1、 http:/ 快乐学习，尽在苏州中学网校第 1 页 共 3 页求轨迹方程的几种常用方法杨保红由已知条件求动点轨迹方程是解析几何的基本问题之一，也是解析几何的重点。轨迹方程的常用方法可归纳为以下四种。一、普通法例 1. 求与两定点 距离的比为 1：2 的点的轨迹方程。OA103， 、 ，分析：设动点为 P，由题意 ，则依照点 P 在运动中所遵循的条件，可列出等量关系式。2解：设 是所求轨迹上一点，依题意得xy， OPA12由两点间距离公式得： xy23化简得： xy20二、定义法例 2. 点 M 到点 F（4，0）的距离比它到直线 的距离小 1，求点 M 的轨迹方程。x50分析：点 M 到点
2、F（4，0）的距离比它到直线 的距离小 1，意味着点 M 到点F（4，0）的距离与它到直线 的距离相等。由抛物线标准方程可写出点 M 的轨迹方程。x解：依题意，点 M 到点 F（4，0）的距离与它到直线 的距离相等。则点 M 的轨迹是以x4F（4，0）为焦点、 为准线的抛物线。故所求轨迹方程为 。yx26三、坐标代换法例 3. 抛物线 的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于 A、B 两点，动点ypx2http:/ 快乐学习，尽在苏州中学网校第 2 页 共 3 页C 在抛物线上，求ABC 重心 P 的轨迹方程。分析：抛物线 的焦点为 。设ABC 重心 P 的坐标为 ，点 C 的坐ypx2
3、Fp20，()xy，标为 。()x1，解：因点 是重心，则由分点坐标公式得：Py， xpy113，即 xp1133，由点 在抛物线 上，得：Cy1， ypx2ypx121将 代入并化简，得：xp1133， 23四、参数法例 4. 当参数 m 随意变化时，求抛物线 的顶点的轨迹方程。yxmx221分析：把所求轨迹上的动点坐标 x，y 分别用已有的参数 m 来表示，然后消去参数 m，便可得到动点的轨迹方程。解：抛物线方程可化为 1254它的顶点坐标为 xmy，消去参数 m 得： y34故所求动点的轨迹方程为 。0xy【练一练】1. 一动圆与圆 外切，且和直线 相切，求动圆圆心的轨迹方程。xy221y1http:/ 快乐学习，尽在苏州中学网校第 3 页 共 3 页（答案： ）xy282. 一动点和定直线 的距离等于这点和定点 P（5，0）的距离的 ，求动点的轨迹方程。59 35（答案： ）xy29163. 设直线 （其中 b 为定值，k 随意变动）和圆 相交，求所截弦的中点kxyr22的轨迹方程。（答案： ）xy204. 边长为 a 的正三角形 PAB 的顶点 A、B 分别在 y 轴和 x 轴上移动，使点 P 按逆时针方向移动，求点 P 的轨迹方程。（答案： ）xyxa22340
