1、函数的奇偶性专题复习一、关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数 的定义域内任意一个 ：)(xf x 是偶函数； f)(xf 奇函数；f函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的 必要不充分条件 。二、函数的奇偶性的几个性质对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个 都必须成立；x可逆性： 是偶函数； 是奇函数；)(xff)(f )(fxf)(f等价性： ；0f0)(xff奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 轴对称；y三、函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，考查 是否与 、 相等，
2、)(xf)(xff判断步骤如下：定义域是否关于原点对称；数量关系 哪个成立；)(ff例 1：判断下列各函数是否具有奇偶性 （1） （2） （3） xf)(324)(xxf1)(23xf（4） （5） （6）2)(f ,1221)(f.1lgxx例 2：判断函数 的奇偶性。)0()(2xf第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数； 两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数； 两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。四、关于函数的奇偶性的 6 个结论.结论 1 函
3、数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。结论 2 两个奇函数的和仍是奇函数；两个偶函数的和仍是偶函数。结论 3 是任意函数，定义域关于原点对称，那么 是偶函数。)(xf )(xf结论 4 函数 是偶函数，函数 是奇函数。)(xf)(xf结论 5 已知函数 是奇函数，且 有定义，则 。00)(f结论 6 已知 是奇函数或偶函数，方程 有实根，)(f )(f那么方程 的所有实根之和为零；0x若 是定义在实数集上的奇函数，则方程 有奇数个实根。)(f 0)(xf五、关于函数奇偶性的简单应用（各种类型题）1.利用定义解题例 1：已知 为奇函数，则 _。1()2xfaa已知 为偶
4、函数，则 _。(3)2.利用奇偶性，求函数值例 2：（1）已知 且 ，求 的值8)(35bxaxf 10)2(f)2(f3.利用奇偶性比较大小例 3（1）已知奇函数 在 R 为减函数，比较 ， ， 的大小。)(xf )5(f1(f)3f（2）已知函数 是 上的偶函数，且 在 上是减函数，yfxRfx0,若 ，求 的取值范围.2fafa*（3）定义域为 R的函数 xf在 ,8上为减函数，且函数 8xfy为偶函数，则( )A. 76f B. 96f C. 97f D. 107f 4.利用奇偶性求解析式例 4：（1）已知 为偶函数， ，求)(xf 时当时当 ,1)(,0xxf解析式？)(xf（2）已
5、知 为奇函数，当 时, ，当 时，求()f 0x2()fx0x解析式？)(xf5.利用奇偶性讨论函数的单调性例 5：若 是偶函数，讨论函数 的单调区间？3)()2()xkxf )(xf6.利用奇偶性判断函数的奇偶性例 6：已知 是偶函数，判断 的奇)0()(23acxbaxf cxbaxg23)(偶性。7.利用奇偶性求参数的值例 7：（1）定义 上的偶函数 在 单调递减，若R)(xf)0,恒成立，求 的范围.123()2(afaf a（2）定义 上单调递减的奇函数 满足对任意 ，若()fxtR恒成立，求 的范围.2()()0ftftkk8.利用图像解题例 8：（1）设奇函数 f(x)的定义域为
6、-5,5. 若当x0,5时,f(x)的图象如右图,则不等式 的0xf解是 .（2）若函数 在 上为奇函数，()fx,0)(,x0y1x0y1x0y1x0y1且在 上单调递增, ,则不等式 的解集为 .(0)(2)0f()0xf9.利用性质选图像例 9：（1）设 ，实数 满足 ，则 关于 的函数的图像形状1a,x1|log0ax大致是（ ）A B C D （2）函数 的图象大致为xey奇偶性专题训练1.已知函数 f（x）ax 2bxc（a0）是偶函数，那么 g（x）ax 3bx 2cx（ ）A奇函数 B偶函数 C既奇又偶函数 D 非奇非偶函数2.已知函数 f（x）ax 2bx3ab 是偶函数，且
7、其定义域为a1，2a ，则（ ）A ，b0 Ba1，b0 Ca1，b0 3Da3，b03.如果定义在区间 上的函数 为奇函数，则 = 5,3a)(xfa4.若 y（m 1）x 22mx3 是偶函数，则 m_5.若 为奇函数，则实数 flg)(a6.函数 是偶函数的条件是 cbxay27.已知 f（x）x 5ax 3bx8，且 f（2）10，那么 f（2）等于（ ）A26 B18 C10 D108.已知函数 )(.)(.1lg)( afbfxf 则若Ab Bb C D1b19.若函数 是定义在 R 上的奇函数，则函数 的图象关于)(xf )()(xffxF（ ）A. 轴对称 B. 轴对称 C.
8、原点对称 D. 以上均不对y10.已知函数 在 R 是奇函数，且当 时， ，则 时，)(xfy0xxf2)(0的解析式为_)(xf11.下列四个函数中，是奇函数且在定义域上不是单调函数的是（ ）A B C D 3yyx1yx1()2xy12.若函数 为奇函数，则 （ ）(1)afxaA B C D0113.设函数 的定义域为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论中正(),fgR()fx()gx确的是（ ）A 是偶函数 B 是奇函数 ()fx )(|fC 是奇函数 D 是奇函数|g |xg14.定义在 上的函数 是减函数，且是奇函数，若1，)(xfy，求实数 的范围。0)54()(2afaf
9、a15设定义在2，2上的偶函数 f（x）在区间0，2上单调递减，若 f（1m）f（m） ，求实数 m 的取值范围16. 若 f（ x）是定义在（ ，5 5， ）上的奇函数，且 f（x）在5，）上单调递减，试判断 f（x ）在（ ， 5上的单调性，并用定义给予证明17.设函数 y f（x ） （x R 且 x0）对任意非零实数 x、y 满足 f（x y）f（x）f（y） ，求证 f（x）是偶函数18.已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）x 22x，则 f（x ）在 R 上的表达式是（ ）Ayx（x2） By x（x1 ）Cy x（x2） Dyx（x2）19.已知函数 f（x）是奇函数，且当 x0 时，f （x）x 32x 21，求 f（x ）在R 上的表达式
