1、第 1 页 共 4 页抛物线测试题一、选择题（本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分）1抛物线 的焦点坐标是 （ 2xy）A B C D )0,()0,41( )81,0( )41,0(2已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y轴上，其上的点 到焦点的距离为 5，则抛物)3,(mP线方程为 （ ）A B C Dyx82x2yx42yx823抛物线 截直线 所得弦长等于 （ ）11yA B C D1555154顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(2,3)，则它的方程是 （ ）A. 或 B. 或 C. D.yx29x342xy29y34yx342x295点 到曲线 （其中参数 ）上的点的最短距
2、离为 （ )0,1(PtRt）A0 B1 C D2 26抛物线 上有 三点， 是它的焦点，若)0(2pxy ),(),(21yxA)(3F成等差数列，则 （ CF,）A 成等差数列 B 成等差数列 321,x 231,xC 成等差数列 D 成等差数列y y7若点 A的坐标为（3，2） ， 为抛物线 的焦点，点 是抛物线上的一动点，则Fy2P取得最小值时点 的坐标是 （ PBP）A （0，0） B （1，1） C （2，2） D )1,2(8已知抛物线 的焦点弦 的两端点为 , 则关系式)0(2pxyAB,(1yxB的值一定等于 （ 21x）A4 B4 Cp 2 Dp 9过抛物线 的焦点 F作一
3、直线交抛物线于 P，Q 两点，若线段 PF与 FQ的)0(2ay长分别是 ，则 = （ qp,第 2 页 共 4 页）A B C Da2a21a4a410若 AB为抛物线 y2=2px (p0)的动弦，且|AB|= a (a2p)，则 AB的中点 M到 y轴的最近距离是 （ ）A B C Dp2p2p二、填空题（本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分）11、抛物线 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 _xy212、直线 截抛物线 ，所截得的弦中点的坐标是 10yx2813、抛物线 上，横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5，则此抛物线焦点与p2()准线的距离为 14、设 为抛物线 的焦点，
4、 为该抛物线上三点，若 ，F4yxABC， ， FABC0则 ABC15、对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；（1）焦点在 y轴上； （2）焦点在 x轴上；（3）抛物线上横坐标为 1的点到焦点的距离等于 6；（4）抛物线的通径的长为 5；（5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1） 其中适合抛物线 y2=10x的条件是(要求填写合适条件的序号） _三、解答题16 （12 分）已知点 A（2，8） ，B（ x1，y 1） ，C（ x2，y 2）在抛物线 上，ABC 的pxy2重心与此抛物线的焦点 F重合（如图）（1）写出该抛物线的方程和焦点 F的坐标；（2）求线段 BC中点 M的
5、坐标；（3）求 BC所在直线的方程. 17 （12 分）已知抛物线 上恒有关于直线 对称的相异两点，求 的取1axy0yxa第 3 页 共 4 页值范围. 18 （12 分）抛物线 x2=4y的焦点为 F，过点(0，1)作直线 L交抛物线 A、B 两点，再以AF、BF 为邻边作平行四边形 FARB，试求动点 R的轨迹方程. 19、 （12 分）已知抛物线 的方程 ： 过点 A（1，-2）.C)0(2pxy（I）求抛物线 的方程，并求其准线方程；（II）是否存在平行于 （ 为坐标原点）的直线 ，使得直线 与抛物线 有公共点，OAllC且直线 与 的距离等于 ？若存在，求出直线 的方程；若不存在，
6、说明理由.l5l第 4 页 共 4 页20 （13 分）已知抛物线 y2=4ax(0a1的焦点为 F，以 A(a+4,0)为圆心，AF 为半径在 x 轴上方作半圆交抛物线于不同的两点 M 和 N，设 P 为线段 MN 的中点（1）求MF+NF的值；（2）是否存在这样的 a值，使MF、PF、NF成等差数列?如存在，求出 a的值，若不存在，说明理由. 21 （14 分）如图, 直线 y= x与抛物线 y= x24 交于 A、B 两点, 线段 AB的垂直平分线2181与直线 y=5 交于 Q点. （1）求点 Q的坐标；（2）当 P为抛物线上位于线段 AB下方（含 A、B）的动点时, 求 OPQ 面积
7、的最大值.第 5 页 共 4 页参考答案一、选择题（本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C D A B B A C B C D二、填空题（本大题共 4小题，每小题 6分，共 24分）11 12 13 15 （2） ， （5）)42,8(三、解答题（本大题共 6题，共 76分）15 （12 分）解析：（1）由点 A（2，8）在抛物线 上，有 ，pxy282p解得 p=16. 所以抛物线方程为 ，焦点 F的坐标为（8，0）.xy3（2）如图，由于 F（8，0）是ABC 的重心，M 是 BC的中点，所以 F是线段 AM的定比分点，且 ，设
8、点 M的坐标为 ，则),(，解得 ，21,00yx4,10yx所以点 M的坐标为（11，4） （3）由于线段 BC的中点 M不在 x轴上，所以 BC所在的直线不垂直于 x轴.设 BC所在直线的方程为：)0(ky由 消 x得 ，2,10)41(322ky所以 ，由（2）的结论得 ，解得k31 .4k因此 BC所在直线的方程为： .416 （12 分）解析：设在抛物线 y=ax21 上关于直线 x+y=0对称的相异两点为 P(x,y),Q(y, x)，则 12ayx，由得 x+y=a(x+y)(xy),P、Q 为相异两点， x+y0，又a0， ，代入得 a2x2 ax a+1=0，其判别式= a2
9、4 a2(1 a)a,x即第 6 页 共 4 页0，解得 43a17 （12 分）解析：设 R(x,y),F(0,1), 平行四边形 FARB的中心为 ，)21,(yxCL:y=kx1,代入抛物线方程得 x24k x+4=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=4，且=16k 2160，即|k|1 ，C 为 AB的中点.24)(41ky 12212kyy，消去 k得 x2=4(y+3),由 得， ，故动点 R的轨迹方程为34kx 4xx2=4(y+3)( )1819 （14 分）解析：（1）F（ a,0）,设 ，由 ),(),(),( 021yxPNyxM6
10、)4(22yaxy， ， 0)8(x )4(,21ax8)()(21axNF（2）假设存在 a值，使的 成等差数列，即 FP 4PM042)2(16)(1612120 220020yyy ya=21211)(44 xaxxax aa82)4(8)(226a矛盾.10201yx假设不成立即不存在 a值，使的 成等差数列NFPM,或解: 知点 P在抛物线上. 矛盾.4PFx00x第 7 页 共 4 页20 （14 分） 【解】(1) 解方程组 得 或 4812xy21y48yx即 A(4,2),B(8,4), 从而 AB的中点为 M(2,1).由 kAB= ,直线 AB的垂直平分线方程y1= (x2). 令 y=5, 得 x=5, Q(5,5)21(2) 直线 OQ的方程为 x+y=0, 设 P(x, x24).点 P到直线 OQ的距离81d= = , ,S OPQ = = .248x32815OQdOQ328165xP 为抛物线上位于线段 AB下方的点, 且 P不在直线 OQ上, 4 x4 4 或4 4 x8.3函数 y=x2+8x32 在区间4,8 上单调递增, 当 x=8时, OPQ 的面积取到最大值30
