。02()fa189a01a（2）若
9、， ，于是当 时， ；当 时， ，1x()0fx2xa()0fx当 时， 。xa()0fx由 ，即 ，解得 。()20f2843a18a综合（1） （2 ）得 。18a10已知不等式 对于所有的实数 不等式恒成立，求 的取值范围.2310axxa【分值】6【答案】 152a【易错点】讨论时容易忽略 的情形。0a【考查方向】本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题。【解题思路】当 时，经检验不满足条件；解得 时，设 ，则由题意可得 ，解出 a 的范0a2()31fxa094(1)a围即可【解析】当 时 , ， 即 当 时 不 等 式 不 恒 成 立 ， 不 满 足 条 件 ；0x3x当 时，设 ，由于 恒成立，则有 ，0a2()31fa()0f094(1)a解得 。152
